Логическая связка. Высказывания. логические операции (связки)

Конъюнктивное суждение.

Конъюнктивное суждение - суждение, которое является истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него суждения.

Образуется посредством логического союза конъюнкции, выражающегося грамматическими союзами «и», «да», «но», «однако». Например, «Светит, да не греет».

Символически обозначается следующим образом: А?В, где А, В - переменные, обозначающие простые суждения, ?- символическое выражение логического союза конъюнкции.

Определению конъюнкции соответствует таблица истинности:

Дизъюнктивные суждения.

Имеется два вида дизъюнктивных суждений: строгая (исключающая) дизъюнкция и нестрогая (неисключающая) дизъюнкция.

Строгая (исключающая) дизъюнкция - сложное суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда, когда истинно только одно из входящих в него суждений или «которое ложно тогда, когда оба высказывания ложны». Например, «Данное число либо кратно, либо не кратно пяти».

Логический союз дизъюнкция выражается посредством грамматического союза «либо…либо».

Символически записывается А?В.

Логическое значение строгой дизъюнкции соответствует таблице истинности:

Нестрогая (неисключающая) дизъюнкция - сложное суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда, когда истинным является, по крайней мере, одно (но может быть и больше) из простых суждений, входящих в сложное. Например, «Писатели могут быть или поэтами, или прозаиками (или тем и другим одновременно)» .

Нестрогая дизъюнкция выражается посредством грамматического союза «или…или» в разделительно-соединительном значении.

Символически записывается А? В. Нестрогой дизъюнкции соответствует таблица истинности:

Импликативные (условные) суждения.

Импликация - сложное суждение, принимающее логическое значение ложности тогда и только тогда, когда предшествующее суждение (антецедент ) истинно, а последующее (консеквент ) ложно.

В естественном языке импликация выражается союзом «если..., то» в смысле «наверно, что А и не В». Например, «Если число делится на 9, то оно делится и на 3».

Символически импликация записывается А> В (если А, то В).

Логическое значение представлено в таблице истинности:

Анализ свойств импликации показывает, что истинность антецедента является достаточным условием истинности консеквента, но не наоборот. Достаточным для некоторого явления считается такое условие, наличие которого непременно вызывает это явление. Например, «быть березой» достаточное условие, чтобы включить ее в класс деревьев, так как все березы - деревья и ни одна не береза не является деревом.

В то же время истинность консеквента является необходимым условием истинности антецедента, но недостаточным. Необходимым для явления считается такое условие, без которого оно (явление) не имеет место. Например, класс берез включен в класс деревьев, но не равен ему. Есть деревья, которые не являются березами. Однако условие «быть деревом» для березы является обязательным, так как все березы - деревья.

Парадоксы материальной импликации.

Так обозначается смысловое расхождение операции материальной импликации с ее символической формулой: А>В. Согласно материальной импликации истинность А, для истинности формулы А>В, необходимо, чтобы и В было истинно. В этом случае речь идет о содержательном понимании ложности и истинности высказывания. Однако формула А>В истинна не только в указанном случае, но и тогда, когда А - ложно, а В - истинно и тогда, когда они оба ложны. Из данного факта вытекает парадокс материальной импликации: из ложного высказывания следует любое высказывание, все что угодно и истинное высказывание следует из любого высказывания.

Суждения эквивалентности.

Эквивалентность - сложное суждение, которое принимает логическое значение истины тогда и только тогда, когда входящие в него суждения обладают одинаковым логически значением, т. е. одновременно либо истинны, либо ложны.

Логический союз эквивалентности выражается грамматическими союзами «тогда и только тогда, когда», «если и только если». Например, «Если и только если треугольник равносторонний, то он и равноугольный».

Символически эквивалентность записывается АВ или АВ («если и только если А , то В»).

Логическое значение эквивалентности соответствует таблице истинности:

Эквивалентное суждение со связанными по содержанию членами выражает одновременно условие достаточное и необходимое: (А> В)?(В> А).

Равносильность выражений (АВ) и (А> В)?(В>А) может быть доказана с помощью таблицы истинности.

Отрицание.

Отрицание - это логическая операция, с помощью которой из одного высказывания получают новое, при этом простое суждение P превращается в сложное, и если исходное простое суждение истинно, то новое сложное суждение ложно - «неверно, что P» или «высказывание А ложно тогда, когда высказывание АЇ истинно».

Выражение одних логических связок посредством других.

Рассмотренные выше логические союзы взаимозаменяемы и выразимы через другие. Например:

А> В = А?В - импликация через дизъюнкцию;

А> В = В> А - импликация через импликацию;

А> B = А? В - импликация через конъюнкцию;

А?В = А? В - конъюнкция через дизъюнкцию;

А?В = А? В - дизъюнкция через конъюнкцию;

А?В = А? В - конъюнкция через дизъюнкцию.

Сложным называют суждение, содержащее логи­ческие связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как

элементы, из соединения которых возникают сложные структуры.

Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: а, Ь, с, d,... Каждая такая буква представляет некото­рое простое суждение. Откуда это видно? Отвле­каясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения - то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы го­ворим, что буква “а” представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это “а” представляет истину или ложь. Если под “а” мы подразумеваем суждение “Кенгуру живут в Австралии”, мы подразумеваем истину; если же под “а” мы подразумеваем суж­дение “Кенгуру живут в Сибири”, мы подразуме­ваем ложь. Таким образом, наши буквы “а”, “Ь”, “с” и т.д. - это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой фор­мальные аналоги союзов нашего родного естест­венного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов “однако”, “так как”, “или” и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощу­щается гораздо большая связь мысли с языком, по­этому в дальнейшем мы вместо слова “суждение”, обозначающего чистую мысль, часто будем исполь­зовать слово “высказывание”, обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логиче­скими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответ­ствует выражение “Неверно, что...”. Отрицание обычно обозначается знаком “-”, стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: “-а” читается “Неверно, что а”. Пример: “Неверно, что Земля - шар”.

Следует обратить внимание на одно тонкое обсто­ятельство. Выше мы говорили о простых отрицатель­ных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрица­ния - внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой “есть”, то в этом случае мы имеем дело с простым отрицатель­ным суждением, например: “Земля не шар”. Если же отрицание внешним образом присоединяется к суж­дению, например: “Неверно, что Земля - шар”, то та­кое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы “и”, “а”, “но”, “однако” и т.п.

Чаще всего конъюнкция обозначается значком “&”. Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

а & Ь. Пример: “В корзине у деда лежали подбере­зовики и маслята”. Это сложное суждение пред­ставляет собой конъюнкцию двух простых сужде­ний: -“В корзине у деда лежали подберезовики” и “В корзине у деда лежали маслята”.

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз “или”. Обычно она обозначается знаком “v”. Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выгля­дит следующим образом: а v Ь.

Союз “или” в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое “или” - когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое “или” (часто заменяется парой союзов “либо..., ли­бо...”) - когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции - строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответ­ствует союз “если... то”. Она обозначается знаком “->”. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: а -> Ь. Пример: “Если по про­воднику проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй - консеквентом, или следствием. В повседневном языке со­юз “если... то” обычно соединяет предложения, ко­торые выражают причинно-следственную связь яв­лений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе - следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью ука­занных выше обозначений означает их форма­лизацию, которая во многих случаях оказывает­ся полезной. 4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове ус­траиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужест­ранцев, правитель острова издал указ: “Всякий при­езжий, желающий поселиться на нашем благосло­венном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чу­жестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить”. Боишь­ся - тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать сужде­ние, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

Сложным называют суждение, содержащее логические связки и состоящее из нескольких простых суждений.

В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры. Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: a, b, c, d, … Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Откуда это видно? Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения – то, что оно может быть истинным или ложным. Все остальное нас здесь не интересует. И когда мы говорим, что буква «a» представляет суждение, а не понятие, не число, не функцию, мы имеем в виду только одно: это «a» представляет истину или ложь. Если под «a» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Австралии», мы подразумеваем истину; если же под «а» мы подразумеваем суждение «Кенгуру живут в Сибири», мы подразумеваем ложь. Таким образом, наши буквы «a», «b», «c» и т.д. – это переменные, вместо которых могут подставляться истина или ложь.

Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Как сложные предложения строятся из простых с помощью союзов «однако», «так как», «или» и т.п., так и сложные суждения образуются из простых с помощью логических связок. Здесь ощущается гораздо большая связь мысли с языком, поэтому в дальнейшем мы вместо слова «суждение», обозначающего чистую мысль, часто будем использовать слово «высказывание», обозначающее мысль в ее языковом выражении. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.

Отрицание. В естественном языке ему соответствует выражение «Неверно, что…». Отрицание обычно обозначается знаком «», стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: «а» читается «Неверно, что а». Пример: «Неверно, что Земля – шар».

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания – внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой «есть», то в этом случае мы имеем дело с простым отрицательным суждением, например: «Земля не шар». Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: «Неверно, что Земля – шар», то такое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы «и», «а», «но», «однако» и т.п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком «&». Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

a & b. Пример: «В корзине у деда лежали подберезовики и маслята». Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: – «В корзине у деда лежали подберезовики» и «В корзине у деда лежали маслята».

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз «или». Обычно она обозначается знаком «v». Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: a v b.

Союз «или» в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое «или» – когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т.е. могут быть одновременно истинными, и строгое «или» (часто заменяется парой союзов «либо…, либо…») – когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции – строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответствует союз «если… то». Она обозначается знаком «->». Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: a -> b. Пример: «Если по проводнику проходит электрический ток, то проводник нагревается». Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй – консеквентом, или следствием. В повседневном языке союз «если… то» обычно соединяет предложения, которые выражают причинно-следственную связь явлений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе – следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной.

4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: «Всякий приезжий, желающий поселиться на нашем благословенном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чужестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить». Боишься – тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать суждение, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

Таблицы истинности

Теперь мы подошли к очень важному и трудному вопросу. Сложное суждение – это тоже мысль, которая что-то утверждает или отрицает и которая поэтому оказывается истинной или ложной. Вопрос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики – на него отвечают конкретные науки, повседневная практика или наблюдение. Истинно или ложно суждение «Все киты – млекопитающие»? Нужно спросить биолога, и он скажет нам, что это суждение истинно. Истинно или ложно суждение «Железо тонет в воде»? Нужно обратиться к практике: бросим в воду какую-нибудь железку и убедимся, что это суждение истинно.

Короче говоря, вопрос об истинности или ложности простых суждений в итоге всегда решается посредством обращения к той реальности, к которой они относятся.

Но как установить истинность или ложность сложного суждения? Пусть у нас имеется некоторая конъюнкция «a & b» и нам известно, что суждение «a» истинно, а суждение «b» ложно. Что можно сказать об этом сложном высказывании в целом? Если бы в реальности существовал объект, к которому относится связка «&», то трудности не возникло бы: обнаружив этот объект, мы могли бы сказать: «Есть! Конъюнкция истинна!»; обшарив все вокруг и не обнаружив соответствующего объекта, мы бы констатировали: «Конъюнкция ложна». Но дело в том, что логическим связкам – как, впрочем, и союзам естественного языка – в реальности ничего не соответствует! Это изобретенные нами средства связи мыслей или предложений, это – орудия мышления, не имеющие аналогов в реальности. Поэтому вопрос об истинности или ложности высказываний с логическими связками – не вопрос конкретных наук или материальной практики, а чисто логический вопрос. И его решает логика.

Мы договариваемся или принимаем соглашения относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой считать истинными, а когда – ложными. Конечно, в основе этих соглашений лежат некоторые рациональные соображения, однако важно иметь в виду, что это – наши произвольные соглашения, принятые в целях удобства, простоты, плодотворности, но не навязанные нам реальностью. Поэтому мы вольны изменять эти соглашения и делаем это, когда считаем нужным.

Соглашения, о которых идет речь, выражаются таблицами истинности для логических связок, показывающими, в каких случаях высказывание с той или иной связкой считается истинным, а в каких – ложным. При этом мы опираемся на истинность или ложность простых суждений, являющихся компонентами сложного суждения. «Истина» («и») и «ложь» («л») называются «истинностными значениями» суждения: если переменная представляет истинное суждение, она принимает значение «истина»; если же – ложное, она принимает значение «ложь». Каждая переменная может представлять как истину, так и ложь.

Отрицание применяется к одному суждению. Это суждение может быть истинным или ложным, поэтому таблица для отрицания выглядит следующим образом:

Если исходное суждение истинно, то его отрицание мы договариваемся считать ложным; если же исходное суждение ложно, то его отрицание мы считаем истинным. Кажется, такое соглашение соответствует нашей интуиции. Действительно, суждение «Байрон был английским поэтом» истинно, поэтому его отрицание «Неверно, что Байрон был английским поэтом» естественно считать ложным. Суждение «Афины находятся в Италии» ложно, поэтому его отрицание «Неверно, что Афины находятся в Италии» естественно считать истинным.

Таблицы истинности для остальных логических связок мы для удобства приводим все вместе:

Все приведенные здесь связки соединяют два суждения. Для двух суждений имеется четыре возможности: оба могут быть истинными; одно истинно, другое – ложно; одно ложно, другое – истинно; оба ложны. Все эти возможности учтены как случаи 1-4.

Конъюнкция истинна только в одном случае – когда оба ее члена истинны. Во всех остальных случаях мы считаем ее ложной. В общем, это кажется довольно естественным. Допустим, вы говорите своему избраннику: «Я выйду за тебя замуж и буду тебе верна». Вы действительно вышли замуж за этого человека и храните ему верность. Он доволен: вы его не обманули, конъюнкция в целом истинна. Второй случай: вы вышли замуж, но не храните верности своему мужу. Он негодует, считает, что вы его обманули, – конъюнкция ложна. Третий случай: вы не вышли замуж за того, кому обещали, хотя и храните ему верность, лелея воспоминания о первой и, увы, единственной любви. Опять-таки он в расстроенных чувствах: вы его обманули – конъюнкция ложна. Наконец, четвертый вариант: вы и замуж за него не вышли и, естественно, верности ему не храните. Ваш поклонник в бешенстве: вы его нагло обманули – конъюнкция ложна.

Аналогичные соображения оправдывают и таблицу истинности для дизъюнкции. Несколько сложнее обстоит дело с импликацией. Рассмотрим суждение «Если солнце взошло, на улице стало светло». Здесь импликация соединяет два простых суждения «Солнце взошло» и «На улице стало светло». Когда оба они истинны, то импликацию в целом мы считаем истинной. Теперь второй случай: солнце взошло, но на улице светло не стало. Если такое вдруг произошло, мы сочтем нашу импликацию ложной: видимо, чего-то мы не учли, когда формулировали такую связь между двумя суждениями. Третий случай: солнце не взошло, но на улице стало светло. Опровергнет ли это нашу импликацию? Отнюдь нет, такое вполне возможно: на улице зажглись фонари, стало светло, но это не противоречит связи между восходом солнца и наступлением светлого времени суток. Импликацию можно считать истинной. Наконец, четвертый случай: солнце не взошло и светло не стало. Это вполне естественно, наша импликация остается истинной.

Поясняя таблицы истинности для логических связок, мы старались показать, что эти таблицы в какой-то мере соответствуют нашей языковой интуиции, нашему пониманию смысла союзов естественного языка. Однако не следует переоценивать степень такого соответствия. Союзы естественного языка гораздо богаче и тоньше по смысловому содержанию, нежели логические связки. Последние схватывают лишь ту часть этого содержания, которая относится к соотношениям истинности или ложности простых высказываний. Более тонких смысловых связей логические связки не учитывают. Поэтому иногда возможно довольно большое расхождение между логическими связками и союзами естественного языка. С помощью этих связок создают программы для компьютеров, и теперь вы можете понять, какую часть нашего мышления способен усвоить и использовать компьютер.

5) Как разделить 7 яблок поровну между 12 мальчиками, не разрезая при этом ни одного яблока на 12 частей? (Наложенное условие призвано исключить самое простое решение: разрезать каждое яблоко на 12 частей и дать каждому мальчику по одной дольке от каждого яблока или 6 яблок разрезать пополам, а 7-е яблоко разрезать на 12 частей.)

6) На одном острове живут два племени – молодцы, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На остров приезжает путешественник, который знает об этом, и, встретив местного жителя, спрашивает его: «Кто ты, из какого рода-племени?» «Я молодец!» – гордо отвечает абориген. «Вот хорошо, – обрадовался путешественник, – будешь моим проводником!» Гуляют они по острову и вдруг видят вдалеке еще одного аборигена. «Пойди спроси у него, – говорит путешественник своему проводнику, – из какого он племени?» Проводник сбегал вернулся и доложил. «Он сказал, что он – молодец!» «Ага, – подумал путешественник, – теперь я точно знаю, из какого племени ты сам!»

Как путешественник догадался, кем был его проводник?

Определение. Под высказыванием принято понимать языковое предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно в данный момент времени.

Высказывания чаще всего обозначают маленькими латинскими буквами a, b, c, х 1 , х 2 , …

В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний. Истинностные значения – истина и ложь – будем обозначать И и Л соответственно. Множество {И, Л} называется множеством истинностных значений.

Определение. Высказывание называют простым (элементарным), если оно рассматривается как некое неделимое целое (аналогично элементу множества). Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

В естественном языке роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства: союзы «и», «или», «не»; слова «если …, то», «либо … либо», «тогда и только тогда, когда» и др. В логике высказываний логические связки, используемые для составления сложных высказываний, обязаны быть определены точно. Рассмотрим логические связки (операции) над высказываниями, при которых истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом.

В дальнейшем значению «истина» будем ставить в соответствие 1 , а «ложь» — 0 . Каждой логической операции ставится в соответствие таблица истинности . Таблица истинности выражает значения истинности высказываний в зависимости от значений элементарных высказываний. В дальнейшем буден использовать таблицу истинности для установления истинностных значений сложных высказываний при данных значениях входящих в него элементарных высказываний.

Определение. Отрицанием высказывания является новое высказывание, истинное только тогда, когда исходное высказывание ложно (табл. 2.13).

Таблица 2.1 Таблица истинности для отрицания

номер набора

Отрицание обозначается через и читается как «не а », «неверно, что а ».

Пример 15.

А – «Степан любит танцевать».

Тогда — «Не верно, что Степан любит танцевать».

Определение. Конъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое истинно только тогда, когда оба исходных высказывания истинны (табл. 2.2).

Конъюнкция обозначается или a& b и читается как «a и b », «a , но b », «a , а b ».

Таблица 2.2 Таблица истинности для конъюнкции

номер набора			a Ù b

Пример 16.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда — «Степан любит танцевать и петь».

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно только тогда, когда оба исходных высказывания ложны (табл. 2.3).

Дизъюнкция обозначается через и читается как «a или b ».

Таблица 2.3 Таблица истинности для дизъюнкции

номер набора			a Ú b

Пример 17.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда — «Степан любит танцевать или петь».

Определение. Импликацией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно только тогда, когда первое истинно, а второе – ложно (табл. 2.4).

Импликация обозначается a ® b и читается как «если a, то b»; « из а следует b ». При этом a называется посылкой или условием, b – следствием или заключением.

Таблица 2.4 Таблица истинности для импликации

номер набора			a ® b

Пример 18.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда — «Если Степан любит танцевать, то он любит петь».

Определение.

Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний является новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях (табл. 2.5).

Таблица 2.5 Таблица истинности для эквивалентности

номер набора			a » b

Эквивалентность обозначается a » b и читается как «a эквивалентно b» .

Пример 19.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда — «Для того, чтобы Степан любил танцевать, необходимо и достаточно, чтобы он любил петь».

Сведем все сказанное выше в единую таблицу и введем в рассмотрение еще три операции: сумма по модулю два, штрих Шеффера, стрелка Пирса (табл. 2.6).

Таблица 2.6 Краткие сведения о логических операциях

Обозначения логической операции	Другие обозначения логической операции	Набор истинностных значений, отвечающих данной логической операции	Названия логической операции и связки	Как читается выражение, приведенное в первом столбце
a			отрицание	неверно, что а; не а
	a & b a × b min(a; b)		конъюнкция, логическое умножение, логическое «и»

Широко употребительных логических связок пять. Это отрицание (изображается знаком ¬), конъюнкция (знак ), дизъюнкция (знак v), импликация (знак ) и эквивалентность (знак ).

Высказывание ¬A (читается «не A ») означает, что высказывание A ложно. Иначе говоря, ¬A истинно тогда, когда A ложно, и ложно тогда, когда A истинно.

Высказывание A B (читается «A и B ») означает утверждение, что верно и A , и B . Оно верно только в том случае, если верны оба высказывания A и B .

Высказывание A v B («A или B ») верно, если верно хотя бы одно из высказываний A и B .

Высказывание A B читается «A влечет B » или «если A , то B ». Оно неверно, если A истинно, B ложно, и верно во всех остальных случаях.

Наконец, высказывание A B верно в том случае, если высказывания A и B либо оба истинны, либо оба ложны.

Для обозначения структуры связей пользуются скобками подобно тому, как это делается в алгебре для обозначения порядка выполнения арифметических действий. Так, например, высказывание ¬A B означает «A неверно, а B верно», а высказывание ¬(A B ) - «неверно, что A и B оба верны». И так же, как в алгебре, для уменьшения числа скобок устанавливается порядок старшинства связок по силе связи. Выше мы перечислили связки в порядке ослабления связи. Например, конъюнкция связывает сильнее, чем импликация, поэтому высказывание A B C понимается как A (B C ), но не как (A B ) C . Это соответствует тому, что в алгебре a + b ? c означает a + (b ? c ), но не (a + b ) ? c .

Приведем несколько примеров составных высказываний.

Известная скороговорка утверждает: «цапля чахла, цапля сохла, цапля сдохла». Это высказывание можно записать в виде: «цапля чахла» «цапля сохла» «цапля сдохла».

Соотношение 0 < Z < 1 есть конъюнкция «Z > 0» «Z < 1», a соотношение |Z | > 1 - дизъюнкция «Z > 1» v «Z < -1». Определение логической связки данное выше, можно записать так:

[(A B ) (A B ) v (¬A ¬B )] [(A B ) v (¬A ¬B ) (A B )]

Предоставляем читателю перевести на обычный язык следующее высказывание:

«Свет включен» «Лампочка не горит» «Нет электричества» v «Перегорели пробки» v «Перегорела лампочка».

Если считать, что высказывания могут быть только истинными или ложными и, сверх этого, о высказывании ничего сказать нельзя, то перечисленных связок достаточно, чтобы выразить все мыслимые конструкции из высказываний. Достаточно даже двух связок, например отрицания и конъюнкции или отрицания и дизъюнкции. Такая ситуация имеет место, в частности, в отношении утверждений математики. Поэтому в математической логике других связок не используется.

Однако естественный язык отражает большее разнообразие в оценке высказываний, чем просто деление их на истинные и ложные. Например, высказывание можно рассматривать как бессмысленное или как недостоверное, хотя и возможное («в этом лесу, наверное, есть волки»). Этим вопросам посвящены специальные разделы логики, в которых находятся другие связки. Большого значения для современной науки эти разделы (в отличие от классической математической логики) не имеют, и мы их касаться не будем.