Матричное фурье. Преобразование Фурье. Линейная фильтрация в частотной области

Даётся программный код для прямого и обратного преобразования Фурье. Рассматривается быстрое преобразование Фурье.

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) - это мощный инструмент анализа, который широко используется в области цифровой обработки сигналов (ЦОС). Существуют прямое и обратное преобразования Фурье. Прямое дискретное преобразование Фурье переводит сигнал из временной области в частотную и служит для анализа частотного спектра сигнала. Обратное преобразование делает ровно противоположное: по частотному спектру сигнала восстанавливает сигнал во временной области.

Для расчёта преобразования Фурье обычно используется ускоренная процедура расчёта - т.н. быстрое преобразование Фурье (БПФ). Это позволяет в значительной мере сократить процессорное время на достаточно сложные и ресурсоёмкие математические расчёты.

1 Комплексные числа

Для начала нам потребуется вспомогательный класс, который будет описывать комплексные числа. Комплексные числа - это особый вид чисел в математике. Каждое комплексное число состоит из двух частей - действительной и мнимой. Сейчас нам достаточно знать о комплексных числах применительно к ДПФ то, что действительная часть комплексного числа хранит информацию об амплитуде сигнала, а мнимая - о фазе.

Код класса для описания комплексных чисел (разворачивается) """

""" Комплексное число. """

Public Class ComplexNumber """

""" Действительная часть комплексного числа. """

Public Real As Double = 0 """

""" Мнимая часть комплексного числа. """

Public Imaginary As Double = 0 Public Sub New() Real = 0 Imaginary = 0 End Sub """

""" Создаёт комплексное число. """

""" Действительная часть комплексного числа. """ Мнимая часть комплексного числа. Public Sub New(ByVal r As Double, Optional ByVal im As Double = 0) Real = r Imaginary = im End Sub Private usCult As New Globalization.CultureInfo("en-US") "используем культуру "en-US" чтобы целая и дробная части разделялись точкой, а не запятой """

""" Возвращает строку, состоящую из действительной и мнимой части, разделённых символом табуляции. """

Public Overrides Function ToString() As String Return (Real.ToString(usCult) & ControlChars.Tab & Imaginary.ToString(usCult)) End Function End Class

2 Прямое дискретное быстрое преобразование Фурье

На вход функции передаётся массив комплексных чисел. Действительная часть которого представляет произвольный дискретный сигнал, с отсчётами через равные промежутки времени. Мнимая часть содержит нули. Число отсчётов в сигнале должно равняться степени двойки. Если ваш сигнал короче, то дополните его нулями до числа, кратного степени 2: 256, 512, 1024 и т.д. Чем длиннее сигнал, тем у рассчитанного спектра будет выше разрешение по частоте.

Код для расчёта прямого быстрого преобразования Фурье на VB.NET (разворачивается) """

""" Рассчитывает спектр сигнала методом быстрого преобразования Фурье. Использовать только (N/2+1) возвращаемых значений (до половины частоты дискретизации). """

""" Сигнал, содержащий количество отсчётов, кратное степени двойки, и состоящий из действительной и мнимой частей. Все мнимые части сигнала заполнены нулями. """ Возвращает массив комплексных чисел спектра. """ Значимы только первые N/2+1, остальные - симметричная часть, соответствующая отрицательным частотам. """ Первое значение спектра - это постоянная составляющая, последнее - соответствует половине частоты дискретизации (частота Найквиста). """ Значения выше половины частоты дискретизации - не использовать. """ Public Shared Function FFT(ByVal signal As ComplexNumber()) As ComplexNumber() Dim order As Integer = signal.Length "порядок ДПФ CheckFftOrder(order) "Проверяем, что порядок равен степени двойки Dim spectrumLen As Integer = order \ 2 Dim j As Integer = spectrumLen "Бит-реверсная сортировка: For i As Integer = 1 To order - 2 If (i < j) Then Dim tmpRe As Double = signal(j).Real Dim tmpIm As Double = signal(j).Imaginary signal(j).Real = signal(i).Real signal(j).Imaginary = signal(i).Imaginary signal(i).Real = tmpRe signal(i).Imaginary = tmpIm End If Dim k As Integer = spectrumLen Do Until (k > j) j -= k k \= 2 Loop j += k Next "Цикл по уровням разложения: For level As Integer = 1 To CInt(Math.Log(order) / Math.Log(2)) Dim lvl As Integer = CInt(2 ^ level) Dim lvl2 As Integer = lvl \ 2 Dim tmp As Double = Math.PI / lvl2 Dim sr As Double = Math.Cos(tmp) Dim si As Double = -Math.Sin(tmp) Dim tr As Double = 0 Dim ur As Double = 1 Dim ui As Double = 0 For jj As Integer = 1 To lvl2 "Цикл по спектрам внутри уровня For i As Integer = (jj - 1) To (order - 1) Step lvl "Цикл по отдельным "бабочкам" Dim ip As Integer = i + lvl2 tr = signal(ip).Real * ur - signal(ip).Imaginary * ui "Операция "бабочка" Dim ti As Double = signal(ip).Real * ui + signal(ip).Imaginary * ur signal(ip).Real = signal(i).Real - tr signal(ip).Imaginary = signal(i).Imaginary - ti signal(i).Real = signal(i).Real + tr signal(i).Imaginary = signal(i).Imaginary + ti Next tr = ur ur = tr * sr - ui * si ui = tr * si + ui * sr Next Next "Заполняем массив комплексных чисел, обработанных БПФ: Dim spectrum(order - 1) As ComplexNumber For i As Integer = 0 To order - 1 With signal(i) spectrum(i) = New ComplexNumber(.Real, .Imaginary) End With Next Return spectrum End Function

3 Обратное дискретное быстрое преобразование Фурье

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) одним из этапов расчёта включает в себя прямое ДПФ на массиве комплексных чисел, где мнимая часть - это инверсия относительно оси X мнимой части спектра.

Код для расчёта обратного быстрого преобразования Фурье на VB.NET (разворачивается) """

""" Восстанавливает сигнал по его спектру методом обратного быстрого преобразования Фурье. """

""" Спектр сигнала, содержащий количество отсчётов, кратное степени двойки, и состоящий из действительной и мнимой частей. Public Shared Function InverseFFT(ByVal spectrum As ComplexNumber()) As ComplexNumber() Dim order As Integer = spectrum.Length "Порядок обратного ДПФ. CheckFftOrder(order) "Изменение арифметического знака элементов мнимой части: For i As Integer = 0 To spectrum.Length - 1 spectrum(i).Imaginary = -spectrum(i).Imaginary Next "Вычисление прямого БПФ: Dim directFFT As ComplexNumber() = FFT(spectrum) "Деление на order во временной области со сменой арифметического знака мнимой части: Dim signal(directFFT.Length - 1) As ComplexNumber For i As Integer = 0 To directFFT.Length - 1 Dim ReX As Double = directFFT(i).Real / order Dim ImX As Double = -directFFT(i).Imaginary / order signal(i) = New ComplexNumber(ReX, ImX) Next Return signal End Function

Ну и конечно же, опишем использовавшийся метод, который проверяет число элементов переданного массива:

"""

""" Проверяет, является ли порядок БПФ степенью двойки, и если нет - вызывает исключение. """

""" Порядок БПФ. Private Shared Sub CheckFftOrder(ByVal order As Integer) Dim chk As Double = Math.Abs(Math.Floor(Math.Log(order, 2)) - Math.Log(order, 2)) If (chk > 0.0001) Then Throw New ArgumentException(String.Format("Длина массива ({0}) не кратна степени двойки.", order)) End If End Sub

4 Проверка прямого и обратного преобразования Фурье

Теперь давайте проверим, что наши функции работают. Для этого пропустим произвольный сигнал через механизм прямого преобразования Фурье, а затем «соберём» его обратно с помощью обратного преобразования Фурье. Восстановленный сигнал должен практически совпадать с исходным. Ошибки округления, возникающие при работе с числами в компьютере, имеют место быть, поэтому сигналы не будут идентичны полностью, но их отклонение друг от друга должно быть пренебрежимо малым.

Для примера в качестве исходного сигнала возьмём функцию синуса и сформируем данные длиной 128 отсчётов вот таким образом:

Dim cn(127) As ComplexNumber For i As Integer = 0 To cn.Length - 1 cn(i) = New ComplexNumber(Math.Sin(i * 3 * Math.PI / 180)) Next

Получим вот такой сигнал:

Здесь по оси X - номера отсчётов во временной области, по оси Y - амплитуда. Обратим внимание, что сигнал состоит только из действительных частей, а мнимая часть на всём отрезке равна "0".

Теперь передадим этот сигнал на вход функции FFT(). По полученным в ходе прямого преобразования Фурье массивам комплексных чисел построим два графика - действительной (Re) и мнимой (Im) частей спектра:

Здесь по оси X - отсчёты в частотной области, по оси Y - амплитуда. Чтобы получить реальные значения частоты, необходимо рассчитать их, учитывая, что "0" оси Y соответствует нулевой частоте, максимум оси Y соответствует частоте дискретизации.

Полученный спектр сигнала передадим функции обратного преобразования Фурье IFFT(). Получим массив комплексных чисел, где действительная часть будет содержать восстановленный сигнал:

Как видно, восстановленный сигнал полностью повторяет исходный.

Пусть f (x 1 , x 2) – функция двух переменных. По аналогии с одномерным преобразованием Фурье можно ввести двумерное преобразование Фурье:

Функция при фиксированных значениях ω 1 , ω 2 описывает плоскую волну в плоскости x 1 , x 2 (рисунок 19.1).

Величины ω 1 , ω 2 имеют смысл пространственных частот и размерность мм −1 , а функция F(ω 1 , ω 2) определяет спектр пространственных частот. Сферическая линза способна вычислять спектр оптического сигнала (рисунок 19.2). На рисунке 19.2 введены обозначения: φ - фокусное расстояние,

Рисунок 19.1 – К определению пространственных частот

Двумерное преобразование Фурье обладает всеми свойствами одномерного преобразования, кроме того отметим два дополнительных свойства, доказательство которых легко следует из определения двумерного преобразования Фурье.

Рисунок 19.2 – Вычисление спектра оптического сигнала с использованием
сферической линзы

Факторизация . Если двумерный сигнал факторизуется,

то факторизуется и его спектр:

Радиальная симметрия . Если двумерный сигнал радиально-симметричен, то есть

Где – функция Бесселя нулевого порядка. Формулу, определяющую связь между радиально-симметричным двумерным сигналом и его пространственным спектром называют преобразованием Ганкеля.

ЛЕКЦИЯ 20. Дискретное преобразование Фурье. Низкочастотный фильтр

Прямое двумерное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) преобразует изображение, заданное в пространственной координатной системе (x, y ), в двумерное дискретное преобразование изображения, заданное в частотной координатной системе (u,v ):

Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) имеет вид:

Видно, что ДПФ является комплексным преобразованием. Модуль этого преобразования представляет амплитуду спектра изображения и вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой частей ДПФ. Фаза (угол сдвига фазы) определяется как арктангенс отношения мнимой части ДПФ к действительной. Энергетический спектр равен квадрату амплитуды спектра, или сумме квадратов мнимой и действительной частей спектра.

Теорема о свертке

В соответствии с теоремой о свертке, свертка двух функций в пространственной области может быть получена ОДПФ произведения их ДПФ, то есть

Фильтрация в частотной области позволяет по ДПФ изображения подобрать частотную характеристику фильтра, обеспечивающую необходимое преобразование изображения. Рассмотрим частотные характеристики наиболее распространенных фильтров.

Я полагаю что все в общих чертах знают о существовании такого замечательного математического инструмента как преобразование Фурье. Однако в ВУЗах его почему-то преподают настолько плохо, что понимают как это преобразование работает и как им правильно следует пользоваться сравнительно немного людей. Между тем математика данного преобразования на удивление красива, проста и изящна. Я предлагаю всем желающим узнать немного больше о преобразовании Фурье и близкой ему теме того как аналоговые сигналы удается эффективно превращать для вычислительной обработки в цифровые.

Без использования сложных формул и матлаба я постараюсь ответить на следующие вопросы:

• FT, DTF, DTFT - в чем отличия и как совершенно разные казалось бы формулы дают столь концептуально похожие результаты?
• Как правильно интерпретировать результаты быстрого преобразования Фурье (FFT)
• Что делать если дан сигнал из 179 сэмплов а БПФ требует на вход последовательность по длине равную степени двойки
• Почему при попытке получить с помощью Фурье спектр синусоиды вместо ожидаемой одиночной “палки” на графике вылезает странная загогулина и что с этим можно сделать
• Зачем перед АЦП и после ЦАП ставят аналоговые фильтры
• Можно ли оцифровать АЦП сигнал с частотой выше половины частоты дискретизации (школьный ответ неверен, правильный ответ - можно)
• Как по цифровой последовательности восстанавливают исходный сигнал

Я буду исходить из предположения что читатель понимает что такое интеграл , комплексное число (а так же его модуль и аргумент), свертка функций , плюс хотя бы “на пальцах” представляет себе что такое дельта-функция Дирака . Не знаете - не беда, прочитайте вышеприведенные ссылки. Под “произведением функций” в данном тексте я везде буду понимать “поточечное умножение”

Начать надо, наверное, с того что обычное преобразование Фурье - это некая такая штука которая, как можно догадаться из названия, преобразует одни функции в другие, то есть ставит в соответствие каждой функции действительного переменного x(t) её спектр или фурье-образ y(w):

Если приводить аналогии, то примером аналогичного по смыслу преобразования может послужить например дифференцирование, превращающее функцию в её производную. То есть преобразование Фурье - такая же, по сути, операция как и взятие производной, и её часто обозначают схожим образом, рисуя треугольную “шапочку” над функцией. Только в отличие от дифференцирования которое можно определить и для действительных чисел, преобразование Фурье всегда “работает” с более общими комплексными числами. Из-за этого постоянно возникают проблемы с отображением результатов этого преобразования, поскольку комплексные числа определяются не одной, а двумя координатами на оперирующем действительными числами графике. Удобнее всего, как правило, оказывается представить комплексные числа в виде модуля и аргумента и нарисовать их по раздельности как два отдельных графика:

График аргумента комплексного значения часто называют в данном случае “фазовым спектром”, а график модуля - “амплитудным спектром”. Амплитудный спектр как правило представляет намного больший интерес, а потому “фазовую” часть спектра нередко пропускают. В этой статье мы тоже сосредоточимся на “амплитудных” вещах, но забывать про существование пропущенной фазовой части графика не следует. Кроме того, вместо обычного модуля комплексного значения часто рисуют его десятичный логарифм умноженный на 10. В результате получается логарифмический график, значения на котором отображаются в децибелах (дБ).

Обратите внимание что не очень сильно отрицательным числам логарифмического графика (-20 дБ и менее) при этом соответствуют практически нулевые числа на графике “обычном”. Поэтому длинные и широкие “хвосты” разнообразных спектров на таких графиках при отображении в “обычные” координаты как правило практически исчезают. Удобство подобного странного на первый взгляд представления возникает из того что фурье-образы различных функций часто необходимо перемножать между собой. При подобном поточечном умножении комплекснозначных фурье-образов их фазовые спектры складываются, а амплитудные - перемножаются. Первое выполняется легко, а второе - сравнительно сложно. Однако логарифмы амплитуды при перемножении амплитуд складываются, поэтому логарифмические графики амплитуды можно, как и графики фаз, просто поточечно складывать. Кроме того, в практических задачах часто удобнее оперировать не «амплитудой» сигнала, а его «мощностью» (квадратом амплитуды). На логарифмической шкале оба графика (и амплитуды и мощности) выглядят идентично и отличаются только коэффициентом - все значения на графике мощности ровно вдвое больше чем на шкале амплитуд. Соответственно для построения графика распределения мощности по частоте (в децибелах) можно не возводить ничего в квадрат, а посчитать десятичный логарифм и умножить его на 20.

Заскучали? Погодите, еще немного, с занудной частью статьи, объясняющей как интерпретировать графики, мы скоро покончим:). Но перед этим следует понять одну крайне важную вещь: хотя все вышеприведенные графики спектров были нарисованы для некоторых ограниченных диапазонов значений (в частности, положительных чисел), все эти графики на самом деле продолжаются в плюс и минус бесконечность. На графиках просто изображается некоторая “наиболее содержательная” часть графика, которая обычно зеркально отражается для отрицательных значений параметра и зачастую периодически повторяется с некоторым шагом, если рассматривать её в более крупном масштабе.

Определившись с тем, что же рисуется на графиках, давайте вернемся собственно к преобразованию Фурье и его свойствам. Существует несколько разных способов как определить это преобразование, отличающихся небольшими деталями (разными нормировками). Например в наших ВУЗах почему-то часто используют нормировку преобразования Фурье определяющую спектр в терминах угловой частоты (радианов в секунду). Я буду использовать более удобную западную формулировку, определяющую спектр в терминах обычной частоты (герцах). Прямое и обратное преобразование Фурье в этом случае определяются формулами слева, а некоторые свойства этого преобразования которые нам понадобятся - списком из семи пунктов справа:

Первое из этих свойств - линейность. Если мы берем какую-то линейную комбинацию функций, то преобразование Фурье этой комбинации будет такой же линейной комбинацией образов Фурье этих функций. Это свойство позволяет сводить сложные функции и их фурье-образы к более простым. Например, фурье-образ синусоидальной функции с частотой f и амплитудой a является комбинацией из двух дельта-функций расположенных в точках f и -f и с коэффициентом a/2:

Если взять функцию, состоящую из суммы множества синусоид с разными частотами, то согласно свойству линейности, фурье-образ этой функции будет состоять из соответствующего набора дельта-функций. Это позволяет дать наивную, но наглядную интерпретацию спектра по принципу “если в спектре функции частоте f соответствует амплитуда a, то исходную функцию можно представить как сумму синусоид, одной из которых будет синусоида с частотой f и амплитудой 2a”. Строго говоря, эта интерпретация неверна, поскольку дельта-функция и точка на графике - это совершенно разные вещи, но как мы увидим дальше, для дискретных преобразований Фурье она будет не так уж и далека от истины.

Второе свойство преобразования Фурье - это независимость амплитудного спектра от сдвига сигнала по времени. Если мы подвинем функцию влево или вправо по оси x, то поменяется лишь её фазовый спектр.

Третье свойство - растяжение (сжатие) исходной функции по оси времени (x) пропорционально сжимает (растягивает) её фурье-образ по шкале частот (w). В частности, спектр сигнала конечной длительности всегда бесконечно широк и наоборот, спектр конечной ширины всегда соответствует сигналу неограниченной длительности.

Четвертое и пятое свойства самые, пожалуй, полезные из всех. Они позволяют свести свертку функций к поточечному перемножению их фурье-образов и наоборот - поточечное перемножение функций к свертке их фурье-образов. Чуть дальше я покажу насколько это удобно.

Шестое свойство говорит о симметрии фурье-образов. В частности, из этого свойства следует что в фурье-образе действительнозначной функции (т.е. любого “реального” сигнала) амплитудный спектр всегда является четной функцией, а фазовый спектр (если его привести к диапазону -pi...pi) - нечетной. Именно по этой причине на графиках спектров практически никогда не рисуют отрицательную часть спектра - для действительнозначных сигналов она не дает никакой новой информации (но, повторюсь, и нулевой при этом не является).

Наконец последнее, седьмое свойство, говорит о том, что преобразование Фурье сохраняет “энергию” сигнала. Оно осмысленно только для сигналов конечной продолжительности, энергия которых конечна, и говорит о том, что спектр подобных сигналов на бесконечности быстро приближается к нулю. Именно в силу этого свойства на графиках спектров как правило изображают только “основную” часть сигнала, несущую в себе львиную долю энергии - остальная часть графика просто стремится к нулю (но, опять же, нулем не является).

Вооружившись этими 7 свойствами, давайте посмотрим на математику “оцифровки” сигнала, позволяющую перевести непрерывный сигнал в последовательность цифр. Для этого нам понадобится взять функцию, известную как “гребенка Дирака”:

Гребенка Дирака - это просто периодическая последовательность дельта-функций с единичным коэффициентом, начинающаяся в нуле и идущая с шагом T. Для оцифровки сигналов, T выбирают по возможности малым числом, T<<1. Фурье-образ этой функции - тоже гребенка Дирака, только с гораздо большим шагом 1/T и несколько меньшим коэффициентом (1/T). С математической точки зрения, дискретизация сигнала по времени - это просто поточечное умножение исходного сигнала на гребенку Дирака. Значение 1/T при этом называют частотой дискретизации:

Вместо непрерывной функции после подобного перемножения получается последовательность дельта-импульсов определенной высоты. При этом согласно свойству 5 преобразования Фурье, спектр получившегося дискретного сигнала есть свертка исходного спектра с соответствующей гребенкой Дирака. Несложно понять, что исходя из свойств свертки, спектр исходного сигнала при этом как бы “копируется” бесконечное число раз вдоль оси частот с шагом 1/T, а затем суммируется.

Заметим, что если исходный спектр имел конечную ширину и мы использовали достаточно большую частоту дискретизации, то копии исходного спектра не будут перекрываться, а следовательно и суммироваться друг с другом. Несложно понять что по подобному “свернутому” спектру будет легко восстановить исходный - достаточно будет просто взять компоненту спектра в районе нуля, “обрезав” лишние копии уходящие на бесконечность. Простейший способ это сделать - это домножить спектр на прямоугольную функцию, равную T в диапазоне -1/2T...1/2T и нулю - вне этого диапазона. Подобный Фурье-образ соответствует функции sinc (Tx) и согласно свойству 4, подобное умножение равнозначно свертке исходной последовательности дельта-функций с функцией sinc(Tx)

То есть с помощью преобразования Фурье мы получили способ легко восстановить исходный сигнал из дискретизированного по времени, работающий при условии что мы используем частоту дискретизации, по крайней мере вдвое (из-за наличия в спектре отрицательных частот) превышающую максимальную частоту присутствующую в исходном сигнале. Этот результат широко известен и называется “теорема Котельникова / Шеннона-Найквиста” . Однако, как несложно теперь (понимая доказательство) заметить, этот результат вопреки широко распространенному заблуждению определяет достаточное , но не необходимое условие для восстановления исходного сигнала. Все что нам требуется - это добиться того, чтобы интересующая нас часть спектра после дискретизации сигнала не накладывалась друг на друга и если сигнал достаточно узкополосный (имеет малую “ширину” ненулевой части спектра), то этого результата часто можно добиться и при частоте дискретизации намного ниже чем удвоенная максимальная частота сигнале. Подобная техника называется “undersampling” (субдискретизация, полосовая дискретизация) и довольно широко используется при обработке всевозможных радиосигналов. Например, если мы берем FM-радио действующее в полосе частот от 88 до 108 МГц, то для его оцифровки можно использовать АЦП с частотой всего 43.5 МГц вместо предполагающихся по теореме Котельникова 216 МГц. При этом, правда, понадобится качественный АЦП и хороший фильтр.

Замечу, что “дублирование” высоких частот частотами меньших порядков (алиасинг) - непосредственное свойство дискретизации сигнала, необратимо “портящее” результат. Поэтому если в сигнале в принципе могут присутствовать частоты высокого порядка (то есть практически всегда) перед АЦП ставят аналоговый фильтр, “отсекающий” все лишнее непосредственно в исходном сигнале (так как после дискретизации делать это уже будет поздно). Характеристики этих фильтров, как аналоговых устройств, неидеальны, поэтому некоторая “порча” сигнала при этом все равно происходит, и на практике из этого следует что наибольшие частоты в спектре, как правило, недостоверны. Чтобы уменьшить эту проблему, сигнал нередко сэмплируют с завышенной частотой дискретизации, ставя при этом входной аналоговый фильтр на меньшую полосу пропускания и используя только нижнюю часть теоретически доступного частотного диапазона АЦП.

Еще одно распространенное заблуждение, кстати, - это когда сигнал на выходе ЦАП рисуют “ступеньками”. “Ступеньки” соответствуют свертке дискретизированной последовательности сигналов с прямоугольной функцией ширины T и высоты 1:

Спектр сигнала при таком преобразовании умножается на фурье-образ этой прямоугольной функции, а у подобной прямоугольной функции это снова sinc(w), “растянутый” тем сильнее, чем меньше ширина соответствующего прямоугольника. Спектр дискретизированного сигнала при подобном “ЦАП” поточечно умножается на этот спектр. При этом ненужные высокие частоты с “лишними копиями” спектра обрезаются не полностью, а верхняя часть “полезной” части спектра, напротив, ослабляется.

На практике так, естественно, никто не делает. Существует много разных подходов к построению ЦАП, но даже в наиболее близких по смыслу ЦАП взвешивающего типа прямоугольные импульсы в ЦАП напротив выбираются по возможности короткими (приближающимися к настоящей последовательности дельта-функций) чтобы избежать излишнего подавления полезной части спектра. “Лишние” частоты в получившемся широкополосном сигнале практически всегда гасят, пропуская сигнал через аналоговый фильтр низких частот, так что «цифровых ступенек» нет ни «внутри» преобразователя, ни, тем более, на его выходе.

Однако вернемся обратно к преобразованию Фурье. Описанное выше преобразование Фурье, примененное к заранее дискретизированной последовательности сигналов называется преобразованием Фурье дискретного времени (DTFT). Спектр получаемый подобным преобразованием всегда 1/T-периодичен, поэтому спектр DTFT полностью определяется её значениями на отрезке = ∑ x[ n] e− jnk (2 π N )

		n= 0
			N − 1
			∑ X [ k ] e jnk(2 π N)
	N k = 0

Если по этим формулам разложить в спектр действительный сигнал, то первые N /2+1 комплексных коэффициентов спектра будут совпадать со спектром «обычного» действительного ДПФ, представленным в «комплексном» виде, а остальные коэффициенты будут их симметричным отражением относительно