Конспект к уроку математики "Решение неравенств и систем неравенств". Самооценка и выбор траектории. II. Изучение нового материала

Урок алгебры по теме « Решение неравенств с одной переменной»

Тема урока: Решение неравенств с одной переменной.

Цели урока: ввести понятия «решение неравенства», «равносильные неравенства»;

познакомить со свойствами равносильности неравенств;

рассмотреть решение линейных неравенств вида ах b, ax обращая

специальное внимание на случаи, когда a и a = 0;

научить решать неравенства с одной переменной, опираясь на свойства

равносильности;

формировать умение работать по алгоритму; развивать логическое мышление,

математическую речь, память.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку,

сигнальные карточки.

Ход урока.

1 .Организация урока

● Французская пословица гласит

«Знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днём».

2. Контроль усвоения пройденного материала.

● У римского мимического поэта эпохи Цезаря и Августа Публия Сира есть замечательные

слова «Всякий день есть ученик дня вчерашнего».

3. Актуализация опорных знаний.

● По мнению Н. К. Крупской «… Математика – это цепь понятий: выпадет одно звёнышко – и не понятно будет дальнейшее».

● Проверим, насколько крепка цепь наших знаний

● Для ответов на задания используйте сигнальные карточки со знаками и

● Зная, что a поставьте соответствующий знак или, чтобы неравенство было верным:

а) -5а □ - 5b; б) 5а □ 5b; в) a – 4 □ b – 4; г) b + 3 □ a +3.

Задания на доске

● Принадлежит ли отрезку [- 7; - 4] (Промежуток записан на доске)

число: - 10; - 6,5; - 4; - 3,1?

● Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:

а) [-1; 4]; б) (- ∞; 3); в) (2; + ∞).

● Найди ошибку!

а) x ≥ 7 Ответ: (- ∞; 7); б) y Ответ: (- ∞; 2,5)

4. Изучение нового материала.

(Формирование новых понятий и способов действий)

Слайд 8.

● Китайский мудрецСюньцзы сказал «В учении нельзя останавливаться».

● Не остановимся и мы. И перейдём к изучению темы «Решение неравенств с одной переменной».

Слайды 9 - 11.

● Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Например, Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, указал границы числа .

Ряд неравенств приводит в своём трактате «Начала» Евклид . Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического.

Однако все эти рассуждения древние учёные проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII- XVIII вв. В 1631 году английский математик Томас Гарриот ввел для отношений «больше» и «меньше» знаки неравенства, употребляемые и поныне.

Символы  и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге́ром .

Скажите мне, какая математика без них?

О тайне всех неравенств, вот о чём мой стих.

Неравенства такая штука – без правил не решить!

● Итак, чтобы научиться решать неравенства выясним сначала: что является решением неравенства, и какие свойства используются при его решении.

Слайды 12 - 13.

● Рассмотрим неравенство 5х – 11 3. При одних значениях переменной х оно обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, при х = 4, получается верное числовое неравенство 54 – 11 3; 9 3, при х = 2 получится неравенство 52 – 11 3, -1 3, которое не является верным. Говорят, что число 4 является решением неравенства 5х – 11 3. Решениями этого неравенства являются и числа 28; 100; 180 и т. д. Таким образом:

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

● Является ли число 2; 0,2 решением неравенства: а) 2х – 1 3?

● Только ли числа 2 и 0,2 являются решением неравенства 2х – 1

● Чисел, являющихся решением данного неравенства очень много, но мы должны указать все его решения.

Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Слайд 14.

● Вспомните, уравнения, имеющие одни и те же корни, мы называли равносильными. Понятие равносильности вводится и для неравенств.

Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, тоже считают равносильными.

Например, неравенства 2х – 6 0 и
равносильны, так как решением каждого из них являются числа, большие 3, т. е. х 3. Неравенства х 2 + 4 ≤ 0 и |х| + 3 8 неравносильны, так как решение первого неравенства х ≥ 2, а решение второго х 4.

● Между решением неравенства и решением уравнения много общего – неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество решений неравенства, как правило, бесконечно. Сделать полную проверку ответа, как мы это делали с уравнениями, в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к равносильному неравенству – имеющему в точности то же множество решений. Для этого опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы.

Слайд 15.

При решении неравенств используются следующие свойства:

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным

знаком, т

О получится равносильное ему неравенство.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное

число, то получится равносильное ему неравенство;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное

число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится

равносильное ему неравенство.

Слайд 16.

● Как говорил римский баснописец первой половины I в. н. э. Федр: «На примерах учимся»

● Рассмотрим и мы на примерах использование свойств равносильности при решении неравенств.

Слайды 17 - 18 .

Пример 1. Решим неравенство 3(2х – 1) 2(х + 2) + х + 5.

Раскроем скобки: 6х – 3 2х + 4 + х + 5.

Приведём подобные слагаемые: 6х – 3 3х + 9.

Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а

в правой - без переменной: 6х – 3х 9 + 3.

Приведём подобные слагаемые: 3х 12.

Разделим обе части неравенства на положительное число 3,

сохраняя при этом знак неравенства: х 4.

4 х Ответ: (4; + ∞)

Пример 2. Решим неравенство
2.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель - 2 6

дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6: 2х – 3х 12.

Приведём подобные слагаемые: - х 12.

Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак

неравенства на противоположный: х

12 х Ответ: (- ∞; -12).

Слайд 19.

● В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах b или ах где а и b – некоторые числа: 5х ≤ 15, 3х 12, - х 12. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной.

● В приведённых примерах коэффициент при переменной не равен нулю. Рассмотрим на конкретных примерах решения неравенств ах b или ах при а = 0 .

Пример 1. Неравенство 0 х

Пример 2. Неравенство 0 х

● Таким образом, линейное неравенство вида 0 х или 0 х b , а значит и соответствующее ему исходное неравенство, либо не имеет решений, либо его решением является любое число.

Слайд 20.

● При решении неравенств мы придерживались определённого порядка, который является алгоритмом решения неравенств с одной переменной

Алгоритм решения неравенств первой степени с одной переменной.

Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной – в

правой части, при переносе меняя знаки.

Привести подобные слагаемые.

Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю.

Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой.

Записать ответ в виде числового промежутка.

Неравенства такая штука – без правил не решить

Я тайну всех неравенств попробую открыть.

Три главных правила учи

Тогда найдешь ты к ним ключи,

Тогда сумеешь их решить.

Не будешь думать и гадать

Куда перенести и что в нем поменять.

И будешь знать наверняка,

Что знак изменится, когда неравенств обе части

Делить на с минусом число.

Но будет оно верным всё равно.

Решение покажешь на прямой.

Ответ запишешь в виде промежутка.

● Я думаю, это стихотворение поможет вам запомнить, как решать неравенства.

5. Закрепление изученного материала. (Формирование умений и навыков)

● По словам великого немецкого поэта и мыслителя Гёте «Недостаточно только получить знания; надо найти им приложение. Недостаточно только желать; надо делать».

● Последуем эти словам и начнём учиться применять полученные сегодня знания при выполнении упражнений.

Слайды 21 - 22.

Устные упражнения.

● Вы обратили, наверное, уже внимание на то, что алгоритм решения неравенств с одной переменной сходен с алгоритмом решения уравнений. Единственная сложность – деление обеих частей неравенства на отрицательное число. Главное здесь не забыть поменять знак неравенства.

● Решите неравенство:

1) – 2х 6; 3) – 2х ≤ 6;

4) – х 5) – х ≤ 0; 6) – х ≥ 4.

● Найдите решение неравенства:

4) 0 х - 5; 5) 0 х ≤ 0; 6) 0 x 0.

Слайд 23.

● Выполните упражнения: № 836(а, б, в); № 840(д, е, ж, з); № 844(а, д).

6.Подведение итогов урока.

Слайд 24.

● «Как приятно, что ты что – то узнал», - сказал когда - то французский комедиограф

Мольер.

● Что нового мы узнали на уроке?

● Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету?

Оценка результатов урока учителем: Оценка работы класса (активность, адекватность ответов, неординарность работы отдельных детей, уровень самоорганизации, прилежание).

7. Домашнее задание.

Слайд 25.

● Изучить п. 34(выучить определения, свойства и алгоритм решения).

● Выполнить № 835; №836(д – м); № 841.

Муниципальное образование Новокубанский район, станица Советская

муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 10 станицы Советской

муниципального образования Новокубанский район

Конспект открытого урока

Тема: «Решение неравенств методом интервалов»

Учитель математики : Чуева Надежда Викторовна

2015

Тема урока: «Решение неравенств методом интервалов»

Цели урока:

Образовательные: - расширить знания учащихся по теме «Решение неравенств с одной переменной»; познакомить учащихся с новым методом решения неравенств методом интервалов; начать формирование навыков и умений решать неравенства методом интервалов;

Развивающие: продолжить развитие логического мышления, математической речи учащихся, внимания, памяти.

Воспитательные: воспитывать чувство ответственности, воспитание уважения к работе учителя и товарищей (соблюдение рабочей обстановки), формирование умения слушать учителя,воспитывать интерес к предмету.

Тип урока: урок изучения новых знаний.

Форма проведения урока: комбинированныйурок.

Методы: словесный, беседа.

Оборудование: учебник «Алгебра 9» автор А.Г. Мордкович

План проведения урока:

Организационный этап (1 мин)

Проверка домашнего задания (4 мин)

Подготовительный этап (5 мин)

Этап изучения нового материала (17 мин)

Первичное закрепление (10 мин)

Этап подведения итогов урока (2 мин)

Этап информации о домашнем задании. (1 мин)

Ход урока:

ПЕРВЫЙ ЭТАП УРОКА :

1.Организационный этап.

2. Цель : обеспечение нормальной обстановки для работы, психологическая подготовка учащихся к предстоящему уроку.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Здравствуйте, ребята, садитесь.

Назовите отсутствующих.

<Называют отсутствующих.>

ВТОРОЙ ЭТАП УРОКА:

1. Проверка домашнего задания.

2. Цель : выяснить, какие затруднения возникли у учащихся при выполнении домашнего задания, дать краткий комментарий.

3.Метод: фронтальная беседа.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Откройте тетради с домашней работой и проверьте ответы <слайд 2>, если у вас получился другой ответ - зачеркните его простым карандашом.

Поднимите руку у кого возникли затруднения при выполнении домашней работы

Поднимите руку, у кого все номера выполнены верно

Поднимите руку, кто допустил одну ошибку

Закройте тетради и передайте мне.

< Имя> , раздай, пожалуйста тетради

<Поднимают руку, выясняют причину затруднения>

<Поднимают руку>

<Поднимают руку>

< раздают тетради>

ТРЕТИЙ ЭТАП УРОКА:

1. Подготовительный этап.

2. Цель: актуализировать и систематизировать знания учащихся по теме «Решение неравенств второй степени».

3.Метод : фронтальный опрос.

4.Учитель контролирует дисциплину в классе, словесно оценивает ответы учащихся.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Открываем тетради, записываем число, оставьте место под тему урока. Мы запишем её позже.

Давайте с вами вспомним, чем мы занимались на прошлом уроке.

Правильно, поэтому я предлагаю вам решить следующие неравенства, устно проговаривая алгоритм решения.

<слайд 3>

Решить неравенства:

А) x 2 -7 x +12>0

Цель задания : вспомнить алгоритм решения квадратичного неравенства

Что мы делаем на первом шаге, <имя>?

Что можно сказать про эту функцию?

Правильно, следующий шаг,< имя> ?

Как можно решить данное уравнение, <имя>?

Проговори, пожалуйста, решение.

Молодец, <имя>, что мы делаем на третьем шаге

Точки будут закрашенные или выколотые и почему?

Промежутки с какими знаками запишем в ответ и почему?

Числа 3 и 4 включаем или нет?

Правильно, молодец. <Имя >, продиктуй ответ.

У кого есть вопросы по решению данного неравенства?

Следующее неравенство

< слайд 4>

Б) ( x -5)( x +6)  0

Цель задания: подготовить учащихся к изучению новой темы – вспомнить разложение квадратного трехчлена на множители

Как можно решить данное неравенство?

Правильно, решаем. <Имя>, продиктуй что получится

Записываем квадратичную функцию

1) y = x 2 + x -30,

- Что про неё можно сказать, <имя>?

Ребята, обратите внимание на подчеркнутые выражения, что мы с вами получили?

Значит, что можно сразу найти?

Записываем квадратное уравнение и его корни

2) x 2 + x -30=0

x 1 =5, x 2 =-6

Дорешайте самостоятельно это неравенство

-<Имя>, какой ответ получил?

Кто получил другой ответ, поднимите руки

Давайте проверим (на слайде появляется решение неравенства)

<учащиеся открывают тетради, записывают число>

Решали квадратичные неравенства

<записывают решение неравенств в тетрадях, устно проговаривая алгоритм решения >

Рассматриваем квадратичную функцию

1. y = x 2 -7 x +12

Её графиком является квадратичная парабола, ветви которой направлены вверх

Решаем квадратное уравнение

2. x 2 -7 x +12=0

По теореме Виета-

Отмечаем полученные корни на оси Ох и через отмеченные точки схематично строим график параболы

Расставляем знаки на промежутках

Промежутки со знаком +, потому что в неравенстве стоит знак >

Нет, потому что знак неравенства строгий

-Ответ:

<задают, если есть, вопросы>

< ученики выдвигают гипотезы>

Если мы раскроем скобки, то получим квадратное неравенство и решим его, аналогично предыдущему примеру.

-( x -5)( x +6) = x 2 -5 x +6 x -30= x 2 + x -30

Её графиком является квадратичная парабола, ветви которой направлены вверх

Разложение квадратного трехчлена на множители

Корни квадратного уравнения

<записывают решение неравенства в тетради>

< зачитывает свой ответ>

<поднимают руки, если получили ответ>

ЧЕТВЕРТЫЙ ЭТАП УРОКА:

1. Этап изучения нового материала.

2. Цель: сформулировать алгоритм решения неравенств методом интервалов.

3.Метод: словесный.

Форма организации: учитель работает у доски, учащиеся у себя в тетрадях.

4. Учитель контролирует дисциплину в классе.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Продолжим выполнять задание.

(Учитель открывает третье задание).

< слайд 5>

В) (х-2)(х-3)(х-4)>0

Цель задания: создать проблемную ситуация, тем самым показать актуальность изучения новой темы

Ребята, можем мы с вами решить данное неравенство?

Данное неравенство можно решить с помощью методом, который называется методом интервалов.

Сформулируйте тему нашего урока

И что сегодня на уроке мы с вами должны сделать?

Запишите в тетрадях тему урока.

<слайд 6>

Для того чтобы решить данное неравенство, мы с вами, как и в предыдущих случаях, должны решить соответствующее уравнение

<слайд 7>

1.(х-2)(х-3)(х-4)=0

Как решается данное уравнение, <имя>?

2. x -2=0  x -3=0  x -4=0

x =2 Ú x =3 Ú x =4

3

4

2

3. Отмечаем полученные корни на оси ОХ, какие будут точки?

Полученные корни разобьют ось ОХ на числовые промежутки

4. Чертим таблицу, где указываем знак каждого множителя выражения на рассматриваемых промежутках. Для этого из каждого промежутка берем произвольное число, и подставляем в множитель. Знак полученного числа заносим в таблицу

(- ;2)

6. Так как знак неравенства >, то выбираем промежутки со знаком +, если бы был знак неравенства <, то мы бы взяли промежутки со знаком -.

Ответом будет объединение этих промежутков

Ответ: (2;3) (4;+ )

С помощью данного метода можно решить неравенство любой степени, в том числе и второй, которые мы с вами решали с помощью схематического построения параболы.

Сейчас я раздам вам памятки, которые вы вклеите в свои тетрадки для теории.

В этой памятке приведен алгоритм решения неравенств с помощью метода интервалов в общем виде.

Давайте с вами прочитаем этот алгоритм

< Слайд 8> .

ИПЫТЫВАЮТ ЗАТРУДНЕНИЯ

Потому что это неравенство третей степени, а мы умеем решать только линейные и квадратичные.

Тема нашего урока: «Решение неравенств с помощью метода интервалов»

Научится решать неравенства с помощью метода интервалов.

< записывают тему урока>

Произведение множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0.

Выколотые, потому что знак неравенства строгий

<записывают решение неравенства в тетради>

<читают алгоритм>

ПЯТЫЙ ЭТАП УРОКА:

1. Первичное закрепление.

2.Цель: начать формирование умений и навыков решать неравенства методом интервалов.

3.Форма организации: на протяжении всего этапа учащиеся работают совместно с учителем; решение первого примера учитель сам показывает на доске, остальные примеры учитель обсуждает с учащимися устно, учащиеся записывают решения в тетрадях, учитель контролирует записи в тетрадях каждого ученика, после чего идет совместная проверка.

4.Учитель контролирует дисциплину в классе, правильность оформления решений в тетрадях, словесно оценивает учащихся.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Теперь согласно этому алгоритму давайте с вами решим следующий номер.

Откройте учебники на стр. 49, № 9.3

Записываем неравенство под буквой а

А)(x+8 )(x-5)>0

Цель задания : показать способ решения квадратичного неравенства с помощью метода интервалов

- < Имя> , читай первый пункт памятки

Чему равны корни?

Продолжай

Отмечаем, при этом точки какие?

Для того, чтобы определить знак всего выражения, что мы с начала должны сделать?

Чертим таблицу знаков.

- <Имя>, продиктуй знаки в таблице

А теперь знаки самого выражения на промежутках

Согласно алгоритму, что на следующем шаге мы должны сделать, <имя>?

С каким знаком мы будем выбирать промежутки и почему?

Продиктуй ответ

Спасибо, молодец. У кого есть вопросы?

Резервное задание

Решите самостоятельно под буквой г

< слайд 10 >

< после решения проверяют>

< открывают учебники>

< записывают неравенство>

- 1. Найти корни уравнения

- x 1=-8 , x 2=5

-2 . Отметить на числовой прямой корни

Выколотые

-3. Определить знак выражения на каждом из получившихся промежутков

Определить знак каждого множителя на каждом из промежутков

< чертят таблицу знаков>

< диктует знаки>

-4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим знаку неравенства знаком

Промежутки со знаком +, потому что знак неравенства >0

<решают самостоятельно, задают вопросы, если в этом есть необходимость>

ШЕСТОЙ ЭТАП УРОКА:

1. Этап подведения итогов урока.

2. Цель : подвести итоги урока.

3.Метод: фронтальный опрос

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

С каким новым методом решения неравенств мы сегодня познакомились?

Какова была цель сегодняшенего урока?

Как вы думаете, мы достигли поставленной цели?

Неравенства какой степени мы теперь можем решать?

Сегодня на уроке хорошо работали <перечисляет имена>

С методом интервалов

Научится решать неравенства с помощью метода интервалов

СЕДЬМОЙ ЭТАП УРОКА:

1.Этап информации о домашнем задании.

2.Цель: сообщение домашнего задания, разъяснение методики его выполнения.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Откройте дневники и запишите задания на дом:

<слайд 11>

§4, п.9,№ 9.4, 9.7

Откройте учебники и просмотрите эти номера.

< коментирует домашнее задание>

<Учащиеся записывают домашнее задание и задают, вопросы>

Алгоритм решения неравенств
методом интервалов

Пусть требуется решить неравенство

а(х - х 1 ) (х - х 2 )(х – х 3 )…(x - x n ) < 0 , где х 1 < х 2 < х 3 < … < x n

1. Найти корни уравнения

а(х - х 1 ) (х - х 2 )(х – х 3 )…(x - x n ) = 0

Отметить на числовой прямой корни х 1 , х 2 , х 3 ,… , x n

Определить знак выражения

а (х - х 1 ) (х - х 2 )(х – х 3 )…(x - x n )

на каждом из получившихся промежутков.

4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим

знаку неравенства знаком.

Урок по теме: «Решение неравенств методом интервалов».

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

ЦЕЛИ УРОКА:

Обобщить, расширить знания школьников по изучаемой теме.

Способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать. Побуждать учеников к самоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность.

Оборудование и материалы : компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся, оценочные листы.

Работа учащихся состоит из этапов. Итоги своей деятельности они фиксируют в оценочных листах, выставляя себе оценку за работу на каждом этапе урока.

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ УЧАЩЕГОСЯ.

этап

Вид работы

Оценка

Повторение. Тест.

Графический диктант.

Практическая работа.

Исследование.

Оценка урока.

Этапы урока:

Повторение (тест)

Графический диктант.

Практическая работа.

Изучение нового.

Подведение итогов урока (рефлексия, самооценка).

Ход урока

Организационный момент.

Учитель сообщает учащимся тему и цель урока.

Тема «Решение неравенств методом интервалов». Цель урока: обобщение и расширение знаний по данной теме.

Знакомит с требованиями ведения оценочного листа.

Сообщение темы и цели урока .(приложение №1-слайд1)

Тема, которую мы сейчас изучаем, поможет вам, ребята, при сдаче не только экзаменов за курс базовой школы, но и поможет успешно сдать централизованное тестирование и непременно понадобится вам для продолжения образования. А в том, что вы захотите его продолжить, я ничуть не сомневаюсь.

Желаю вам успехов в сегодняшней работе и пусть эпиграфом нашего урока будут слова персидского поэта Рудаки: (приложение №1-слайд2)

« С тех пор, как существует мирозданье,

Такого нет, кто б не нуждался в знанье,

Какой мы не возьмём язык и век,

Всегда стремился к знанью человек».

Итак, ребята, открываем тетради, записываем дату и классная работа.

Сегодня на уроке: (приложение №1-слайд3)

Повторение (тест) (использованы КИМы для подготовки к итоговой аттестации). – 10 мин.

Графический диктант. – 5, 7 мин.

Практическая работа. – 15 мин

Изучение нового. – 10 мин.

Подведение итогов урока. Рефлексия. – 3 мин.

Повторение (чтение графиков; графический способ решения уравнений, систем уравнений, неравенств) (приложение №2)

Графический диктант .( приложение №1- слайд4)

« V » – согласен с утверждением; «–» – не согласен с утверждением.

Методом интервалов можно решать только неравенства II степени.

Для решения неравенств методом интервалов левую часть нужно разложить на множители.

Для решения дробно-рациональных неравенств методом интервалов необходимо находить ОДЗ.

На числовой прямой отмечаем только нули функции.

Знаки функции на каждом интервале всегда чередуются.

Неравенства могут иметь решение, состоящее из единственного числа.

Решением неравенства с одной переменной может быть множество всех чисел.

Ответ обязательно нужно записывать в виде промежутков.

Метод интервалов позволяет решать и другие задачи.

К л ю ч: ( приложение №1- слай5) 1) - 2) V 3) V 4) - 5) - 6) V 7) V 8) - 9) V

Оценка «5» – 9 правильных ответов;

Оценка «4» – 7, 8 правильных ответов;

Оценка «3» – 5, 6 правильных ответов;

Оценка «2» – меньше 5 правильных ответов.

Практическая работа (с проверкой ) (приложение №1-слайд 6)

Вариант 1.

№

а) б) ; в)

№

Вариант 2.

№1. Решите методом интервалов неравенства:

а) б) ; в)

№2. Найдите область определения функции:

Самопроверка практической работы ( приложение №1- слайды 7-9).

Оценка практической работы ( приложение №1- слайд10)

Изучение нового .( приложение №1-слайд11 )

Нами уже рассматривался метод интервалов для решения квадратных неравенств. Применим тот же метод к решению неравенств высоких степеней.

f (x ) > 0(<, ≤, ≥)

Обязательная фраза : Поскольку функция f (x ) непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения этого неравенства можно использовать метод интервалов. Функция может изменить свой знак при переходе через ноль или точку разрыва. Хотя может и не изменить. Между нулями и точками разрыва знак сохраняется. Тогда зачем при решении неравенства изображать саму функцию?

Достаточно разбить числовую прямую на интервалы нулями функции и точками разрыва и в каждом из них определить знак.

Пример. Решим неравенство

Решение:

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - корень многочлена кратности .

Данный многочлен имеет корни: кратности 6; кратности 3; кратности 1; кратности 2; кратности 5.

Нанесем эти корни на числовую ось. Отметим корни четной кратности двумя черточками, нечетной кратности – одной чертой.

Определим знак многочлена на каждом интервале, при любом значении х не совпадающем с корнями и взятом из данного интервала. Получим полную диаграмму знаков многочлена на всей числовой оси:

Теперь легко ответить на вопрос задачи, при каких значениях х знак многочлена неотрицательный. Отметим на рисунке нужные нам области, получим:

Из рисунка видно, что такими х

Решение:

1 вариант: х=3; х=-2; х=7; х=10

+ - - - +

2 3 7 10

2 вариант: х=9; х=2; х=-6; х=1

- + _ + +

6 1 2 9

(Два ученика решают неравенства на доске, остальные выполняют задание самостоятельно, затем проверяем полученное решение по вариантам и снова делаем выводы о смене знака в зависимости от степени кратности корня).

Обобщая ваши наблюдения, приходим к важным выводам ( приложение №1- слайд13) :

Домашнее задание .( приложение №1-Слайд14)

Решить неравенство:

Построить эскиз графика функции:

Подведение итога урока. Рефлексия . ( приложение №1-слайд15)

Фестиваль «Творческий урок»

Номинация «Уроки креативного типа»

(Урок творческого обобщения)

Тема урока «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной»

Цель урока: обобщение, систематизация и проверка знаний, умений и навыков в процессе решения неравенств и их систем.

Задачи урока:

1. Образовательные:

обобщить знания по теме «Неравенства и их системы»;

закрепить умение применять свойства неравенств в процессе выполнения заданий в обычных и необычных ситуациях;

контроль уровня знаний, умений и навыков обучающихся по теме «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной».

2. Развивающие:

развивать умение выделять главное;

обобщать имеющиеся знания;

способствовать развитию кругозора и интереса к предмету.

3. Воспитательные:

воспитывать мыслительную активность, самостоятельность;

достигать сознательного усвоения материала обучающимися;

воспитать прилежность и трудолюбие

Вид урока: обычный – 45 мин.

Класс: 8.

Оборудование:

учебник Ю.Н.Макарычев «Алгебра 8 класс»;

учебник А.Г.Мордкович «Алгебра 8 класс», «Алгебра 9 класс»

компьютер, видеопроектор

Методическое обеспечение урока:

наглядные материалы по домашним заданиям (см. Приложение №1)

дополнительный материал для дом.задания (см. Приложение №2)

дидактический материал (см.Приложение №3)

исторические сведения (см.Приложение №4)

Методы обучения: практический, наглядный, словесный.

Ход урока

I . Организационный момент .

Учащиеся записывают тему урока в тетради.

Дорогие ребята! Сегодня на уроке мы должны обобщить, систематизировать и проверить знания, умения и навыки в процессе решения неравенств и их систем.

Чтобы легче всем жилось,

Чтоб решалось, чтоб моглось,

Улыбнись, удача, всем,

Чтобы не было проблем. Открываем тетради и проверяем правильность выполнения домашних заданий.

II . Проверка домашнего задания.

Для сравнения с решениями учащихся заранее решить на доске № 798(а,в), №799(а,б).

а) ,
, 9х0, х0. Ответ: х ?

2.Принадлежит ли промежутку (1,5; 2,4) число: а) 2; б)
?

3.Какие из натуральных чисел принадлежат промежутку (- 4;3]?

4.Используя координатную прямую найдите пересечение и

объединение промежутков (-3;+ ) и |4;+ ).

V I . Повторение.

1.Какие неравенства соответствуют промежуткам: (Слайд №3)

,,,.

2. Изобразите геометрическую модель промежутков: (Слайд №4)

,,,.

3. Какие неравенства соответствуют геометрическим моделям: (Слайд №5)

4. Какие промежутки соответствуют геометрическим моделям: (Слайд №6)

5. Что значит решить неравенство? Правило 1: любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знак неравенства) (Слайд №7)

6.Правило 2: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства. )(Слайд №8)

7. Правило 3: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположны (,
).

, (Слайд №9)

, (Слайд №10)

V . Закрепление.

Решите неравенства:

1. (Слайд №11)

2. (Слайд №12)

3. Покажите решение на числовой прямой и запишите ответ в виде интервала: (Слайд №13)

4. Запишите ответ в виде интервала: (Слайд №14)

5. Запишите ответ в виде интервала: (Слайд №15)

6.Что значит решить систему неравенств?

Решить систему неравенств – найти значение

переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решаем систему неравенств: (Слайд №16)

Решаем систему неравенств: (Слайд №17)

Решаем систему неравенств:

(Слайд №18)

Решаем систему неравенств: (Слайд №19)

Самостоятельная работа

Решаем систему неравенств: (Слайд №20)

I вариант

II вариант

Для слабых учащихся карточки с такими же заданиями, но в помощь прилагается одно неравенство с решением и пояснением.

Далее проходит взаимопроверка, соседи по парте обмениваются своими тестами, а на экране проектируются правильные ответы. Ученики ставят оценки товарищу по парте. Решения оцениваются учителем или консультантами.

Физкультурная минутка.

Все ребята дружно встали (выпрямиться)
И на месте зашагали (ходьба на месте)
На носочках потянулись (руки вверх)
А теперь назад прогнулись (прогнуться назад)
Как пружинки вы присели (присесть)
И тихонько рядом мы за парты сели (выпрямиться и сесть)

7. Решение двойных неравенств: (классная работа)

1) (Слайд №21)

2) (Слайд №22)

3) (Слайд №23)

4) (Слайд №24)

По одному из учащихся выходят к доске, выполняют задания и комментируют свои решения. Все оценивают решение и ставят оценку.

А сейчас мы послушаем материал, подготовленный одним из учащихся класса, из истории математики «О неравенствах»

Исторические сведения о понятии неравенства.

В развитии мысли без сравнения величин, без понятий «больше» и «меньше» нельзя было дойти до понятия равенства, тождества, уравнения. Например, при исследовании корней квадратно уравнения по дискриминанту мы тоже часто применяем наряду со знаком равенства и знаки неравенства.

В 1557 году Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующим образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка.

Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот в 1631 году ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосновывая это таким образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение имеет место справа или слева. В первом случае знак означает «больше», а во втором - «меньше»

VI. Домашнее задание для слабых учащихся : №802 (а, г); №804; №808(г, е)

№
802.

Умножим обе части на 12. Получим

3(3 + х) + 4(2 - х)

9 + Зх + 8 - 4х

х > 17 Ответ: х е (17;+ )

Умножим обе части на 10. Получим

10х - 2(х - 3) + 2х - 1 ≤ 40

10х + 6 - 1 ≤ 40

x ≤ 3,5 Ответ: х (-; 3,5]

№804. а) При каких значениях а сумма дробей
и

положительна?

Решение. Умножим обе части неравенства на 12, получим равносильное неравенство: 3(2а - 1) + 4(а - 1) > 0.

6а-3 + 4а-4 > 0

а>0,7 Ответ: а (0,7;+ )

б) При каких значениях b разность дробей и

отрицательна?

Решение. Умножим обе части неравенства на 4, получим равносильное неравенство: 2(Зb - 1) - (1+ 5b)

Ответ: b (-;3)

№808. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

г)
е)

Решение. Решение. - (6 - х) ≥ 0

7-5а≥0 х ≥6

5а ≥ - 7 Ответ: х ≥ 6

а ≤ 7/5 Ответ: а ≤ 1,4

Дополнительные домашние задания для сильных учащихся:

1). Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 4 см?

Решение. Обозначим другую сторону прямоугольника через х см. Тогда периметр Р = 2(6 + х). По условию задачи

2). Существует ли такое значение а, при котором

неравенство ах > 2х + 5 не имеет решения?

Решение, ах - 2х > 5. Вынесем в левой части неравенства общий множитель

х за скобки: х(а - 2) > 5

При а = 2 получаем неравенство вида о*х > 5, которое при всех

значениях переменной х не имеет решения. Ответ: при а = 2 неравенство не имеет решения.

V II . Итог урока. - Ребята, сегодня мы повторили, обобщили знания, умения и навыки

по темам «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной».

Оценки.

VIII . Рефлексия.

У каждого из вас ребята на столе карточки. Уходя с урока, прикрепите на доску одну их них.

Был ли, на ваш взгляд, наш урок уроком обобщения, систематизации и контроля знаний?

Что именно вы повторили на уроке?

С каким настроением уходите?

Спасибо за творческую работу. Желаю дальнейших успехов!

Литература

1. Жохов, В. И., Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г. Дидактические материалы по алгебре для 8 класса [Текст] / В. И. Жохов, Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк. – М: Просвещение, 2003, - 144 с.

2. Макарычев, Ю. Н., Миндюк, Н. Г., Нешков, К. И., Суворова, С. Б. Алгебра [Текст]: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. – М: Просвещение, 2009, - 271 с.

3. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.:В двух частях. Ч.1: Учеб.для общеобразоват. учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 223 с.: ил.

4. Алгебра. 9 кл.: В 2 ч. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений / – 9-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2007. – 231 с.: ил.

5. Алгебра. 9 кл.: В 2 ч. Ч.2: Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович, Т.Н.Мишустина, Е.Е.Тульчинская. – 9-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2007. – 152 с.: ил.

методом...

ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ИСПОЛЬЗУЮЩЕЙ СИСТЕМУ УМК «АЛГОРИТМ УСПЕХА»

Основная образовательная программа

С отношением неравенства , свойства числовых неравенств ; решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; решать квадратные неравенства с опорой...

Учебник

Появление неравенства и знати. * На доске: тема урока , новые... Решение творческой задачи. Во время археологических раскопок археологами были найдены два захоронения. В одном ... . А в заключение - обобщение учителя. В результате обеспечивается усвоение...

Учебный план и методическая тема работы школы. 5 Система дополнительного образования, внеклассной и внеурочной деятельности, как способ учета индивидуальных особенностей учащихся. 5 Методическое сопровождение образовательного процесса и системы воспитания

Образовательная программа

... темам самообразования, активизировать работу по выявлению, обобщению , распространению передового педагогического опыта творчески ... неравенства с одной переменной (21), Уравнения и неравенства с двумя переменными ... систем » 2 1 1 «Методы решения физических...