Механические колебания. Параметры колебаний. Гармонические колебания. Свободные затухающие колебания. Основные понятия и формулы

В колебательной системе происходит периодический переход одного вида энергии в другой, когда потенциальная энергия (энергия, зависящая от положения системы) переходит в кинетическую энергию (энергию движения) и наоборот.

Наглядное представление колебательного процесса можно получить, если построить график колебаний отдельной массы в координатах t (время) и y (перемещение).

Если в колебательную систему будет поступать внешняя энергия, колебания будут нарастающими (рис. 16.6 а). Если к консервативной системе внешняя энергия не поступает, колебания будут незатухающими (рис.16.6 б). Если энергия системы уменьшается (например, за счет трения в диссипативной системе), колебания будут затухающими (рис. 16.6 в).

Важной характеристикой колебательного процесса является форма колебаний. Форма колебаний – это кривая, показывающая положение точек колебательной системы относительно положения равновесия в фиксированный момент времени. Простейшие формы колебаний можно и наблюдать. Например, хорошо видны формы колебаний провода, висящего между двумя столбами, или струны гитары.

Колебания, происходящие при отсутствии внешней нагрузки, называются свободными колебаниями . Свободные колебания диссипативной системы являются затухающими, потому что ее полная энергия убывает. Энергия консервативной системы остается постоянной, и ее свободные колебания будут незатухающими. Однако в природе консервативных систем не существует, поэтому их колебания изучаются только теоретически. Свободные колебания консервативных систем называются собственными колебаниями .

Периодические колебания – это колебания, удовлетворяющие условию y(t)=y(t+T) . Здесь T – период колебаний, т.е. время одного колебания. Периодические колебания имеют и другие важные характеристики. Например, амплитуда a – это половина размаха колебания: a=(y max – y min )/2 , круговая частота  – число колебаний за 2  секунды, техническая частота f – число колебаний за одну секунду. Обе эти частоты и период взаимосвязаны:

(Гц),(рад/с).

Гармонические колебания – это колебания, изменяющиеся по закону илиЗдесь – фаза колебаний ,  – начальная фаза .

Вынужденные колебания возникают под воздействием внешних сил.

Вибрация – это вынужденные колебания, происходящие с относительно малой амплитудой и не слишком малой частотой.

4. Виды динамических нагрузок

Колебания сооружения возникают от динамических нагрузок. В отличие от статических, динамические нагрузки изменяются с течением времени по величине, направлению или положению. Они сообщают массам системы ускорения, вызывают инерционные силы, что может привести к резкому возрастанию колебаний, и в итоге – к разрушению всего сооружения или его частей.

Рассмотрим основные виды динамических нагрузок.

– это нагрузка, прикладываемая к сооружению через определенный период. Источниками периодических нагрузок являются различные машины и механизмы: электродвигатели, металлообрабатывающие станки, вентиляторы, центрифуги и др. Если их вращающиеся части не уравновешены, то они при работе вызывают гармоническую нагрузку (нагрузку, изменяющуюся по закону синуса или косинуса). Такая нагрузка называется вибрационной нагрузкой . Поршневые компрессоры и насосы, штамповочные машины, дробилки, копры и др. создают негармоническую нагрузку .

Механические колебания. Параметры колебаний. Гармонические колебания.

Колебанием называется процесс точно или приблизительно повторяющийся черезопределенные промежутки времени.

Особенность колебаний - обязательное наличие на траектории положения устойчивого равновесия, в котором сумма всех сил, действующих на тело равна нулю называется положением равновесия.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.

Параметры колебательного движения.

1. Смещение или координата (x ) – отклонение от положения равновесия в данный

момент времени.	[x ]= м

2. Амплитуда (Xm ) – максимальное отклонение от положения равновесия.

[ X m ]= м

3. Период колебаний (T ) – время, за которое совершается одно полное колебание.

[T ]= c.

0 " style="margin-left:31.0pt;border-collapse:collapse">

Математический маятник

Пружинный маятник

m

https://pandia.ru/text/79/117/images/image006_26.gif" width="134" height="57 src=">Частота (линейная) (n) – число полных колебаний за 1 с.

[n]= Гц

5. Циклическая частота (w ) – число полных колебаний за 2p секунд, т. е. приблизительно за 6,28 с.

w = 2pn ; [w] =0 " style="margin-left:116.0pt;border-collapse:collapse">

https://pandia.ru/text/79/117/images/image012_9.jpg" width="90" height="103">

Тень на экране колеблется.

Уравнение и график гармонических колебаний.

Гармонические колебания -это колебания,при которых координата изменяется с течениемвремени по закону синуса или косинуса.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image014_7.jpg" width="254" height="430 src=">x = X m sin (w t + j0 )

x = X m cos (w t + j0 )

x – координата,

Xm – амплитуда колебаний,

w – циклическая частота,

w t +j0 = j – фаза колебаний,

j0 – начальная фаза колебаний.

https://pandia.ru/text/79/117/images/image016_4.jpg" width="247" height="335 src=">

Графики отличаются только амплитудой

Графики отличаются только периодом (частотой)

https://pandia.ru/text/79/117/images/image018_3.jpg" width="204" height="90 src=">

Если амплитуда колебаний не изменяется течением времени, колебания называются незатухающими .

Собственные колебания не учитывают трения, полная механическая энергия системы, остается постоянной: E к + E п = E мех = const.

Собственные колебания незатухающие.

При вынужденных колебаниях энергия, поступающая непрерывно или периодически от внешнего источника, восполняет потери, возникающие за счет работы силы трения, и колебания могут быть незатухающими.

Кинетическая и потенциальная энергия тела при колебаниях переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия, наоборот.

Частота свободных колебаний определяется параметрами колебательной системы.

Частота вынужденных колебаний определяется частотой действия внешней силы. Амплитуда вынужденных колебаний тоже зависит от внешней силы.

Резонан c

Резонансом называется резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты действия внешней силы с частотой собственных колебаний системы.

При совпадении частоты w изменения силы с собственной частотой w0 колебаний системы сила в течение всего совершает положительную работу, увеличивая амплитуду колебаний тела. При любой другой частоте в течение одной части периода сила совершает положительную работу, а в течение другой части периода - отрицательную.

При резонансе рост амплитуды колебаний может привести к разрушению системы.

В 1905 году под копытами эскадрона гвардейской кавалерии рухнул Египетский мост через реку Фонтанку в Петербурге.

Автоколебания.

Автоколебаниями называются незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменой силы.

В отличие от вынужденных колебаний частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы.

От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний. Автоколебательную систему обычно можно разделить на три элемента:

1) колебательную систему;

2) источник энергии;

3) устройство с обратной связью, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему.

Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной в колебательной системе за то же время.

ГОСТ 24346-80 «Вибрация. Термины и определения» определяет вибрацию как «движение точки или механической системы, при котором происходят колебания характеризующих его скалярных величин». Колебания скалярной величины объясняются как «процесс поочередного возрастания и убывания во времени значений какой-либо величины».

Под это определение попадают множество колебательных процессов, начиная с вращения планет вокруг Солнца, заканчивая колебаниями электронов на орбитах движения вокруг ядра. Световые волны, которые позволяют нам видеть, имеют колебательную природу. Морские приливы также являются колебаниями. Окружающий мир, во многом состоит из колебаний.

Вибрация для механического оборудования может быть:

• полезной – для вибрационных грохотов, бетоноуплотнительных машин, разгрузочных вибраторов железнодорожных вагонов, вибрационных трамбовок, виброшлифовальных машин и другой вибрационной техники;
• разрушительной – для механизмов роторного типа, транспортной техники, двигателей внутреннего сгорания и электрических двигателей, металлообрабатывающего оборудования, металлургических машин, зданий и сооружений и др.;
• источником информации о техническом состоянии‑этот информационный аспект составляет основу вибрационной диагностики и данного учебника.

Необходимость измерения вибрации машин возникла во второй половине XIX века. Это связано с появлением паровых судов, имеющих лёгкие по сравнению с наземными сооружениями конструкции и мощные приводные машины. Возникновение вибрации всегда неприятно для экипажа и пассажиров. Последствия вибрации – аварии из-за поломок деталей механизмов, значительно снижали доверие к этому новому, в то время виду транспорта. Часто интенсивные колебания наблюдались в подвижном составе развивающегося железнодорожного транспорта.

Вначале, для регистрации вибрации использовались органолептические методы, основанные на визуальных или тактильных ощущениях. Значения параметров вибрации субъективно оценить затруднительно. При возможности сравнительного анализа точность оценки амплитуды вибрации не превышает 20%. Абсолютная оценка всегда содержит грубые ошибки из-за нераспознанного спектрального состава вибрации. В высокочастотном диапазоне возможности человека по восприятию вибрации ограничены. Надёжным виброметром человек служить не может.

Наибольшая чувствительность при воздействии вибрации на человека наблюдается при частоте 100…300 Гц. Распознать частоту колебаний практически невозможно, если эти колебания происходят с частотой свыше 5 Гц. Однако, человек ощущает дискомфорт, находясь рядом с машиной генерирующей частоты, совпадающие с резонансными частотами частей человеческого тела.

Если колебания настолько редки, что глаз различает каждое из них в отдельности, то частота определяется подсчётом полных колебаний за некоторый промежуток времени. С уменьшением размаха колебаний точность глазомерного восприятия уменьшается. Частота колебаний в диапазоне 25…100 Гц позволяет различить малые амплитуды до 0,1 мм.

Подтверждением присутствия вибрации становились различные методы визуализации механических колебаний. Размах больших колебаний (5 мм и выше) можно определить по отбрасываемой объектом тени на экран в пучке параллельных либо расходящихся лучей. Характер прямой линии, проведенной по бумаге, лежащей на корпусе механизма, позволяет качественно оценить частоту и интенсивность колебаний ( а). При этом регистрируются колебания в направлении перпендикулярном направлению движения карандаша. Скорость перемещения карандаша должна быть как можно более постоянной.

Часто, для измерения размаха виброперемещения машин и балансировочных станков применялись ручные виброметры с использованием индикатора часового типа ( б). Размах колебаний вибрирующей поверхности, с которой соприкасается стержень индикатора, определяется по размаху колебаний стрелки индикатора. При сильных вибрациях такие виброметры быстро выходят из строя.

В случае необходимости регистрации относительно больших амплитуд колебаний (0,5…10 мм) с точностью до 0,5 мм при малой частоте (10…20 Гц) возможно применение мерного клина. При вибрации, происходящей с частотой 8 Гц и выше в направлении перпендикулярном колебаниям ( а), глаз сохраняет способность зрительного восприятия всех положений клина и четко видит точку пересечения крайних положений клина на расстоянии l от начала треугольника. Если размах колебаний s , высота клина h и основание L , то из подобия треугольников:

(а)	(б)
(в)	(г)

а) схема измерения амплитуды колебаний при помощи мерного клина; б, в) пример установки мерного клина на оборудовании; г) контроль уровня вибрации гидроагрегата при помощи монеты

Виды колебательных процессов

Вибрация ‑ это механические колебания или повторяющееся движение объекта около положения равновесия. Вибрация тела вызывается силами возбуждения. Эти силы прикладываются к объекту извне или возникают внутри него.

Колебательные процессы следует разделить на стационарные и нестационарные. Нестационарные колебания разделяются на длительные, кратковременные и переходные. Пример переходного процесса ‑ вибрация механизма при разгоне или при остановке и выбеге. Кратковременные процессы – подъём груза мостовым краном или перемещение крана. Длительные нестационарные процессы соответствуют режиму работы прокатных клетей или скипового подъёмника доменной печи, когда нагрузка изменяется при выполнении технологических операций.

Стационарные процессы имеют постоянные во времени параметры. Общий уровень, распределение амплитуд и частот, составляющих вибрации для стационарных процессов остаются практически неизменными в кратковременном интервале – как минимум в течение нескольких часов. Данные процессы наиболее характерны для механизмов роторного типа.

Стационарные процессы подразделяются на периодические и случайные.

Периодические колебания представляют собой колебания, при которых каждое значение колеблющейся величины повторяется через равные интервалы времени – периоды ().

Одним из видов периодических колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых значения колеблющейся величины изменяются во времени по закону синуса или косинуса (рисунок 61):

S(t) = А ·sin(w t + j ),
S(t) = А ·cos(w t + j ),

где А – амплитуда колебаний (мм); t – время (сек); j – начальная фаза колебаний (рад); w – угловая скорость (рад/сек); w t + j – фаза колебания (рад).

Амплитуда колебания А – максимальное отклонение колеблющегося параметра от среднего значения. Фаза w t+ j определяет состояние колебательного процесса в определенный момент времени t . Начальная фаза j характеризует состояние колеблющейся системы в начальный момент времени t = 0.

Периодом колебаний T называется наименьший промежуток времени, через который колеблющаяся система возвращается к исходному состоянию.

Частотой колебаний f называется число колебаний за одну секунду. Если T - период колебаний, то f = 1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) – одно колебание в секунду. Одно полное колебание (2π радиан), синусоида совершает за период Т , следовательно, угловая скорость (или частота) w = 2π / Т = 2π f .

Формы представления гармонических колебаний приведены на .

x (t) = A × sin(w t + j 0 ) x (t) = A × cos(w t + j0 ) Математические зависимости	Временная форма
Спектральная форма	Векторная форма

При гармонических колебаниях: А, w , j = const .

При почти гармонических (квазигармонических) колебаниях: А, w , j – меняющиеся функции времени, некоторые из них могут быть постоянными, некоторые возрастающими или убывающими (). Например, амплитуда, угловая скорость при запуске либо при остановке механизма создают затухающие или возрастаающие колебания ‑ колебания с убывающей или возрастающей со временем амплитудой:

X(t)=A 0 e – β t cos(ω t+ φ 0 ) или X(t)=A 0 e β t cos(ω t+ φ 0 )

где β – коэффициент затухания.

При запуске	При остановке
Возрастающие колебания	Затухающие колебания

Полигармонические колебания – колебания, которые могут быть представлены в виде суммы двух или более гармонических колебаний (гармоник), частоты которых кратны основной частоте ().

Первый сигнал x(t) = sin(t)	Второй сигнал x(t) = 2×cos(3t)
Суммарный сигналx(t) = sin(t) + 2×cos(3t)	Спектральная форма

Форма полигармонических колебаний существенно зависит от сдвига начальных фаз складываемых гармоник, при этом в спектральном представлении отличия отсутствуют ().

x(t) = sin(t) + sin(2t)
x(t) = sin(t) + sin(2t + π/2)

Одним из видов полигармонических колебаний являются биения – сложение двух гармонических колебаний с близкими частотами ().

Исходные синусоиды
Возникновение «биений»
Tб = 2π / |ω1 – ω2|

Рисунок 66 – Биения

Время между точками А и В определяет момент когда число циклов колебаний одной частоты будет на единицу превышать число циклов колебаний другой частоты. Общая амплитуда колебаний в эти моменты равна нулю. Чем меньше разность частот двух составляющих, тем больше длина интервала АВ. В середине интервала общая амплитуда соответствует сумме амплитуд колебаний.

Случайные процессы – непредсказуемы по своему частотному составу и уровням амплитуд, но сохраняют свои статистические характеристики (среднее значения, дисперсию) на протяжении процесса наблюдения. Например: кавитация в проточной части насоса, повреждения подшипников качения, силы трения в подшипниках качения и скольжения, турбулентность в потоке газа или жидкости и др.

Колебательные процессы можно разделить на типы в зависимости от источников энергии в этих процессах:

• свободные или собственные колебания – определяются внутренними параметрами деталей, их массой и жёсткостью, возникающие за счёт однократного внешнего воздействия на систему (после выведения системы из состояния равновесия, за счёт сообщенной энергии из вне), в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие;
• вынужденные колебания – вызываются и поддерживаются переменным внешним воздействием (вибрация роторного механизма, вызванная дисбалансом), при периодическом поступлении энергии из вне к колебательной системе;
• параметрические колебания – вызываются изменением динамических параметров системы (жёсткости, массы или момента инерции, демпфирования и др.), в результате внешнего воздействия ;
• автоколебания – незатухающие колебания в динамической системе, поддерживающиеся за счёт энергии непериодического внешнего воздействия;
• случайные колебания, возникают в результате случайных внешних воздействий и (или) из-за случайных параметров системы;
• крутильные колебания возникают при неравномерном вращении вала.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы. Например:

• колебания маятника часов за счёт действия тяжести заводной гири;
• колебания скрипичной струны под воздействием движущегося смычка;
• работа электрического звонка и др.

Вибрацию также классифицируют: по её природе (механическая, аэрогидродинамическая, электромагнитная, электродинамическая); по конструктивному узлу (элементу) её вызывающему (роторная, лопаточная, подшипниковая, зубчатая).

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Вибрационные характеристики механизма определяются параметрами внешнего нагружения и внутренней структуры взаимодействия узлов и деталей. Изучение вибрационной картины механизма начинается с универсальной расчётной модели отдельного элемента, показанной на .

Компонентами данной модели являются:

1. Сила F – векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на тело других тел, а также полей. Приложенная к телу сила является причиной изменения его скорости или возникновения в нём напряжений.
   Сила как векторная величина характеризуется модулем, направлением и точкой приложения силы. Для возникновения колебаний сила должна быть переменной по модулю или по направлению. Этому требованию отвечают:
   • силы механической природы: центробежные, кинематические, параметрические, динамические, силы трения, силы ударного взаимодействия;
   • силы электромагнитного происхождения: магнитные, электродинамические, магнитострикционные – определяемые изменением линейных размеров магнитного материала под действием магнитного поля;
   • силы аэродинамического происхождения: подъёмные силы, силы трения на границе потока и неподвижных частей машины, пульсации давления в потоке;
   • силы гидродинамического происхождения – имеют ту же природу, что и в газовой среде, но к ним добавляются пульсации давления из-за кавитации.

Сила упругости – сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть тело в исходное состояние (противодействует деформации).
Сила инерции – векторная величина, численно равная произведению массы m материальной тела на его ускорение и направленная противоположно ускорению.
Сила трения – это сила, возникающая при соприкосновении двух тел и препятствующая их относительному движению.

1. Масса – скалярная физическая величина, характеризующая инертность тела и определяющая вес тела при взаимодействии с гравитационными полями.
2. Жёсткость – это способность конструктивных элементов сопротивляться деформации при внешнем воздействии. Основной характеристикой жёсткости является коэффициент жёсткости, равный силе, вызывающей единичное перемещение в точке приложения силы.
3. Демпфирование – способность к подавлению колебаний (способность к рассеиванию энергии колебаний).

Уравнение движения для данной модели выглядит следующим образом:

Первый компонент данного уравнения соответствует второму закону Ньютона, второй указывает на поглощение колебаний, а третий – закон Гука.

Основной характеристикой расчётной модели является частота собственных колебаний. Собственные колебания - это колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие). Примером свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине ().

Частота собственных колебаний определяется массой и жёсткостью:

Поэтому, объекты большой массы имеют собственную частоту колебания на низких частотах, а объекты, имеющие высокую жёсткость, имеют собственную частоту колебания на высоких частотах.

При совпадении частоты собственных колебаний с частотой колебаний вынуждающей силы возникает резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансные явления могут вызвать разрушения в механических системах. Для роторных машин важной характеристикой является критическая скорость – частота вращения вала двигателя, при которой возникает повышенная вибрация из-за совпадения частот вынужденных и собственных колебаний. Амплитуда колебаний при этом повышена, но не бесконечна из-за демпфирования колебаний элементами механической системы. При резонансе происходит изменение фазы на 90 0 между силой, вызвавшей резонанс, и реакцией системы.

Прикладывая периодическую силу постоянного значения, которая увеличивается по частоте и записывая амплитуду перемещения при различных значениях коэффициента затухания (коэффициент затухания δ= h /2 m ), получаем частотные характеристики классической системы ().

При низких частотах возбуждения (), амплитуда колебаний почти не изменяется. При совпадении частоты собственных и вынужденных колебаний амплитуда достигает максимального значения, при малом демпфировании. При увеличении демпфирования значение амплитуды снижается. При максимальном демпфировании на частотной характеристике практически нет пика – система сильно демпфирована. С увеличением частоты возбуждения амплитуда уменьшается. Эти свойства частотных характеристик наблюдаются и на вращающихся системах.

Колебания периодические

"...периодические колебания - колебания, при которых каждое значение колеблющейся величины повторяется через равные интервалы времени..."

Источник:

" ГОСТ 24346-80 (СТ СЭВ 1926-79). Государственный Союза ССР. . Термины и определения"

(утв. и введен в действие Постановлением Госстандарта СССР от 31.07.1980 N 3942)

Официальная терминология . Академик.ру . 2012 .

Смотреть что такое "Колебания периодические" в других словарях:

периодические колебания (вибрация) - Колебания (вибрация), при которых каждое значение колеблющейся величины (характеризующей вибрацию) повторяется через равные интервалы времени. Пояснения Термины и определения для близких понятий, различающиеся лишь отдельными словами, совмещены,… …

КОЛЕБАНИЯ - движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. К. свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звёзд, внутри к рых происходят циклич. яд. реакции; с высокой степенью периодичности вращаются планеты… … Физическая энциклопедия

КОЛЕБАНИЯ ВЕКОВЫЕ - периодические и долгопериодические колебания: ур. м., суши (в результате эпейрогенических движений), климата, ур. озер, концов ледников. Термин устарел, так как периодические колебания интенсивности проявления тех или иных процессов могут быть… … Геологическая энциклопедия

периодические колебания - Механические колебания, при которых состояние механической системы повторяется через равные промежутки времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1987 … Справочник технического переводчика

КОЛЕБАНИЯ КЛИМАТИЧЕСКИЕ - устанавливаются как периодические с разл. ритмами колебаний. В основном они синхронные, так как прослеживаются на больших пространствах, лишь местами отклоняясь, в зависимости как от общих (географических и т. п.), так и местных (особенности геол … Геологическая энциклопедия

КОЛЕБАНИЯ УРОВНЯ МОРЯ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ - 1. Колебания ур. м. в виде приливов и отливов. 2. Сезонные понижения и повышения ур. м., а также годовые, многолетние и вековые, обусловливаемые климатическими причинами. Амплитуда сезонных колебаний не превышает 28 см. Во внутренних морях она… … Геологическая энциклопедия

Периодические колебания (вибрация) - – колебания (вибрация), при которых каждое значение колеблющейся величины (характеризующей вибрацию) повторяется через равные интервалы времени. [ГОСТ 24346 80] Рубрика термина: Виды вибрации Рубрики энциклопедии: Абразивное оборудование,… … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

Периодические колебания уровня - изменения уровня воды в зависимости от приливно отливных явлений, выпадения осадков, изменения атмосферного давления и направления действия ветров в данном районе. Периодичность изменений, как правило, бывает полусуточной, сезонной, годовой.… … Морской словарь

колебания - Движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] колебания Элемент временного ряда, отражающий происходящие в экономике периодические … Справочник технического переводчика

Колебания - элемент временного ряда, отражающий происходящие в экономике периодические изменения, например, подъемы и спады производства продукции и потребления тех или иных товаров. В экономико математических моделях для приближенного… … Экономико-математический словарь

Книги

• Нелинейные колебания и волны , П. С. Ланда. В настоящей книге представлено современное состояние теории нелинейных колебаний и волн. С единой точки зрения рассматриваются колебательные и волновые процессы, как периодические, так и…

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

1. Колебания. Характеристики гармонических колебаний.

2. Свободные (собственные) колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Гармонический осциллятор.

3. Энергия гармонических колебаний.

4. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний. Биение. Метод векторной диаграммы.

5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

6. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Частота затухающих колебаний. Изохронность колебаний. Коэффициент, декремент, логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы.

7. Вынужденные механические колебания. Амплитуда и фаза вынужденных механических колебаний.

8. Механический резонанс. Соотношение между фазами вынуждающей силы и скорости при механическом резонансе.

9. понятие об автоколебаниях.

Колебания. Характеристики гармонических колебаний.

Колебания – движение или процессы, обладающие той или иной степенью повторности во времени.

Гармонические (или синусоидальные) колебания – разновидность периодических колебаний, которые могут быть заменены в виде

где a – амплитуда, - фаза, - начальная фаза, - циклическая частота, t – время (т.е. применяются со временем по закону синуса или косинуса).

Амплитуда (а) – наибольшее отклонение от среднего значения величины, совершающей колебания.

Фаза колебаний () – изменяющийся аргумент функции, описывающей колебательный процесс (величина t+ , стоящая под знаком синуса в выражении (1)).

Фаза характеризует значение изменяющейся величины в данный момент времени. Значение в момент времени t=0 называется начальной фазой ( ).

В качестве примера на рисунке 27.1 представлены математические маятники в крайних положениях с разностью фаз колебаний =0 (27.1.а) и = (27.1б)

Разность фаз колебаний маятников проявляется отличием в положении колеблющихся маятников.

Циклической или круговой частотой называется количество колебаний, совершаемое за 2 секунд.

Частотой колебаний (или линейной частотой ) называется число колебаний в единицу времени. За единицу частоты принимается частота таких колебаний, период которых равен 1с. Эту единицу называют Герц (Гц).

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, а фаза колебания получает приращение, равное 2 , называется периодом колебания (рис. 27.2).

Частота связана с пе-

риодом Т соотношении-

t

		X

Поделив обе части уравнений на m

и перенеся в левую часть

Обозначив , получим линейное дифференциальное однородное уравнение второго порядка

(2)

(линейное – т.е. и сама величина х, и ее производная в первой степени; однородное – т.к. нет свободного члена, не содержащего х; второго порядка – т.к. вторая производная х).

Уравнение (2) решается (*) подстановкой х = . Подставляя в (2) и проводя дифференцирование

.

Получаем характеристическое уравнение

Это уравнение имеет мнимые корни: ( -мнимая единица).

Общее решение имеет вид

где и - комплексные постоянные.

Подставляя корни, получим

(3)

(Замечание: комплексным числом z называется число вида z = x + iy, где x,y – вещественные числа, i – мнимая единица ( = -1). Число х называется вещественной частью комплексного числа z.. Число у называется мнимой частью z).

(*) В сокращенном варианте решение можно опустить

Выражение вида можно представить в виде комплексного числа с помощью формулы Эйлера

аналогично

Положим и в виде комплексных постоянных = А , а = А , где А и произвольные постоянные. Из (3) получим

Обозначив получим

Используя формулу Эйлера

Т.е. получим решение дифференциального уравнения для свободных колебаний

где - собственная круговая частота колебаний, А – амплитуда.

Смещение х применяется со временем по закону косинуса, т.е. движение системы под действием упругой силы f = -кх представляет собой гармоническое колебание .

Если величины, описывающие колебания некоторой системы периодически изменяются со временем, то для такой системы пользуются термином «осциллятор ».

Линейным гармоническим осциллятором называется такой, движение которого описывается линейным уравнением .

3. Энергия гармонических колебаний . Полная механическая энергия системы, изображенной на рис. 27.2 равна сумме механической и потенциальной энергий.

Продифференцируем по времени выражение ( , получим

A sin( t + ).

Кинетическая энергия груза (массой пружины пренебрегаем) равна

E = .

Потенциальная энергия выражается известной формулой подставляя х из (4), получим

Полная энергия

величина постоянная. В процессе колебаний потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот, но каждая энергия остается неизменной.

4. Сложение одинаково направленных колебаний.. Обычно одно и то же тело участвует в нескольких колебаниях. Так, например, звуковые колебания, воспринимаемые нами при слушании оркестра представляют собой сумму колебаний воздуха, вызываемых каждым из музыкальных инструментов в отдельности. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Начальные фазы для упрощения задачи положим равными нулю. Тогдабиениями. За это время разность фаз изменяется на , т.е.

Таким образом период биений