Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная совокупность.

— Математическая статистика – раздел математики, который изучает способы отбора, группировки, систематизации и анализа статистических данных, для получения научно обоснованных выводов.

— Статистические данные – числовые значения рассматриваемого признака изучаемых объектов, полученные как результат случайного эксперимента.

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, но в отличие от теории вероятностей, математическая модель эксперимента неизвестна. В математической статистике по статистическим данным необходимо установить неизвестное распределение вероятностей или объективно оценить параметры распределения.

Методы математической статистики позволяют строить оптимальные математические модели массовых, повторяющихся явлений. Связующим звеном между теорией вероятностей и математической статистикой являются предельные теоремы теории вероятностей.

В настоящее время статистические методы используются практически во всех отраслях народного хозяйства.

— Генеральная совокупность – статистические данные всех изучаемых объектов (иногда – сами объекты). Часто генеральную совокупность рассматривают как СВ Х.

— Выборка (выборочная совокупность) – статистические данные объектов, выбранных случайно из генеральной совокупности.

— Объём выборки n (объём генеральной совокупности N ) – количество объектов, выбранных для изучения из генеральной совокупности (количество объектов в генеральной совокупности).

Примеры .

а) Статистическими данными могут быть: рост студентов; количество глаголов (или других частей речи) в отрывке текста определённой длины; средний балл аттестата; уровень интеллекта; число ошибок, допущенных диспетчером и т. п.

б) Генеральной совокупностью может быть: рост всех людей, разряды всех рабочих завода, частота употребления определённой части речи во всех произведениях изучаемого автора, средний балл аттестата всех выпускников и т. п.

в)Выборкой может быть: – рост 20 студентов, количество глаголов в выбранных произвольно 50 однородных отрывках текста длиной 500 словоупотреблений, средний балл аттестата 100 выпускников, выбранных случайно из школ города и т.п.

Выборка называется репрезентативной, если она верно отражает свойство генеральной совокупности. Репрезентативность выборки достигается случайностью отбора, когда все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность быть отобранными.

Для того чтобы выборка была репрезентативной применяют различные способы отбора объектов изучения.

Виды отбора : простой, механический, серийный, типический.

Простой . Произвольно отбираются элементы из всей генеральной совокупности.

Механический отбор . Выбирают каждый 10 (25, 30 и т.п.) объект из генеральной совокупности.

Серийный . Проводится исследование в каждой серии (например, из текста выбирают 10 отрывков по 500 словоупотреблений- 10 серий).

Типический . Генеральную совокупность по определённому признаку разделяют на типические группы. Количество серий, извлекаемых из каждой такой группы, определяется удельным весом этой группы в генеральной совокупности.

Статистическое распределение выборки и его графическое изображение.

Пусть изучается СВ Х (генеральная совокупность) относительно некоторого признака. Проводится ряд независимых испытаний. В результате опытов СВ Х принимает некоторые значения. Совокупность полученных значений представляет собой выборку, а сами значения являются статистическими данными.

Первоначально проводят ранжирование выборки - расположение статистических данных выборки по неубыванию. Получаем вариационный ряд.

Вариационный ряд - проранжированная выборка.

Дискретный статистический ряд

Если генеральная совокупность является дискретной СВ, строится дискретный статистический ряд (статистическое распределение).

Пусть значение появилось в выборке раз,

Разa , …, - раз.

I-тая варианта выборки; - частота i-той варианты Частота показывает, сколько раз данная варианта появилась в выборке.

- относительная частота i-той варианты

(показывает какую часть выборки составляет ).

Статистическое распределение – это соответствие между вариантами выборки и их частотами или относительными частотами.

Для ДСВ статистическое распределение можно представить в виде таблицы – статистического ряда частот или статистического ряда относительных частот.

Статистический ряд частот Статистический ряд

относительных частот

			........
			........

			........
			........

Для наглядности представления статистического распределения выборки строят «графики» статистического распределения: полигон и гистограмму.

Полигон частот (относительных частот) – графическое изображение дискретного статистического ряда - ломаная линия, последовательно соединяющая точки [ для полигона относительных частот].

Пример. Исследователя интересуют знания абитуриентов по математике. Выбирают 10 абитуриентов и записывают их школьные оценки по этому предмету. Получена следующая выборка: 5;4;4;3;2;5;4;3;4;5.

а) Представить выборку в виде вариационного ряда;

б) построить статистический ряд частот и относительных частот;

в) изобразить полигон относительных частот для полученного ряда.

а) Проведем ранжирование выборки, т.е. расположим члены выборки по неубыванию. Получаем вариационный ряд: 2; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5;5.

б) Построим статистический ряд частот (соответствие между вариантами выборки и их частотами) и статистический ряд относительных частот (соответствие между вариантами выборки и их относительными частотами)

	0,1	0,2	0,4	0,3

Статистический ряд частот статистический ряд отн. частот

1+2+4+3=10=n 0,1+0,2+0,4+0,3=1.

Полигон относительных частот.

Статистический ряд распределения - упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному признаку. Он характеризует состав (структуру) изучаемого явления, позволяет судить об однородности совокупности, закономерности распределения и границах варьирования единиц совокупности.

Ряды распределения, построенные по атрибутивным (качественным) признакам, называются атрибутивными (распределение населения по полу, занятости, национальности, профессии и т.д.).

Ряды распределения, построенные по количественному признаку, называются вариационными (распределение населения по возрасту, рабочих – по стажу работы, зарплате и т.д.). Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов: вариантов и частот. Варианты – отдельные значения признака, которые он принимает в ряду. Частоты – это численность отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот называется объемом совокупности и определяет число элементов всей совокупности. Частости – это частоты, выраженные в долях единиц или в % к итогу.

Вариационные ряды в зависимости от характера вариации подразделяются на дискретные и интервальные. Дискретные вариационные ряды основаны на дискретных (прерывных) признаках, имеющих только целые значения, на дискретных признаках, представленных в виде интервалов. Интервальные вариационные ряды основаны на непрерывных признаках (имеющих любые значения, даже дробные).

7. Табличное и графическое представление статистических данных.

Результаты сводки и группировки излагаются в виде таблиц. Таблица – рациональная, наглядная и компактная форма стат.материала.

Статистическая таблица – таблица, содержащая результаты подсчета практических данных и является итогом сводки первоначальной информации.

Таблица характеризует совокупность по одному или нескольким признакам, взаимосвязанным логикой.

Статистическая таблица имеет свое подлежащее и сказуемое. Подлежащее – объект, характеризующийся цифрами. Сказуемое таблицы - система показателей.

Таблицы бывают простые и сложные. В простой таблице дается простой перечень объектов. Сложная таблица содержит группировку единиц совокупности одновременно по 2-м и более признакам. Таблица д/б компактной, заголовки краткими, информация в столбцах и графах должна завершаться итоговой строкой. Графы и строки должны иметь единицы измерения, затем необходимо провести четную и логическую проверку таблицы.

Статистический график – чертеж, на котором стат.совокупности, характеризуемые определенными показателями описываются с помощью условных геометрических образов или знаков. При построении графика необходимо соблюдать требования: наглядность, выразительность, понятность. Поле графика – часть плоскости, где расположены графические образы. Виды графиков: линейные, столбиковые, полосовые, круговые, секторные, фигурные, точечные, объемные, применяются диаграммы и стат.карты. Картограмма – схематическая географическая карта, на которой выделены отрасли промышленности или структура состава населения.

Выборка, полученная при проведении экспериментального исследования, представляет собой неупорядочен­ный набор чисел, записанных в той последовательности, в которой производились измерения. Обычно выборка оформляется в виде таблицы, в первой строке (или столбце) которой стоит номер опыта i , а во второй (втором) - зафиксированное значение случайной величины признака. В таком виде выборка представляет собой первичную форму записи статистического материала, который может быть обработан различными способами. В качестве примера рассмотрим результаты, показанные на легкоатлетических соревнованиях толкателями ядра и приведенные в таблице 1. В первой строке этой таблицы записаны номера измерений, а во второй - их численные значения в метрах.

Таблица 1

Результаты соревнований в толкании ядра

№
x i	16,36	14,91	15,31	14,26	14,77	13,88	14,97	14,01	14,07	14,48

№
x i	14,44	14,81	13,81	15,15	15,23	15,69	14,29	14,15	14,57	13,92

№
x i	13,62	14,92	15,73	13,22	14,65	14,8	13,04	15,1	13,3

Как видно из таблицы 1, простая статистическая совокупность перестает быть удобной формой представления статистического материала даже при относительно небольшом объеме выборки: она является достаточно громоздкой и мало наглядной. Проанализировать полученные экспериментальные данные и тем более сделать какие-либо выводы на их основе весьма затруднительно. Исходя из этого, полученный статистический материал должен быть обработан для проведения дальнейшего исследования. Простейшим способом обработки выборки является ранжирование. Ранжированием называют расстановку вариант в порядке возрастания или убывания их значений. Ниже в таблице 2 приведена ранжированная выборка, элементы которой расположены в порядке возрастания.

Таблица 2

Ранжированные результаты соревнований в толкании ядра

№
x i	13,04	13,22	13,3	13,62	13,81	13,88	13,92	14,01	14,07	14,15

№
x i	14,26	14,29	14,44	14,48	14,57	14,65	14,77	14,8	14,81	14,91

№
x i	14,92	14,97	15,1	15,15	15,23	15,31	15,69	15,73	16,36

Но и в таком виде полученные экспериментальные данные плохо обозримы и мало пригодны для непосредственного анализа. Именно поэтому для придания статистическому материалу большей компактности и наглядности он должен быть подвергнут дальнейшей обработке – строится так называемый статистический ряд. Построение статистического ряда начинается с группировки.

Группировкой называется процесс упорядочения и систематизации данных, полученных в ходе проведения эксперимента, направленный на извлечение содержащейся в них информации. В процессе группировки осуществляется распределение вариант выборки по группам или интервалам группировки, каждый из которых содержит некоторый диапазон значений изучаемого признака. Процесс группировки начинается с разбиения всего диапазона варьирования признака на интервалы группировки.

Для каждой конкретной цели статистического исследования, объема рассматриваемой выборки и степени варьирования признака в ней существует оптимальное значение числа интервалов и ширины каждого из них. Ориентировочное значение оптимального числа интервалов k может быть определено, исходя из объема выборки п либо с помощью данных, приведенных в таблице 3., либо с помощью формулы Стэрджесса:

k = 1 + 3,322 lgn .

Таблица 3

Определение числа интервалов группировки

Получаемое по формуле значение k почти всегда оказывается дробной величиной, которую необходимо округлить до целого числа, поскольку количество интервалов не может быть дробным. Практика показывает, что, как правило, лучше округлять в меньшую сторону, ибо формула дает хорошие результаты при больших значениях n , а при малых - несколько завышенные.

Рассмотрим группировку вариант выборки на конкретном примере. Для этого обратимся к примеру с толкателями ядра (см. таблицы 1, 2). Определение числа интервалов группировки будем производить на основе данных, приведенных в таблице 3. При объеме выборки n =29 число интервалов целесообразно выбрать равным k =5 (формула Стэрджесса дает значение k =5,9).

Условимся использовать в рассматриваемом примере интервалы равной ширины. В этом случае после того, как число интервалов группировки определено, следует вычислить ширину каждого из них с помощью соотношения:

Здесь h - ширина интервалов, а х max и х min - соответственно максимальное и минимальное значение признака в выборке. Величины х max и х min определяются непосредственно по таблице исходных данных (см. таблицу 2). В рассматриваемом случае:

(м).

Здесь необходимо остановиться на точности определения ширины интервала. Возможны две ситуации: точность вычисленного значения h совпадает с точностью проведения эксперимента или превышает ее. В последнем случае возможно использование двух подходов для определения границ интервалов. С теоретической точки зрения наиболее правильно использовать полученное значение h для построения интервалов. Такой подход не внесет дополнительных искажений, связанных с обработкой экспериментальных данных. Однако для практических целей в статистических исследованиях, относящихся к физической культуре и спорту, принято округлять полученное значение h до точности измерения данных. Связано это с тем, что для наглядного представления получаемых результатов удобно, чтобы границами интервалов являлись возможные значения признака. Таким образом, полученное значение ширины интервалов следует округлить с учетом точности проводимого эксперимента. Особо отметим, что округление необходимо производить не в общепринятом математическом смысле, а в сторону увеличения, т.е. с избытком, чтобы не уменьшить общий диапазон варьирования признака - сумма ширины всех интервалов не должна быть меньше разности между максимальным и минимальным значениями признака. В рассматриваемом примере экспериментальные данные определены с точностью до сотых (0,01 м), поэтому полученное выше значение ширины интервалов следует округлить с избытком с точностью до сотых. В результате получаем:

h = 0,67 (м).

После определения ширины интервалов группировки следует определить их границы. Нижнюю границу первого интервала целесообразно принять равной минимальному значению признака в выборке x min:

x Н1 = x min .

В рассматриваемом примере x Н1 = 13,04 (м).

Для получения верхней границы первого интервала (x В1) следует к значению нижней границы первого интервала прибавить значение ширины интервала:

x В1 = х Н1 +h .

Заметим, что верхняя граница каждого интервала (здесь – первого) будет являться одновременно и нижней границей следующего (в данном случае второго) интервала: x Н2 = x В1 .

Подобным образом определяются значения нижних и верхних границ всех оставшихся интервалов:

x В i =x Н i +1 = x Н i +h .

В рассматриваемом примере:

x В1 = x Н2 = x Н1 +h =13,04+0,67=13,71 (м),

x В2 = x Н3 = x Н2 +h =13,71+0,67=14,38 (м),

x В3 = x Н4 = x Н3 +h =14,38+0,67=15,05 (м),

x В4 = x Н5 = x Н4 +h =15,05+0,67=15,72 (м),

x В5 = x Н5 +h =15,72+0,67=16,39 (м).

Перед группировкой вариант введем понятие срединного значения интервала x i , равного значению признака, равноудаленного от концов этого интервала. Учитывая, что оно отстоит от нижней границы на величину, равную половине ширины интервала, для его определения удобно воспользоваться соотношением:

x i = x Н i + h /2,

где x Н i - нижняя граница i -ro интервала, а h - его ширина. Срединные значения интервалов будут использоваться в дальнейшем при обработке сгруппированных данных.

После определения границ всех интервалов следует распределить выборочные варианты по этим интервалам. Но предварительно следует решить вопрос о том, к какому интервалу отнести значение, находящееся в точности на границе двух интервалов, т. е. когда значение варианты совпадает с верхней границей одного и нижней границей соседнего с ним интервала. В таком случае варианта может быть отнесена к любому из двух соседних интервалов и, для исключения неоднозначности при группировке, условимся в таких случаях относить варианты к верхнему интервалу. В пользу такого подхода можно привести следующий довод. Поскольку минимальное значение признака совпадает с нижней границей первого интервала и входит в этот интервал, то варианту, попадающую на границу двух интервалов, следует отнести к тому из них, значение нижней границы которого равно рассматриваемой варианте.

Перейдем к рассмотрению статистической таблицы - см. таблицу 4, которая состоит из семи столбцов.

Таблица 4

Табличное представление результатов в толкании ядра

В первых трех столбцах статистической таблицы содержатся соответственно номера интервалов группировки i , их границы x Н i - x В i и срединные значения интервалов x i .

В четвертом столбце располагаются частоты интервалов. Частотой интервала называется число, показывающее сколько вариант, т.е. результатов измерений попало в данный интервал. Для обозначения этой величины принято использовать символ n i . Сумма всех частот всех интервалов всегда равна объему выборки п ,что можно использовать для проверки правильности проведенной группировки.

Пятый столбец таблицы 4 предназначен для занесения в негонакопленной частоты интервала - числа, полученного суммированием частоты текущего интервала с частотами всех предыдущих интервалов. Накопленную частоту принято обозначать латинской буквой N i . Накопленная частота показывает, сколько вариант имеют значения не больше, чем верхняя граница интервала.

В шестой столбец таблицы помещается частость. Частостью называется частота, представленная в относительном выражении, т.е. отношение частоты к объему выборки. Сумма всех частостей всегда равна 1. Для обозначения частости используется символ f i :

f i =n i /n .

Частость интервала связана с вероятностью попадания случайной величины в этот интервал. Согласно теореме Бернулли, при неограниченном увеличении числа опытов частость события сходится по вероятности к его вероятности. Если понимать под событием попадание значения исследуемой величины в определенный интервал, то становится ясно, что при большом числе опытов частость интервала приближается к вероятности попадания измеряемой случайной величины в этот интервал.

И частота, и частость характеризуют повторяемость результатов в выборке. Сравнивая их статистическое значение, следует отметить, что информативность частости существенно выше, чем у частоты. Действительно, если, как, например, в таблице 4 частота второго интервала равна 8 и, значит, 8 результатов попало в этот интервал, то трудно понять - мало это или много; если в выборке 1000 вариант, то такая частота мала, а если 20, то велика. В таком случае для объективной оценки необходимо сопоставить значение частоты с объемом выборки. Если же воспользоваться частостью, то сразу можно сказать, какая доля результатов попала в рассматриваемый интервал (примерно 28% в приведенном примере). Поэтому частость дает более наглядное представление о повторяемости признака в выборке. Особо следует отметить другое важное достоинство частости. Ее использование позволяет сопоставлять выборки различного объема. Частота для таких целей не применима.

В седьмом столбце таблицы расположена накопленная частость. Накопленной частостью является отношение накопленной частоты к объему выборки. Накопленная частость обозначается буквой F i :

Накопленная частость показывает, какая доля вариант выборки имеет значения, не превосходящие значения верхней границы интервала.

Последняя строка статистической таблицы используется для контроля над проведением группировки.

После заполнения таблицы вернемся к определению статистического ряда. Как правило, статистический ряд оформляется в виде таблицы, в первой строке которой перечислены интервалы, а во второй – соответствующие им частости или частоты. Таким образом, статистическим рядом называется двойной числовой ряд, устанавливающий связь между численным значением исследуемого признака и его повторяемостью в выборке. Существенным достоинством статистических рядов является то, что они, в отличие от статистических совокупностей, дают наглядное представление о характерных особенностях варьирования признаков.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20

Располагая данные статистического наблюдения, характеризующих то или иное явление, прежде всего необходимо их упорядочить, т.е. придать характер системности

Английский статистик. УДжРейхман по поводу неупорядоченных совокупностей образно сказал, что столкнуться с массой необобщенных данных равнозначно ситуации, когда человека бросают в лесной чаще без компаса. Что же собой представляет систематизация статистических данных в виде рядов распределениялу?

Статистический ряд распределения - это упорядоченные статистические совокупности (табл. 17). Простейшим видом статистического ряда распределения ранжированном ряд, т.е. ряд чисел, находящейся в порядке возрастания ч или падения варьируя признаки. Такой ряд не позволяет судить о закономерности, заложенные в распределенных данных: у какой величины группируется большинство показателей, какие есть отклонения от этой величины; как а общая картина распределения. С этой целью группируют данные, показывая, как часто встречаются отдельные наблюдения в общем их числе (Схема 1а 1).

. Таблица 17

. Общий вид статистических рядов распределения

. Схема 1. Схемастатистичних рядов распределения

Распределение единиц совокупности по признакам, не имеют количественного выражения, называется атрибутивным рядом (например, распределение предприятий по их производственным направлением)

Ряды распределения единиц совокупности по признакам, имеют количественное выражение, называются вариационными рядами . В таких рядах значение признака (варианты) находятся в порядке возрастания или убывания

В вариационном ряде распределения различают два элемента: варианта и частота. Варианта - это отдельное значение группировочного признаки частота - число, которое показывает, сколько раз встречается каждый варианта

В математической статистике исчисляется еще один элемент вариационного ряда - частисть . Последняя определяется как отношение частоты случаев данного интервала к общей сумме частот частисть определяется в долях единицы, процентах (%) в промилле (% о)

Таким образом, вариационный ряд распределения - это такой ряд, в котором варианты расположены в порядке возрастания или убывания, указаны их частоты или частости. Вариационные ряды бывают дискретные (переривни) и др. нтервальни (непрерывного).

. Дискретные вариационные ряды - это такие ряды распределения, в которых варианта как величина количественного признака может принимать только определенное значение. Варианты различаются между собой на одну или несколько единиц

Так, количество произведенных деталей за смену конкретным рабочим может выражаться только одним определенным числом (6, 10, 12 и тд). Примером дискретного вариационного ряда может быть распределение работников по к количеством произведенных деталей (табл 18 18).

. Таблица 18

. Дискретный ряд распределения _

. Интервальные (непрерывного) вариационные ряды - такие ряды распределения, в которых значение варианты даны в виде интервалов, т.е. значения признаков могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую величину. При построении вариационного ряда нэп переривнои признаки невозможно указать каждое значение варианты, поэтому совокупность распределяется по интервалам. Последние могут быть равны и неравны. Для каждого из них указываются частоты или частости (табл. 1 9 19).

В интервальных рядах распределения с неравными интервалами вычисляют такие математические характеристики, как плотность распределения и относительная плотность распределения на данном интервале. Первая характеристика определи ся отношением частоты до величины того же интервала, вторая - отношением частости к величине того же интервала. Для приведенного выше примера плотность распределения на первом интервале составит 3: 5 = 0,6, а относительная плотность на этом интервале - 7,5:5 = 1,55%.

. Таблица 19

. Интервальный ряд распределения _

Ряды распределения

Статистические ряды распределения представляют собой упорядоченное распределение единиц совокупности по группам и группировкам. Ряды распределения изучают структуру совокупности, позволяют изучить ее однородность, размах и границы. Ряды распределения, образованные по качественным признакам, называют атрибутивными . При группировке по количественному признаку выделяются вариационные ряды. Вариационные ряды – ряды распределения единиц совокупности по признакам, имеющим количественное выражение, т. е. образованы численными значениями.

Вариационные ряды по строению делятся на:

1. Дискретные (прерывные) – основаны на прерывных вариациях признака. Это такие ряды, где значения вариант имеют значения целых чисел (т. е. не могут принимать дробные значения). Дискретные признаки отличаются друг от друга на некоторую конкретную величину.
2. Интервальные (непрерывные) – имеют любые, в том числе и дробные количественные выражения и представлены в виде интервалов. Непрерывные признаки могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину.

Вариационные ряды имеют два элемента:

1. варианта (x)
2. частота (f)

Варианта – отдельное значение варьируемого признака, которое он принимает в ряду распределения.

Частота – численность отдельных вариант или каждой группы вариационного ряда. В некоторых случаях применяется частость . Частоты, выраженные в % или долях процента, называются частостями и рссчитываются как отношение локальной частоты варианты к сумме накопленных частот.

В свою очередь, частота бывает:

• локальной
• накопленной (кумулятивная — нарастающим итогом)

Если вариационный ряд имеет неравные интервалы, то частоты в отдельных интервалах не сопоставимы, т. к. зависят от ширины интервала. В этих случаях рассчитывают плотность распределения, которая дает правильное представление о характере распределения вариант (единиц совокупности). Плотность распределения, в свою очередь, бывает:

• абсолютная плотность распределения – отношение частоты к величине (ширине) интервала

• относительная плотность распределения — отношение частости к ширине интервала

Интервалы	Локальная частота (f)	Накопленная частота (Σf)	Частость (ω)	Плотность распределения (φ)
20-30				0,03
30-40				0,05
40-50				0,01
50-60				0,01

Для характеристики рядов распределения применяются следующие показатели:

• средняя степенная
• мода
• медиана

Пример:

Условие

Известно распределение 20 однотипных торговых точек по величине ежедневной прибыли (тыс. руб.):

11,3; 10,2; 13,9; 10,7; 11,8; 8,2; 12,4; 9,6; 13,1; 10,6; 6,3; 11,3; 10,2; 15,1; 10,5; 11,0; 15,1; 11,6; 10,4; 11,7.

1. Составить интервальный ряд распределения.
2. Построить гистограмму распределения плотности относительных частот.

Решение

Запишем исходные данные в виде ранжированного ряда:

6,3; 8,2; 9,6; 10,2; 10,2; 10,4; 10,5; 10,6; 10,7; 11,0; 11,3; 11,3; 11,6; 11,7; 11,8; 12,4; 13,1; 13,9; 15,1; 15,1.

Диапазон изменения вариант в выборке составляет 6–16. Этот диапазон разобьем на несколько интервалов. Ширину (шаг) интервала рассчитаем по формуле:

Следует иметь в виду, что чем меньше интервал, тем точнее результаты. В нашем случае принимаем размер интервала равным 2 единицам, то есть h=2. Зависимость между количеством групп (n) и численностью единиц совокупности (N) выражается формулой Стерджесса при условии, что данное распределение подчиняется закону нормального распределения (ЗНР) и применяются равные интервалы:

В практической работе можно использовать данные таблицы:

N	15-24	25-44	45-89	90-179	180-359	360-719	720-1439
n	5	6	7	8	9	10	11

Получаем пять интервалов: первый 6–8, второй 8–10, третий 10–12, четвертый 12–14, пятый 14–16.

Определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал.

В первый интервал попадает одно значение ряда: 6,3, поэтому f 1 =1. Во второй интервал попадают два значения: 8,2 и 9,6, поэтому f 2 =2. Аналогично находим f 3 =12, f 4 =3, f 5 =2. Определим относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

в 1 интервал

во 2 интервал

в 3 интервал

в 4 интервал

в 5 интервал

Сумма относительных частот

Следовательно, вычисления выполнены верно.

Определим плотность относительных частот вариант как отношение относительной частоты (ω i) к ширине интервала (h):

для первого интервала

для второго интервала

для третьего интервала

для четвертого интервала

для пятого интервала

Результаты выполненных расчетов сводим в таблицу.

Интервальный ряд распределения прибыли предприятий

Интервал значений прибыли (h)	6 — 8	8 – 10	10 — 12	12 — 14	14 — 16
Частоты вариант (f i)	1	2	12	3	2
Относительные частоты (ω i)	0,05	0,10	0,60	0,15	0,10
Плотность относительных частот (φ i)	0,025	0,050	0,300	0,075	0,050

Гистограмма распределения

Построим гистограмму, показывающую зависимость плотности относительных частот от значения вариант. По горизонтальной оси наносим шкалу возможных значений вариант, по вертикальной оси – плотность относительных частот; величину относительной плотности считаем постоянной внутри соответствующего интервала. Получаем столбчатую диаграмму, называемую гистограммой распределения плотности относительных частот.

Смотри также