Критерий согласия статистика. Критерий согласия пирсона

Опр Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Имеется несколько критериев согласия: $\chi ^2$ { хи-квадрат } К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Обычно теоретические и эмпирические частоты различаются. Случай расхождения может быть не случайным, значит и объясняется тем, что не верно выбрана гипотеза. Критерий Пирсона отвечает на поставленный вопрос, но как любой критерий он ничего не доказывает, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости её согласие или несогласие с данными наблюдений.

Опр Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным называют уровнем значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заключённые между 0,01 и 0,05, $\alpha =0,05$ - это $5 { \% } $ уровень значимости.

В качестве критерия проверки гипотезы примем величину \begin{equation} \label { eq1 } \chi ^2=\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } \qquad (1) \end{equation}

здесь $n_i -$ эмпирические частоты, полученные из выборки, $n_i" -$ теоретические частоты, найденные теоретическим путём.

Доказано, что при $n\to \infty $ закон распределения случайной величины { 1 } независимо от того, по какому закону распределена генеральная совокупность, стремится к закону $\chi ^2$ { хи-квадрат } с $k$ степенями свободы.

Опр Число степеней свободы находят по равенству $k=S-1-r$ где $S-$ число групп интервалов, $r-$ число параметров.

1) равномерное распределение: $r=2, k=S-3 $

2) нормальное распределение: $r=2, k=S-3 $

3) показательное распределение: $r=1, k=S-2$.

Правило . Проверка гипотезы по критерию Пирсона.

Для проверки гипотезы вычисляют теоретические частоты и находят $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } $
По таблице критических точек распределения $\chi ^2$ по заданному уровню значимости $\alpha $ и числу степеней свободы $k$ находят $\chi _ { кр } ^2 ({ \alpha ,k })$.
Если $\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 $ то нет оснований отвергать гипотезу, если не выполняется данное условие - то отвергают.

Замечание Для контроля вычислений применяют формулу для $\chi ^2$ в виде $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { n_i^2 } { n_i" } -n } $

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Функция плотности равномерного распределения величины $X$ имеет вид $f(x)=\frac { 1 } { b-a } x\in \left[ { a,b }\right]$.

Для того, чтобы при уровне значимости $\alpha $ проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, требуется:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $\overline { x_b } $ и $\sigma _b =\sqrt { D_b } $. Принять в качестве оценки параметров $a$ и $b$ величины

$a = \overline x _b -\sqrt 3 \sigma _b $, $b = \overline x _b +\sqrt 3 \sigma _b $

2) Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $({ x_i ,x_ { i+1 } })$ по формуле $ P_i =P({ x_i

3) Найти теоретические { выравнивающие } частоты по формуле $n_i" =np_i $.

4) Приняв число степеней свободы $k=S-3$ и уровень значимости $\alpha =0,05$ по таблицам $\chi ^2$ найдём $\chi _ { кр } ^2 $ по заданным $\alpha $ и $k$, $\chi _ { кр } ^2 ({ \alpha ,k })$.

5) По формуле $\chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } $ где $n_i -$ эмпирические частоты, находим наблюдаемое значение $\chi _ { набл } ^2 $.

6) Если $\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 -$ нет оснований, отвергать гипотезу.

Проверим гипотезу на нашем примере.

1) $\overline x _b =13,00\,\,\sigma _b =\sqrt { D_b } = 6,51$

2) $a=13,00-\sqrt 3 \cdot 6,51=13,00-1,732\cdot 6,51=1,72468$

$b=13,00+1,732\cdot 6,51=24,27532$

$b-a=24,27532-1,72468=22,55064$

3) $P_i =P({ x_i

$ P_2 =({ 3

$ P_3 =({ 7

$ P_4 =({ 11

$ P_5 =({ 15

$ P_6 =({ 19

В равномерном распределении если одинакова длина интервала, то $P_i -$ одинаковы.

4) Найдём $n_i" =np_i $.

5) Найдём $\sum { \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } } $ и найдём $\chi _ { набл } ^2 $.

Занесём все полученные значения в таблицу

\begin{array} { |l|l|l|l|l|l|l| } \hline i& n_i & n_i" =np_i & n_i -n_i" & ({ n_i -n_i" })^2& \frac { ({ n_i -n_i" })^2 } { n_i" } & Контроль~ \frac { n_i^2 } { n_i" } \\ \hline 1& 1& 4,43438& -3.43438& 11,7950& 2,659898& 0,22551 \\ \hline 2& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 3& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 4& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 5& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 6& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline & & & & & \sum = \chi _ { набл } ^2 =3,261119& \chi _ { набл } ^2 =\sum { \frac { n_i^2 } { n_i" } -n } =3,63985 \\ \hline \end{array}

$\chi _ { кр } ^2 ({ 0,05,3 })=7,8$

$\chi _ { набл } ^2 <\chi _ { кр } ^2 =3,26<7,8$

Вывод отвергать гипотезу нет оснований.

Так как все предположения о характере того или иного распределения - это гипотезы, а не категорические утверждения, то они, естественно, должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью так называемых критериев согласия.

о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Существует ряд критериев согласия. Чаще других применяют критерии Пирсона, Романовского и Колмогорова. Рассмотрим их.

Критерий согласия Пирсона %2 (хи-квадрат) - один из основных критериев согласия. Критерий предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857-1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений. Критерий Пирсона где к

число групп, на которые разбито эмпирическое распределение;

наблюдаемая частота признака в і-й группе; теоретическая частота, рассчитанная по предполагаемому распределению. Для распределения у} составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия %2 для выбранного уровня значимости а и данного числа степеней свободы V (см. Приложение 4).

Уровень значимости а - вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости: 1)

а = 0,10, тогда Р = 0,90; 2)

а = 0,05, тогда Р = 0,95; 3)

а = 0,01, тогда Р = 0,99.

Например, вероятность 0,01 означает, что в одном случае из 100 может быть отвергнута правильная гипотеза. В экономических исследованиях считается практически приемлемой вероятность ошибки 0,05, т.е. в 5 случаях из 100 может быть отвергнута правильная гипотеза.

Кроме того, %2-критерий, определяемый по таблице, зависит и от числа степеней свободы. Число степеней свободы V определяется как число групп в ряду распределения к минус число связей с V

Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при исчислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретичес- / л

кие частоты

Так, в случае выравнивания по кривой нормального распределения имеется три связи:

х ~ х" " СУ = а" * х Ш = У

ЭМП теор’ ЭМП ТеОр> ^ 1ЭМП ^ /теор*

Поэтому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы определяется как V = к - 3, где к - число групп в ряду.

В случае выравнивания по кривой Пуассона V = к - 2, так как при построении частот используются две ограничивающие связи: х, 1тг /

Для оценки существенности расчетное значение %2расч сравнивается с табличным %2табл.

При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений %2 = 0, в противном случае %2 > 0.

Если Храсч > Xтабл’ Т0 ПРИ заданном уровне значимости а и числе степеней свободы V гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем.

В случае если %2асч ^ Х2табЛ’ заключаем, что эмпирический ряд хорошо согласуется с гипотезой о предполагаемом распределении и с вероятностью (1 - а) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.

Используя критерий согласия?2, необходимо соблюдать следующие условия: 1)

объем исследуемой совокупности должен быть достаточно большим (УУ> 50), при этом частота или численность каждой группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить маленькие частоты; 2)

эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми.

Если в эмпирическом ряду распределение задано частостями / \ т.

то у} следует исчислять по формуле

Критерий Романовского Кр основан на использовании критерия Пирсона %2, т.е. уже найденных значений %2, и числа степеней свободы v:

Он весьма удобен при отсутствии таблиц для %2.

Если Кр 3, то не случайны

и, соответственно, теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Критерий Колмогорова X основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических и теоретических распределений:

X = -2= или X = , iN

где Dud- соответственно максимальная разность между накопленными частотами (F - F") и между накоплен-

ными частостями (р - р") эмпирического и теоретического рядов распределений;

N - число единиц в совокупности.

Рассчитав значение X, по таблице Р(к) (см.

Приложение 6) определяют вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Вероятность Р(к) может изменяться от 0 до 1. При Р(к) = 1 происходит полное совпадение частот, при Р(к) = 0 - полное расхождение. Если А, принимает значения до 0,3, то Р(к) = 1.

Основное условие для использования критерия Колмогорова - достаточно большое число наблюдений.

Пример. Используя данные табл. 5.17, проверить правильность выдвинутой гипотезы о распределении призывников района по закону нормального распределения. Величины, необходимые для расчета критериев согласия, приведены в табл. 5.19.

Таблица 5.19

Расчет величин для определения критериев согласия Пирсона х2 и Колмогорова X Рост, см Частоты ряда распределения (/п - т")2 т" F F" к- р,\ т т" А 1 2 3 4 5 6 156-160 8 5 1,8 8 5 3 161-165 17 16 0,1 25 21 4 166-170 42 40 0,1 67 61 6 171-175 54 65 1,9 121 126 5 176-180 73 73 0 194 199 5 181-185 57 57 0 251 256 5 186-190 38 30 2,1 289 286 3 191-195 11 11 0 300 297 3 X 300 297 6,0 Сначала рассчитаем критерий Пирсона

Затем выберем уровень значимости а = 0,05 и определим число степеней свободы V. В данном распределении 8 групп и число связей (параметров) равно 3, следовательно, V = 8 - 3 = 5. По таблице Приложения 4 найдем при а = 0,05 и V = 5 критерий Пирсона %2 = 11,07.

Так как %2расч Проверим выдвинутую гипотезу, используя критерий Романовского:

I X2 - V I 16,0 - 5 I 1

кр = ] Г=^ = 1 = --г = 0,3.

Так как Кр Критерий Романовского также подтверждает, что расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами несущественны.

Рассмотрим теперь применение критерия Колмогорова А,. Как видно из табл. 5.19, максимальная разность между кумулятивными частотами равна 6, т.е. Б = шах!/1- Р"\ = 6. Следовательно, критерий Колмогорова

X = -?= = = 0,35.

По таблице Приложения 6 находим значение вероятности при X = 0,35: Р(Х) = 0,9997. Это означает, что с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что гипотеза о нормальном распределении не отвергается, а расхождения эмпирического и теоретического распределений носят случайный характер.

Теперь, подтвердив правильность выдвинутой гипотезы с помощью известных критериев согласия, можно использовать результаты распределения для практической деятельности.

Пример. Используя данные табл. 5.18, проверить гипотезу о подчинении распределения числа неисправностей в автомобилях закону Пуассона.

Исходные данные и расчет величин, необходимых для определения критериев согласия, приведены в табл. 5.20.

Подсчитаем величину %2: 2

Дфасч ^ / 9

(см. табл. 5.20). хХтабл = 9>49

(см. Приложение 4).

Поскольку %2расч Таким образом, выдвинутая гипотеза о распределении числа неисправностей в автомобилях по закону Пуассона не отвергается.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью данной лабораторной работы является:

· построение по результатам эксперимента законов распределения случайной величины разброса параметров непроволочных резисторов;

· проверка гипотезы о нормальном законе распределения отклонений параметров элементов;

· экспериментальное исследование изменения параметров непроволочных резисторов при воздействии температуры.

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

Лабораторная работа выполняется в течение 4-часового занятия, включая 1 час на коллоквиум для оценки знаний студентов по теоретической части.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Радиоэлектронные средства постоянно находятся под воздействием внешних и внутренних возмущающих случайных факторов, под влиянием которых изменяются параметры элементов устройства. Изменение параметров элементов (резисторов, конденсаторов, полупроводниковых приборов, интегральных схем и др.) связано с различными физическими процессами, происходящими в материалах за счёт внешних воздействий и старения. Кроме того, параметры элементов РЭС имеют производственный разброс, который является результатом воздействия случайных факторов при их изготовлении. Спроектированная из таких элементов аппаратура реагирует на все разбросы изменением своих выходных параметров. Для прогнозирования надежности РЭС возникает необходимость установления законов распределения случайной величины разброса параметров элементов, обусловленных их производством и возмущающими внешними условиями (в частности, температурой окружающей среды).

В лабораторной работе с помощью критериев согласия (Пирсона или Колмогорова) проверяется гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины Х – разброса параметров элементов.

КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ПРОВЕРКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Критерии согласия позволяют оценить вероятность предположения о том, что полученная из эксперимента выборка не противоречит априорно выбранному закону распределения рассматриваемой случайной величины. Решение этой задачи основано на использовании фундаментального положения математической статистики, согласно которому эмпирическая (статистическая) функция распределения сходится по вероятности к априорной (сравниваемой теоретической) функции распределения, когда размер выборки неограниченно возрастает, если только выборка принадлежит рассматриваемому априорному распределению . При конечном значении выборки эмпирическая и априорная функции распределения будут, вообще говоря, отличаться друг от друга. Поэтому для выборки х 1 , х 2 ,… х n случайной величины Х вводится некоторая числовая мера расхождения (критерий согласия) () эмпирической функции распределения

, l =1, 2, …, n , (1)

где

= х 1 , х 2 ,… х n – выборка экспериментальных данных

и априорной – функции распределения.

Правило проверки гипотезы о согласии априорного и эмпирического распределения формулируется следующим образом: если

то гипотеза о том, что априорное распределение, которому принадлежит выборка х 1 , х 2 ,…,х n равна F (х ) должна быть отвергнута. Для определения порогового значения величины С устанавливается некоторая допустимая вероятность a отклонения гипотезы о том, что выборка принадлежит распределению F . Вероятность a называют уровнем значимости критерия согласия. Тогда

т.е. С – пороговое значение критерия равно a-процентной точке функции распределения меры расхождения .

Событие , может произойти и при справедливости выдвинутой гипотезы о законе распределения. Однако если a достаточно мало, то возможностью появления таких ситуаций практически можно пренебречь. Часто задаваемыми значениями a являются a = 0.05 и a = 0.01.

Если закон распределения меры расхождения () не зависит от F , то правило отклонения гипотезы о согласии и F

(4)

не зависит от априорного распределения. Такие критерии называются непараметрическими (см. п. 3.1.2).

Проверку гипотезы о характере распределения с помощью критерия согласия можно вести и в другой последовательности: по полученному значению необходимо определить вероятность a n = Р { n }. Если полученное значение a n < a , то отклонения значимые; если a n ³ a, то отклонения не значимые. Значения a n , весьма близкие к 1 (очень хорошее согласие), могут указывать на недоброкачественность выборки (например, из первоначальной выборки без основания выброшены элементы, дающие большие отклонения от среднего).

Используемые в статистике критерии согласия отличаются друг от друга различными мерами расхождения статистического и теоретического законов распределения (). Некоторые из них рассмотрены ниже.

3.1.1. Критерий согласия c 2

При использовании критерия согласия c 2 (критерий Пирсона) меру расхождения между эмпирическим и априорным распределениями определяют следующим образом.

Область возможных значений, на которой определена F (x ) - априорная функция распределения разбивается на конечное число непересекающихся интервалов – , i = 1, 2,…, L .

Введем обозначение: – априорная вероятность попадания выборочного значения в интервал .

Очевидно, что . Пусть элементов наблюдаемой выборки х 1 , х 2 ,…, х n принадлежат интервалу .

Ясно, что .

Примем в качестве меры расхождения эмпирического и априорного распределений величину

, (5)

где - экспериментальное число попадания значений случайной величины x в интервал,

L – число интервалов, на которые разбиты все опытные значения величины x ,

n – объем выборки,

p i – вероятность попадания случайной величины x в -й интервал, вычисленная для теоретического закона распределения (произведение определяет число попаданий в - интервал для теоретического закона).

Как доказал Пирсон, при n ® ¥ закон распределения величины (5) стремится к - распределению с S = L - 1 степенями свободы, если только верна гипотеза о распределении .

Если проверяется сложная гипотеза о том, что выборка принадлежит распределению , где неизвестный параметр (скалярный или векторный) распределения , то из эксперимента (по полученной выборке) определяется оценка неизвестного параметра – . При этом S - число степеней свободы c 2 - распределения равно L – r – 1 , где r – количество оцениваемых параметров распределения. .

Правило проверки гипотезы о принадлежности выборки распределению может быть сформулировано следующим образом: при достаточно большом n ( n > 50)и для заданного уровня значимости a гипотеза отклоняется, если

где - a - процентная точка - распределения с степенями свободы.

Критерий Колмогорова

Примем в качестве меры расхождения априорного и эмпирического распределения статистику

().= , (7)

где – верхняя граница модуля разности для всех полученных значений х .

Распределение этой статистики (случайной величины) при любом n не зависит от

Если только выборка х 1 , х 2 ,… х n по которой построена принадлежит и эта последняя – непрерывная функция. Однако точное выражение для функции распределения при конечном значении n очень громоздко. А.Н. Колмогоров нашел достаточно простое асимптотическое выражение (при ) для функций :

, z > 0. (8) Таким образом, для больших размеров выборки (при n > 50), используя (8) , получаем

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения теоретическому закону распределения используются особые статистические показатели - критерии согласия (или критерии соответствия). К ним относятся критерии Пирсона, Колмогорова, Романовского, Ястремского и др. Большинство критериев согласия базируется на использовании отклонений эмпирических частот от теоретических. Очевидно, что чем меньше эти отклонения, тем лучше теоретическое распределение соответствует эмпирическому (или описывает его).

Критерии согласия - это критерии проверки гипотез о соответствии эмпирического распределения теоретическому распределению вероятностей. Такие критерии подразделяются на два класса: общие и специальные. Общие критерии согласия применимы к самой общей формулировке гипотезы, а именно, к гипотезе о согласии наблюдаемых результатов с любым априорно предполагаемым распределением вероятностей. Специальные критерии согласия предполагают специальные нулевые гипотезы, формулирующие согласие с определенной формой распределения вероятностей.

Критерии согласия, опираясь на установленный закон распределения, дают возможность установить, когда расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда - существенными (неслучайными). Из этого следует, что критерии согласия позволяют отвергнуть или подтвердить правильность выдвинутой при выравнивании ряда гипотезы о характере распределения в эмпирическом ряду и дать ответ, можно ли принять для данного эмпирического распределения модель, выраженную некоторым теоретическим законом распределения.

Критерий согласия Пирсона c 2 (хи-квадрат) - один из основных критериев согласия. Предложен английским математиком Карлом Пирсоном (1857-1936) для оценки случайности (существенности) расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений:

Схема применения критерия c 2 к оценке согласованности теоретического и эмпирического распределений сводится к следующему:

1. Определяется расчетная мера расхождения .

2. Определяется число степеней свободы.

3. По числу степеней свободы n с помощью специальной таблицы определяется .

4. Если , то при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы n гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняют. В противном случае гипотезу можно признать не противоречащей полученным экспериментальным данным и с вероятностью (1 – α) можно утверждать, что расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами случайны.

Уровень значимости - это вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях в зависимости от важности и ответственности решаемых задач пользуются следующими тремя уровнями значимости:

1) a = 0,1, тогда Р = 0,9;

2) a = 0,05, тогда Р = 0,95;

3) a = 0,01, тогда Р = 0,99.

Используя критерий согласия c 2 , необходимо соблюдать следующие условия:

1. Объем исследуемой совокупности должен быть достаточно большим (N ≥ 50), при этом частота или численность группы должна быть не менее 5. Если это условие нарушается, необходимо предварительно объединить небольшие частоты (меньше 5).

2. Эмпирическое распределение должно состоять из данных, полученных в результате случайного отбора, т.е. они должны быть независимыми.

Недостатком критерия согласия Пирсона является потеря части первоначальной информации, связанная с необходимостью группировки результатов наблюдений в интервалы и объединения отдельных интервалов с малым числом наблюдений. В связи с этим рекомендуется дополнять проверку соответствия распределений по критерию c 2 другими критериями. Особенно это необходимо при сравнительно малом объеме выборки (n ≈ 100).

В статистике критерий согласия Колмогорова (также известный, как критерий согласия Колмогорова - Смирнова) используется для того, чтобы определить, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо определить, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели. Критерий Колмогорова основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами или частостями эмпирических или теоретических распределений. Критерий Колмогорова исчисляется по следующим формулам:

где D и d - соответственно максимальная разность между накопленными частотами (f – f ¢) и между накопленными частостями (p – p ¢) эмпирического и теоретического рядов распределений; N - число единиц в совокупности.

Рассчитав значение λ, по специальной таблице определяется вероятность, с которой можно утверждать, что отклонения эмпирических частот от теоретических случайны. Если признак принимает значения до 0,3, то это означает, что происходит полное совпадение частот. При большом числе наблюдений критерий Колмогорова способен обнаружить любое отступление от гипотезы. Это означает, что любое отличие распределения выборки от теоретического будет с его помощью обнаружено, если наблюдений будет достаточно много. Практическая значимость этого свойства не существенна, так как в большинстве случаев трудно рассчитывать на получение большого числа наблюдений в неизменных условиях, теоретическое представление о законе распределения, которому должна подчиняться выборка, всегда приближенное, а точность статистических проверок не должна превышать точность выбранной модели.

Критерий согласия Романовского основан на использовании критерия Пирсона, т.е. уже найденных значений c 2 , и числа степеней свободы:

где n - число степеней свободы вариации.

Критерий Романовского удобен при отсутствии таблиц для . Если < 3, то расхождения распределений случайны, если же > 3, то не случайны и теоретическое распределение не может служить моделью для изучаемого эмпирического распределения.

Б. С. Ястремский использовал в критерии согласия не число степеней свободы, а число групп (k ), особую величину q, зависящую от числа групп, и величину хи-квадрат. Критерий согласия Ястремского имеет тот же смысл, что и критерий Романовского, и выражается формулой

где c 2 - критерий согласия Пирсона; - число групп; q - коэффициент, для числа групп меньше 20 равный 0,6.

Если L факт > 3, расхождениz между теоретическими и эмпирическими распределениями неслучайны, т.е. эмпирическое распределение не отвечает требованиям нормального распределения. Если L факт < 3, расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями считаются случайными.