Во многих исследованиях представляется удобным приближенно заменить кривую вблизи рассматриваемой точки - окружностью, имеющей ту же кривизну, что и кривая в этой точке.

Мы будем называть кругом кривизны кривой в данной на ней точке М - круг, который

1) касается кривой в точке М;

3) имеет ту же кривизну, что и кривая в точке М (рис. 157).

Центр С круга кривизны называется просто центром кривизны, а радиус этого круга - радиусом кривизны (кривой в данной точке).

Из определения круга кривизны явствует, что центр кривизны всегда лежит на нормали - к кривой в рассматриваемой точке со стороны вогнутости (т. е. со стороны, обратной той, куда направлена выпуклость кривой). Если кривизну кривой в данной точке обозначить через к, то, вспоминая , что для окружности имели формулу:

теперь для радиуса кривизны, очевидно, будем иметь

Пользуясь различными выражениями, введенными в предыдущем п° для кривизны, мы можем сразу же написать ряд формул для

радиуса кривизны:

которые и применяются в соответственных случаях.

Из всех формул радиус кривизны получается со знаком, как и выше - кривизна. Однако здесь мы знака не станем отбрасывать, а постараемся установить его геометрический смысл.

С этой целью введем понятие о положительном направлении нормали к кривой. Мы разъяснили уже в 249, что на касательной положительным считается направление в сторону возрастания дуг. На нормали же мы за положительное выберем такое направление, чтобы оно относительно (положительно направленной) касательной было так же ориентировано, как ось у относительно оси х. Например, при обычном расположении этих осей нормаль должна составлять с касательной угол против часовой стрелки.

Теперь, рассматривая радиус кривизны как направленный отрезок, лежащий на нормали, естественно приписывать ему знак плюс, если он откладывается по нормали в положительном направлении, и знак минус в противном случае. Так, на рис. 158 в случае кривой радиус кривизны будет иметь знак плюс, а в случае кривой (II) знак минус.

Мы утверждаем, что знак радиуса кривизны, получаемый по любой из выведенных выше формул, в точности соответствует только что данному определению. При этом, однако, важно подчеркнуть, что во всех случаях положительное направление отсчета дуг предполагается соответствующим возрастанию параметра ( или ).

Окружность - это плоская кривая с постоянным радиусом кривизны. Т.е. радиус окружности это и есть радиус кривизны окружности:

R окр = ρ (542.2)

Как определить радиус окружности, мы рассмотрим ниже.

Кривизна дуги

Любая дуга - это часть окружности. Соответственно радиус дуги равен радиусу окружности:

Рисунок 542.1 . Дуга - часть окружности

На рисунке 542.1 мы видим дугу АВ , показанную оранжевым цветом, являющуюся частью окружности с радиусом R . Кроме того, мы видим, что угол α , образованный радиусами в точках А и В , равен углу между касательными (показаны фиолетовым цветом) к окружности в этих точках.

Эти закономерности позволяют определить радиус дуги и найти центр окружности даже тогда, когда изначально мы окружность не видим, а только имеем дугу.

Понятие кривизны дуги формулируется так:

Кривизна дуги - это отношение угла между касательными, проведенными в начале и конце дуги, к длине дуги

Т.е. зная длину дуги m и угол α между касательными, мы можем определить кривизну дуги:

k д. = α/m (542.3)

А так как длина дуги зависит от угла между радиусами или между касательными в концах дуги:

m = Rα (542.4)

то, подставив значение длины дуги в уравнение (542.3), получим:

k д. = α/m = α /Rα = 1/R (542.1.2)

Примечание : При измерении угла между касательными не в радианах, а в градусах уравнение длины дуги имеет другой вид:

m = П Rα /180 (542.4.1)

но сути дела это не меняет. Такая запись по-прежнему означает, что мы рассматриваем часть длины окружности. Так при α = 360° дуга становится окружностью

m = П R360/180 = 2П R = l окр. (542.4.2)

Более того, сама идея радианов на этой формуле и основана, так прямой угол 90° = П /2 , развернутый 180° = П и т.д.

И еще одно интересное свойство дуги : Если соединить точки А и В прямой линией, то угол между этой линией и касательными будет равен α /2 , а сама прямая линия - это и есть расстояние между точками А и В . Если дуга расположена в плоскости соответствующим образом, например так, как показано на рисунке 542.2:

Рисунок 542.2 . Дуга из точки начала координат.

то расстояние между точками - это проекция l дуги на ось х . А максимальное расстояние между дугой и осью х - это стрела дуги h .

Радиус кривизны прямой линии

Любая прямая линия, даже бесконечно длинная, может рассматриваться как бесконечно малая часть окружности, т.е. как дуга. Соответственно в каких единицах измерять радиус такой окружности даже трудно представить.

Поэтому обычно прямой линией называют кривую с бесконечно большим радиусом:

ρ п.л. = ∞ (542.5)

k п.л = 1/∞ = 0 (542.6)

Про до сих пор неразрешенный парадокс, возникающий при подобных подходах к прямой линии и к окружности, я уже упоминал в статье "Основы геометрии . Определения основных элементов, пятый элемент". Здесь лишь добавлю, что через прямую линию можно провести бесконечное множество плоскостей и в любой из этих плоскостей радиус кривизны прямой линии будет равен бесконечности. При этом через окружность можно провести две взаимно перпендикулярные плоскости, в одной из которых окружность будет окружностью, а в другой - прямой линией конечной длины. Поэтому

все линии, которые в одной из плоскостей имеют бесконечно большой радиус кривизны, считаются плоскими

Ну и на закуску еще несколько парадоксов, на этот раз связанных с определениями кривизны и радиуса:

1. Из уравнения (542.1) можно сделать вывод, что:

kp = 1 (542.7)

Соответственно для прямой линии:

0·∞ = 1 (542.7.2)

Т.е. если бесконечно много раз взять ноль, то на единичку мы наскребем. Впрочем дальше будет еще веселее.

2. Если прямая - это дуга с бесконечно большим радиусом, соответственно касательные, проведенные в концах такой дуги, совпадают с прямой, а угол, образованный касательными, равен нулю.

Это означает, что радиусы проведенные в концах дуги - прямой линии, являются параллельными прямыми и не могут пересекаться. А между тем по определению это радиусы, которые обязательно должны сходиться в некоторой точке - центре окружности.

Получается, что параллельные прямые пересекаться не должны, но где-то в бесконечности все-таки пересекаются.

Разрешить этот парадокс пытались многие математики, однако в пределах евклидовой геометрии при принятом толковании определений данный парадокс не разрешим.

Такие дела.

Радиус кривизны точки

Точка - это самый простой и самый сложный элемент геометрии . Одни считают, что точка не имеет размеров, а значит и определить кривизну или радиус кривизны точки не возможно. Другие, в частности Евклид, считают, что точка не имеет частей, а каковы при этом размеры точки - не совсем понятно. Я же считаю, что точка - это начальный, далее не делимый элемент геометрии, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с остальными рассматриваемыми элементами. В этом случае для точки будут справедливыми следующие уравнения кривизны и радиуса кривизны:

ρ т. = 0 (542.8)

k т. = 1/0 = ∞ (542.9)

И хотя нас с первых лет обучения в школе учат, что делить на 0 нельзя и даже встроенный в операционную систему калькулятор пишет, что "деление на ноль невозможно", тем не менее делить на ноль можно, а результатом деления всегда будет бесконечность.

Как и в случае с прямой мы имеем парадоксальный результат, выражаемый формулой (542.5.2). Тем не менее точку также можно отнести к плоской кривой, имеющей постоянный радиус кривизны.

Примечание : На мой взгляд большинство из описанных выше парадоксов возникают из-за неправильного толкования понятия "бесконечность". Бесконечность как некая абсолютная величина не имеет пределов, а значит и никакому измерению не поддается. Кроме того бесконечность - это даже не постоянная, а переменная величина. Например луч - это прямая линия с началом в некоторой точке. Длина луча может быть бесконечно большой. При этом прямая линия тоже может быть бесконечно длинной при этом не иметь ни начала ни конца. Получается, что с одной стороны бесконечно длинный луч вроде бы в 2 раза короче, чем бесконечно длинная прямая. А с другой стороны длины их бесконечны и поэтому равны.

Возможным выходом из этой ситуации является принятие понятия "бесконечность", как относительного. Например, кривизна прямой линии является пренебрежимо малой величиной по отношению к радиусу кривизны. Или радиус кривизны прямой линии несопоставимо больше кривизны. Подобные толкования допускают и наличие кривизны прямой и некое конечное значение радиуса кривизны прямой и многое другое. Я бы назвал такой относительный подход к рассмотрению проблемы реалистичным, а подходы, использующие абсолютные понятия - идеализированными. Впрочем прямого отношения к теме данной статьи это не имеет. Продолжим рассмотрение плоских кривых.

И окружность и прямая линия являются плоскими кривыми с постоянным радиусом кривизны. При этом радиус кривизны прямой линии всегда известен, так как равен бесконечности, а для окружности всегда можно определить радиус, воспользовавшись теоремой Пифагора. Так в частном случае, если центр окружности совпадает с началом координат рассматриваемой плоскости (u = 0; v = 0 - координаты центра окружности), то:

Рисунок 541.4 . Радиус окружности, как гипотенуза прямоугольного треугольника.

А в общем случае, когда координаты центра окружности не совпадают с началом координат:

Рисунок 542.3 . Окружность, центр которой не совпадает с началом координат.

R 2 = (x - u) 2 + (y - v) 2 (542.10)

Но в жизни достаточно часто приходится сталкиваться с кривыми, радиус кривизны которых - не постоянная величина. Более того, этот радиус может изменяться в двух плоскостях измерения. Тем не менее так далеко углубляться в геометрию и алгебру мы не будем и далее рассмотрим, как можно определить радиус плоской кривой в некоторой точке.

Плоские кривые с изменяющимся радиусом кривизны

Примеров плоских кривых с изменяющимся радиусом кривизны очень много, это и гиперболы, и параболы, и синусоиды и т.п. Определение радиуса кривизны таких кривых основано на следующих теоретических предпосылках:

1. Любую окружность можно рассматривать как некоторое множество дуг.

2. Если количество дуг, составляющих окружность, стремится к бесконечности, то соответственно длина таких дуг стремится к нулю (m → 0).

3. Если мы обозначим длину такой очень короткой дуги как приращение функции длины окружности (m = Δl ), то уравнение кривизны (542.3) примет следующий вид:

(542.3.1)

4. Тогда любую плоскую кривую с изменяющимся радиусом можно рассматривать как стремящееся к бесконечности множество дуг с постоянным радиусом. Другими словами в пределах любой кривой, описываемой параметрическими уравнениями, всегда можно выделить дугу, пусть даже и очень малой длины, стремящейся к точке и определить для нее кривизну и радиус кривизны в рассматриваемой точке.

Это означает, что самый точный способ определения радиуса кривизны в таком случае - это использование дифференциальных исчислений. В общем случае для этого нужно два раза продифференцировать уравнение радиуса окружности (542.10) по аргументу функции х , а затем извлечь квадратный корень из полученного результата. В итоге (полный вывод уравнения здесь не привожу из-за повышенной сложности записи, а для особо заинтересованных есть справочники и другие сайты) мы получим следующую формулу для определения радиуса кривизны:

(542.11)

Соответственно кривизна плоской кривой в рассматриваемой точке будет равна:

(542.12)

В частном случае, когда тангенс угла между касательными - первая производная от функции - является относительно малой величиной, например, tg2° = 0.035 соответственно (tg2°) 2 = 0.0012, то влиянием куба суммы первой производной и единицы на кривизну можно пренебречь (значение знаменателя дроби сводится к единице) и тогда:

k = y" = d 2 y/dx 2 (542.12.2)

Т.е. формально в таких случаях кривизной считается не отношение угла наклона между касательными к длине дуги, а некоторая величина, примерно соответствующая высоте h на рисунке 542.2.

Эта особенность второй производной очень активно используется в частности для упрощения определения прогиба элементов строительных конструкций.

Интерференционные полосы равной толщины в тонкой пленке, т.е. темные или светлые полосы соответствующие постоянному значению толщины пленки (d ), можно наблюдать в воздушной прослойке между соприкасающимися друг с другом плоской поверхностью пластинки и выпуклой сферической поверхностью линзы (см. рис.5).

При этом толщина воздушной прослойки постепенно увеличивается от центра линзы к ее краям. При нормальном (перпендикулярном поверхности) падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, которые получили название колец Ньютона.

Если на линзу падает пучок монохроматического света, то световые волны, отражённые от верхней и нижней границ воздушной прослойки, интерферируют между собой.

Так как, в отличии от выше приведённого примера, отражение световой волны происходит в точке В от раздела среды воздух-стекло, а не стекло-воздух, как на рис.4,то λ / 2 добавляется к слагаемому L 1 и формула (19), в начальной её части приобретёт вид:

∆ = L 1 - L 2 = (АВ + ВС + λ / 2) - AD = 2d + λ /2

То есть, оптическая разность хода, в этом случае равна удвоенной толщине воздушного зазора (2d ) (показатель преломления воздухаn = 1 ).

В итоге получим:

∆ = 2d + λ/2 . (23)

Рис.5. Схема возникновения Рис.6. Учет деформации

колец Ньютона линзы

Тёмные кольца образуются там, где оптическая разность хода равна нечётному числу полуволн (см.16):

∆ = 2d + λ /2 = (2m + 1) λ /2 , (24)

т.е. при толщине зазора

d = m λ /2 , (25)

где m= 0,1,2,3... - номер кольца.

Радиус m-ного темного кольца (r m ) определяется из треугольникаAОС (см.рис.5)

r m 2 = R 2 - (R - d,) 2 = 2Rd – d 2 , (26)

где R -радиус кривизны линзы. Полагая величину воздушного зазора в месте возникновения колец малой, (т.е.d « R ) можно записать:

r m 2 = 2Rd . (27)

Из этой формулы видно, что радиус кривизны линзы можно найти, измерив радиус кольца Ньютона и величину воздушного зазора в месте возникновения кольца. Радиус колец Ньютона можно измерить, воспользовавшись микроскопом, имеющим измерительную шкалу. Чтобы не измерять величину зазора (кстати, не понятно, как это сделать экспериментально), можно воспользоваться интерференционным условием возникновения темных колец (24).

Тогда радиус кривизны линзы можно выразить через радиус кольца Ньютона, длину волны используемого света и номер измеряемого кольца:

r m 2 = Rmλ (28)

Использование формулы (28) для определения радиуса кривизны может привести к ошибке, т.к. в точке соприкосновения линзы и стеклянной пластинки возможна деформация линзы по величине сравнимая с длиной волны света, поэтому использование выводов, основанных на рис.5 (см. формулы 26,27,28), будет некорректным.

Экспериментально наблюдаемая величина воздушного зазора может быть меньше теоретической величины, полученной из рис.5 на величину деформации стеклянной пластинки и линзы (δ ) (см. рис.6). Поэтому в реальном эксперименте в формулу (27) вместо толщины воздушного зазора (d )необходимо подставить сумму толщины воздушного зазора и величины деформации линзы и стеклянной пластинки (d + δ ).Учитывая,что условие возникновения темного кольца (24) определяется лишь толщиной зазора, получим следующую формулу, связывающую радиусы колец Ньютона с радиусом кривизны линзы:

r m 2 = Rmλ + 2Rδ (29)

Экспериментально удобнее вместо радиуса кольца Ньютона измерять его диаметр (D m ).В этом случае формула (29) будет иметь вид:

D m 2 = 4Rmλ + 8Rδ , (30)

Из (30) видно, что квадрат диаметра кольца Ньютона (D m 2 )пропорционален порядковому номеру кольца (m ).Если построить график зависимости D m 2 = f(m), то экспериментальные точки должны лежать на одной прямой, и тангенс угла наклона этой прямой (α ) будет равен 4R λ .Таким образом, для нахождения радиуса кривизны линзы необходимо, используя график зависимости D m 2 = f(m), найти

, (31)

R=tgα/4λ (32)

Вследствие деформации в центре линзы наблюдается круглое темное пятно, соответствующее нулевой толщине воздушного зазора. Измерив диаметр центрального темного пятна (кольца Ньютона, номер которого m = 0 ),можно найти величину деформации линзы по формуле:

δ = D 0 2 /8R (33)

Кривизна кривой где – угол поворота касательной к кривой на участке длиной .

Радиус кривизны - величина, обратная величине кривизны:

Радиус кривизны окружности есть радиус этой окружности; радиус кривизны прямой бесконечно велик. Радиус кривизны измеряется в метрах .

Точка нормали, отстоящая от данной точки траектории в направлении вогнутости кривой на расстояние , называется центром кривизны кривой, соответствующим данной точке кривой. Геометрическое место центров кривизны образует линию - эволюту исходной кривой (evolutus (лат.)– развернутый; voluto – катать, катить). Исходная кривая является эвольвентой относительно своей эволюты (evolventis – разворачивающий).

♦ Если аппроксимировать траекторию на участке (рис. 2) дугой окружности, то её центр лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин хорд и . Предельное положение точки при условии , когда , есть центр кривизны траектории в точке М .

Если с катушки радиуса R сматывать нить, сохраняя отмотанную часть прямой, то конец нити опишет одну из эвольвент окружности, а именно, соответствующую той точке, с которой начал сматываться конец нити. На рис. 3,а изображена эвольвента окружности радиуса , соответствующая крайней правой начальной точке при сматывании нити против часовой стрелки. Параметрические уравнения этой эвольвенты

Рис. 3. Эвольвента окружности. Винтовые линии

При эта кривая приближается к спирали Архимеда, уравнение которой в полярных координатах .

Зубцы колес большинства зубчатых передач имеют эвольвентный профиль, благодаря чему минимизируется скольжение зубца по зубцу и упрощается изготовление самих зубчатых колес. Основу профилей зубцов составляют эвольвенты («развертки») основных окружностей (см. «Теорию машин и механизмов») зацепляющихся колес.

1.1.15. Естественный трехгранник (натуральный триэдр) - трехгранник, построенный на осях касательной, нормали и бинормали. Орт бинормали определяется как ; тогда и . Соприкасающаяся плоскость проходит через касательную и нормаль. Плоскость, содержащая нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью, а плоскость, содержащая бинормаль и касательную, - спрямляющей. Естественный трехгранник ориентирован в пространстве соответственно форме кривой. Информация о форме (о внутренней геометрии кривой) может быть использована при исследовании движения материальной точки по данной кривой.

Пространственной кривая независимо от её расположения относительно окружающих предметов может быть описана путем задания в каждой точке кривизны и кручения (греч. «каппа») кривой.

10. КРИВИЗНА ОКРУЖНОСТИ

Окружность является простейшей из кривых линий, так как она изгибается равномерно.

Рассмотрим движение точки М по окружности радиусомR (рис. 15). УголΔτ между касательными в двух положенияхМ 1 иМ 2 точкиМ – это централь-

ный угол М 1 ОМ 2 между радиусамиОМ 1 иОМ 2 , поэтомуΔτ = R S радиан.

Δτ S= R S= R1 .

Полагая S → 0 , можно сказать, что кривизна окружности равна обратной величине радиуса во всех ее точках:k = R 1 .

кривизны в точке А 1 (рис. 16).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

11. КРИВЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Алгебраические кривые, которые описываются уравнением второй степени относительно текущих координат, называют кривыми второго порядка.

Общее уравнение второй степени с двумя переменными имеет вид

				Ax2 + 2 Bxy+ Cy2 + 2 Dx+ 2 Ey+ F= 0 .
	Если здесь положить A =						B = 0,C =		D = 0,E = 0,F = − 1, то полу-
	чим выражение

Оно определяет уравнение эллиптического типа – эллипс или (в частном случае) окружность.

Если положить A = 1 a 2

уравнение

	B = 0,C = −						D = 0,E = 0,F = − 1 , то получим

которое определяет кривую гиперболического типа – гиперболу или пару пересекающихся прямых.

Если положить A = 0,B = 0,C = 1,D = − P ,E = 0,F = 0 , то получим уравнение

y2 = 2 Px,

определяющее кривую параболического типа – параболу, пару параллельных прямых (в частном случае совпадающих) или мнимое множество точек.

Рассмотрим подробнее свойства кривых второго порядка.

11.1. ЭЛЛИПС

Эллипсом называется замкнутая плоская кривая линия, сумма расстояний от каждой точки которой до двух данных точек(фокусов) есть величина постоянная, бо´льшая, чем расстояние между фокусами.

Пусть в плоскости даны две точки F A иF B (фокусы) на расстоянии 2с друг от друга (рис. 17).

Любая точка Е плоскости принадлежит эллипсу, если соблюдается условие

EF A +EF B = 2а ,

где 2а – данная длина (величина большой оси эллипса). Если фокусыF A иF B совпадают, то

EFA = EFB = а.

Получается множество точек, равноудаленных от одной данной точки, т. е. окружность (частный вид эллипса).

Каноническое уравнение эллипса:

Отрезки AB иCD , соединяющие противоположные вершины эллипса, равные 2а и 2b , называют соответственнобольшой и малой осями эллипса.