Касательная к графику функции

Пусть М, М 0 – две различные точки кривой (рис. 7.2)

Рис. 7.2. Касательная к кривой

Прямая (ММ 0) называется секущей кривой L.

Пусть точка М, перемещаясь по кривой L, приближается к точке М 0 . Если секущая стремится занять предельное положение (М 0 Т), то прямая (ТМ 0) называется касательной к кривой L в точке М 0 .

Допустим, кривая L является графиком непрерывной функции y=ƒ(x) (рис. 3.3).

y

На рис. 7.3: если (М 0 М) – секущая,
- угловой коэффициент секущей, тогда

;
.

Пусть х стремится к х 0 , тогда точка М стремится по кривой L к М 0 . Если функция ƒ(х) имеет производную в точке х 0 , то

Таким образом, производная функции ƒ(х) в точке х 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке

Уравнение прямой с угловым коэффициентом
имеет вид:

y = kx+b или y=ƒ’(х 0)∙x+b.

Для вычисления воспользуемся тем, что касательная проходит через точку М 0 . Подставляем координаты точки М 0 (х 0 ;ƒ(х 0)) в уравнение касательной:

ƒ(х 0) = ƒ′(х 0)∙х 0 +b,

b = ƒ(х 0)- ƒ′(х 0)∙ х 0

Уравнение касательной принимает вид:

y =ƒ′(х 0)∙(x- х 0)+ƒ(х 0) (3.8)

Пример:

7.24 Написать уравнение касательной к параболе y=x² в точке с абсциссой х 0 =1.

Решение: Имеем ƒ(х 0)=х² 0 ; ƒ(х 0)=1 при х 0 =1; ƒ′(х 0)=2∙ х 0 ; ƒ′(х 0)=2 при х 0 =1.

Уравнение касательной: y=2∙(x-1)+1 или y=2∙x-1.

Упражнения: Написать уравнения касательных к графику функции y=ƒ(x) в точке с абсциссой х 0:

7.25 а) y=x3; х 0 =1;

б)
; х 0 =1;

в)
; х 0 =4

г) y=x²-2x+5; х 0 =0,5

7.10 Применение производной к приближенным вычислениям

По определению производной функции y =ƒ(x) в точке х 0 имеем:

При достаточно малых ∆x получаем:

,

(7.9)

Представляем приращение функции в виде

С учетом формулы (7.9) или

Пример:

7.26 Вычислить приближенно
.

Решение: Воспользуемся формулой (3.10)

Рассмотрим функцию
точку х 0 =27 и приращение аргумента ∆x=0,03

Значение функции в точке х 0:

Производная:

.

Значение производной в точке х 0 =27:

Подставляем полученные значения в (3.10) , получаем приближенное значение функции

.

Упражнения:

7.26 Вычислить приближенные значения функций:

а)
;

б)
;

в) sin30˚30′;

д)
;

е)
.

7.12 Применение производной к исследованию функций

Функция называется возрастающей на (a ; b ) , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции:

Функция называется убывающей на (а; b ) , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции:

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными (сравните с п. 1.1)

Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) возрастает на интервале (а;b), то ƒ′(х) ≥0 для любого хє(а;b).

Доказательство. Пусть x> х 0 , тогда ƒ(х)>ƒ(х 0). Поэтому x- х 0 >0 и
.

Так как ƒ(х) дифференцируема на (а;b), то, переходя к пределу в неравенстве при x > х 0 , получим

Теорема доказана.

y

y

Рис. 7.4 Связь монотонности со знаком производной

Теорема (Необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая на (а;b) функция ƒ(х) убывает на интервале (а;b), то ƒ′(х)≤ 0 для любого хє(а;b).

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если функция ƒ(х) имеет положительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ возрастает на (а;b).

Теорема (Достаточное условие убывания функции). Если функция ƒ(х) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция ƒ убывает на интервале (а;b).

Пример:

7.27 Найти интервалы монотонности функции
.

Решение. Функция определена на множестве всех действительных чисел. Найдем её производную:

Находим знак ƒ′(х) методом интервалов:

ƒ′(х) >0 при хє
, следовательно ƒ(х) возрастающая
на этом интервале;
при
или
, следовательно ƒ(х) убывающая
на этих интервалах. Границы интервалов могут быть включены в интервалы монотонности, т. к. функция непрерывна в этих точках. Можно записать:

;

Точка х 0 называется точкой минимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х 0 , что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство

ƒ(х 0) ƒ(х 0)

(х 0) (x х 0)

0 х 0 -ε х 0 +ε x 0 х 0 -ε х 0 +ε x

Рис. 7.5 Точки минимума функции

Точка х 0 называется точкой максимума функции ƒ, если найдется такая окрестность точки х 0 , что для всех х из этой окрестности справедливо неравенство
.

y y

0 х 0 -ε х 0 х 0 +ε x 0 х 0 -ε х 0 х 0 +ε x

Рис. 7.6 Точки максимума функции

Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках называются экстремумами функций.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода.

Теорема Ферма (Необходимое условие экстремума). Если точка х 0 является точкой экстремума функции ƒ и в этой же точке существует производная, то она равна нулю: ƒ′(х 0)=0

Теорема (Достаточное условие максимума) Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 , а ƒ′(х)>0 на интервале
и ƒ′(x)<0 на интервале
, то точка х 0 является точкой максимума функции ƒ.

Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-», то х 0 – точка максимума функции ƒ.

Теорема (Достаточное условие минимума). Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 , ƒ′(x) на интервале
и ƒ′(x)>0 на интервале
, то точка х 0 является точкой минимума функции ƒ.

Иными словами: Если функция ƒ непрерывна в точке х 0 и при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+», то х 0 - точка минимума функции ƒ.

Пример:

7.27 Найти точки экстремума функции
.

Решение. Найдем производную:
.

Критические точки первого рода: ƒ′(х)=0 => (3-3х²=0) => (х 1 =-1;х 2 =+1).

Знак производной:

- + -

х=-1 – точка минимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «-» на «+».

х=1 – точка максимума, т.к. при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с «+»на «-».

Упражнения:

7.28 Найти интервалы монотонности функции:

а) ƒ(x)=5x-2;

б)
;

в) ƒ(x)=x²+x-1;

г) ƒ(x)=7x²+14x+1;

д)
;

е)
.

7.29. Найти экстремумы функций:

а) ƒ(x)=1+4x-x²;

б) ƒ(x)=3+x²-6x;

в)
;

г)
;

д)
;

е)
;

ж)
;

з) ƒ(x)=xlnx;

и)
;

к)
.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока:

1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
2. Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.
3. Выработка коммуникативных навыков в работе, способствовать развитию самостоятельной деятельности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

План урока

I Организационный момент.
<слайд 2, 3> Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и девиза урока.

II Актуализация материала.
(Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока.) <слайд 5>

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции? Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.

Примеры. <слайд 6>
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе <рисунок 1>.
2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида

(π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика <рисунок 2>.

Рисунок 1

Рисунок 2

Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: <слайд 7> выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Что нам для этого понадобиться?
Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования.

III Подготовительная работа к изучению нового материала.
Опрос материала по карточкам: (задания выполняются на доске)
1 ученик: заполнить таблицу производных элементарных функций

2 ученик: вспомни правила дифференцирования

3 ученик: составьте уравнение прямой y = kx + 4 , проходящей через точку А(3; -2).
(y = -2x+4)

4 ученик: составьте уравнение прямей y = 3 x + b , проходящей через точку С(4; 2).
(y = 3x – 2).

С остальными фронтальная работа. <слайд 8>

1. Сформулируйте определение производной.
2. Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = - 0,5х; у = - 0,5х + 2. Почему?

Отгадай фамилию учёного <слайд 9>:

Ключ к ответам

Кем был этот учёный, с чем связаны его работы, мы узнаем на следующем уроке.
Проверка ответов учащихся по карточкам. <слайд 10>

IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.

• Начнём с углового коэффициента <слайд 11>

Рисунок 3

Рассмотрим график функции y = f(x) дифференцируемой в точке А(x 0 , f(x 0)) <рисунок 3>.
Выберем на нём точку M (x 0 + Δх, f(x 0 + Δх)) и проведем секущую AM .
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)

Будем приближать по дуге точку M к точке A . В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A , приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению - прямой AT . Другими словами < TAM → 0 если длина АМ → 0. Прямую AT , обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x 0 , f(x 0)). <слайд 12>

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f "(x 0) . Значение производной в точке х 0 примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0 .

Существование производной функции в точке x 0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x 0 , f(x 0 )) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f "(x 0) . В этом состоит геометрический смысл производной . <слайд 13>

Определение касательной : <слайд 14> Касательная к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f - это прямая, проходящая через точку (x 0 , f(x 0)) и имеющая угловой коэффициент f "(х 0) .
Проведем касательные к графику функции y = f(x) в точках х 1 , х 2 , х 3 , <рисунок 4> и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направ­лении от положительного направления оси до прямой.)

Рисунок 4

Мы видим, что угол α 1 острый, угол α 3 тупой, а угол α 2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого - отрицателен. Поэтому f "(х 1)>0 , f "(х 2) = 0 , f "(х 3) < 0 . <слайд 15, 16>

• Выведем теперь уравнение касательной <слайд 17, 18> к графику функцииf в точке А(x 0 , f(x 0) ).

Общий вид уравнения прямой y = kx + b .

1. Найдём угловой коэффициент k = f "(х 0), получим y = f "(х0)∙ x + b, f(x) = f "(х 0)∙ x + b
2. Найдём b . b = f(x 0) - f "(х 0)∙ x 0 .
3. Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f "(х 0 )∙ x + f( x 0 ) - f "(х 0 )∙ x 0 или y = f( x 0 ) + f "(х 0 )( x - x 0 )

• Обобщение материала лекции. <слайд 19>

Что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

1. Значение функции в точке касания
2. Общую производную функции
3. Значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

V Закрепление изученного материала.

1. Устная работа:
1) <слайд 20> В каких точках графика <рисунок 5> касательная к нему
а) горизонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый угол;
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
2) <слайд 21> При каких значениях аргумента производная функции, заданной графиком <рисунок 6>
а) равна 0;
б) больше 0;
в) меньше 0?

Рисунок 5

Рисунок 6

3) <слайд 22> На рисунке изображён график функцииf(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f "(x) в точке x 0 <рисунок 7>.

Рисунок 7

2. Письменная работа.
№ 253 (а, б), № 254 (а, б). (работа на местах, с комментарием)

3. Решение опорных задач. <слайд 23>
Рассмотрим четыре типа задач. Дети читают условие задачи, предлагают алгоритм решения, один из учеников оформляет его на доске, остальные записывают в тетрадь.
1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = x 3 – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.
Решение:

1. Вычислим значение функции: f (-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3 ;
2. найдём производную функции: f "(х) = 3х 2 – 3;
3. вычислим значение производной: f "(-2) = - 9.;
4. подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Ответ: y = 9x + 15.

2. По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика с ординатой y 0 = 1.
Решение:

Ответ: y = –x + 2 .

3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику y = x 3 – 2x + 7 , параллельной прямой у = х .
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой y = x . Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент k = 1, y "(х) = 3х2 – 2. Абсцисса х 0 точек касания удовлетворяет уравнению 3х 2 – 2 = 1 , откуда х 0 = ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных: y = x + 5 и y = x + 9 .
Ответ: y = x + 5 , y = x + 9 .

4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких b прямая y = 0,5x + b является касательной к графику функции f(х) = ?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания: f "(х) = = 0,5. Очевидно, его единственный корень –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.

5. Самостоятельная работа обучающего характера. <слайд 24>

Работа в парах.


Проверка: результаты решения заносятся в таблицу на доске (от каждой пары один ответ), обсуждение ответов.

6. Нахождение угла пересечения графика функции и прямой. <слайд 25>
Углом пересечения графика функции y = f(x) и прямой l называют угол, под которым в этой же точке прямую пересекает касательная к графику функции.
№ 259 (а, б), № 260 (а) – разобрать у доски.

7. Самостоятельная работа контролирующего характера. <слайд 26> (работа дифференцированная, проверяет учитель к следующему уроку)
1 вариант.

2 вариант.

1. В каких точках касательная к графику функции f(x) = 3х 2 - 12х + 7 параллельна оси х?
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х 2 - 4 в точке с абсциссой х 0 = - 2. Выполните рисунок.
3. Выясните, является ли прямая у = 12х – 10 касательной к графику функции у = 4х 3 .

3 вариант.

VI Подведение итогов урока. <слайд 27>
1. Ответы на вопросы
- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
2. Вспомните цели и задачи урока, достигли ли мы данной цели?
3. В чём были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
4. Выставление отметок за урок.
VII Комментарий домашнего задания: п. 19 (1, 2), № 253 (в), № 255 (г), № 256 (г), № 257 (г), № 259 (г). Подготовить сообщение о Лейбнице <слайд 28>.

Литература <слайд 29>

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н.Колмогорова. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дидактические материалы по алгебре и нача­лам анализа для 10 класса / Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 2003.
3. Мультимедийный диск фирмы «1С». 1С: Репетитор. Математика (ч. 1) + Варианты ЕГЭ. 2006.
4. Открытый банк заданий по математике/ http://mathege.ru/

Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .

Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.

y = kx + b .

В нём k - угловой коэффициент.

Отсюда получаем следующую запись:

y - y 0 = k (x - x 0 ) .

Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".

Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Найдём производную функции:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.

Пример 2.

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.

Инструкция

Определяем угловой коэффициент касательной к кривой в точке М.
Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).

Если значения f‘(x0) не существует, то либо касательной нет, либо она проходит вертикально. Ввиду этого, наличие производной функции в точке х0 обусловлено существованием невертикальной касательной, соприкасающейся с графиком функции в точке (х0, f(х0)). В этом случае угловой коэффициент касательной равен будет f"(х0). Таким образом, становится ясен геометрический смысл производной – расчет углового коэффициента касательной.

Найдите значение абсциссы точки касания, которую обозначаются буквой «а». Если она совпадает с заданной точкой касательной, то «а» будет ее х-координате. Определите значение функции f(a), подставив в уравнение функции величину абсциссы.

Определите первую производную уравнения функции f’(x) и подставьте в него значение точки «а».

Возьмите общее уравнение касательной, которое определяется как y = f(a) = f (a)(x – a), и подставьте в него найденные значения a, f(a), f "(a). В результате будет найдено решение графика и касательной.

Решите задачу иным способом, если заданная точка касательной не совпала с точкой касания. В этом случае необходимо в уравнение касательной вместо цифр подставить «а». После этого вместо букв «х» и «у» подставьте значение координат заданной точки. Решите получившееся уравнение, в котором «а» является неизвестной. Поставьте полученное значение в уравнение касательной.

Составьте уравнение касательной с буквой «а», если в условии задачи задано уравнение функции и уравнение параллельной линии относительно искомой касательной. После этого необходимо производную функции , чтобы координату у точки «а». Подставьте соответствующее значение в уравнение касательной и решите функцию.

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f - это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 в точке х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x - 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x - 7.

Ответ: y = 4*x - 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)