Как решать натуральные логарифмы. Что такое логарифм. Примеры решения логарифмов

Продолжаем изучать логарифмы. В этой статье мы поговорим про вычисление логарифмов , этот процесс называют логарифмированием . Сначала мы разберемся с вычислением логарифмов по определению. Дальше рассмотрим, как находятся значения логарифмов с использованием их свойств. После этого остановимся на вычислении логарифмов через изначально заданные значения других логарифмов. Наконец, научимся использовать таблицы логарифмов. Вся теория снабжена примерами с подробными решениями.

Навигация по странице.

Вычисление логарифмов по определению

В простейших случаях возможно достаточно быстро и легко выполнить нахождение логарифма по определению . Давайте подробно рассмотрим, как происходит этот процесс.

Его суть состоит в представлении числа b в виде a c , откуда по определению логарифма число c является значением логарифма. То есть, нахождению логарифма по определению отвечает следующая цепочка равенств: log a b=log a a c =c .

Итак, вычисление логарифма по определению сводится к нахождению такого числа c , что a c =b , а само число c есть искомое значение логарифма.

Учитывая информацию предыдущих абзацев, когда число под знаком логарифма задано некоторой степенью основания логарифма, то можно сразу указать, чему равен логарифм – он равен показателю степени. Покажем решения примеров.

Пример.

Найдите log 2 2 −3 , а также вычислите натуральный логарифм числа e 5,3 .

Решение.

Определение логарифма позволяет нам сразу сказать, что log 2 2 −3 =−3 . Действительно, число под знаком логарифма равно основанию 2 в −3 степени.

Аналогично находим второй логарифм: lne 5,3 =5,3 .

Ответ:

log 2 2 −3 =−3 и lne 5,3 =5,3 .

Если же число b под знаком логарифма не задано как степень основания логарифма, то нужно внимательно посмотреть, нельзя ли прийти к представлению числа b в виде a c . Часто такое представление бывает достаточно очевидно, особенно когда число под знаком логарифма равно основанию в степени 1 , или 2 , или 3 , ...

Пример.

Вычислите логарифмы log 5 25 , и .

Решение.

Несложно заметить, что 25=5 2 , это позволяет вычислять первый логарифм: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Переходим к вычислению второго логарифма . Число можно представить в виде степени числа 7 : (при необходимости смотрите ). Следовательно, .

Перепишем третий логарифм в следующем виде . Теперь можно увидеть, что , откуда заключаем, что . Следовательно, по определению логарифма .

Коротко решение можно было записать так: .

Ответ:

log 5 25=2 , и .

Когда под знаком логарифма находится достаточно большое натуральное число, то его не помешает разложить на простые множители. Это часто помогает представить такое число в виде некоторой степени основания логарифма, а значит, вычислить этот логарифм по определению.

Пример.

Найдите значение логарифма .

Решение.

Некоторые свойства логарифмов позволяют сразу указать значение логарифмов. К таким свойствам относятся свойство логарифма единицы и свойство логарифма числа, равного основанию: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a a 1 =1 . То есть, когда под знаком логарифма находится число 1 или число a , равное основанию логарифма, то в этих случаях логарифмы равны 0 и 1 соответственно.

Пример.

Чему равны логарифмы и lg10 ?

Решение.

Так как , то из определения логарифма следует .

Во втором примере число 10 под знаком логарифма совпадает с его основанием, поэтому десятичный логарифм десяти равен единице, то есть, lg10=lg10 1 =1 .

Ответ:

И lg10=1 .

Отметим, что вычисление логарифмов по определению (которое мы разобрали в предыдущем пункте) подразумевает использование равенства log a a p =p , которое является одним из свойств логарифмов.

На практике, когда число под знаком логарифма и основание логарифма легко представляются в виде степени некоторого числа, очень удобно использовать формулу , которая соответствует одному из свойств логарифмов. Рассмотрим пример нахождения логарифма, иллюстрирующий использование этой формулы.

Пример.

Вычислите логарифм .

Решение.

Ответ:

.

Не упомянутые выше свойства логарифмов также используются при вычислении, но об этом поговорим в следующих пунктах.

Нахождение логарифмов через другие известные логарифмы

Информация этого пункта продолжает тему использования свойств логарифмов при их вычислении. Но здесь основное отличие состоит в том, что свойства логарифмов используются для того, чтобы выразить исходный логарифм через другой логарифм, значение которого известно. Приведем пример для пояснения. Допустим, мы знаем, что log 2 3≈1,584963 , тогда мы можем найти, например, log 2 6 , выполнив небольшое преобразование с помощью свойств логарифма: log 2 6=log 2 (2·3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

В приведенном примере нам было достаточно использовать свойство логарифма произведения. Однако намного чаще приходится применять более широкий арсенал свойств логарифмов, чтобы вычислить исходный логарифм через заданные.

Пример.

Вычислите логарифм 27 по основанию 60 , если известно, что log 60 2=a и log 60 5=b .

Решение.

Итак, нам нужно найти log 60 27 . Несложно заметить, что 27=3 3 , и исходный логарифм в силу свойства логарифма степени можно переписать как 3·log 60 3 .

Теперь посмотрим, как log 60 3 выразить через известные логарифмы. Свойство логарифма числа, равного основанию, позволяет записать равенство log 60 60=1 . С другой стороны log 60 60=log60(2 2 ·3·5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Таким образом, 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5=1 . Следовательно, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b .

Наконец, вычисляем исходный логарифм: log 60 27=3·log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b .

Ответ:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b .

Отдельно стоит сказать о значении формулы перехода к новому основанию логарифма вида . Она позволяет от логарифмов с любыми основаниями переходить к логарифмам с конкретным основанием, значения которых известны или есть возможность их отыскать. Обычно от исходного логарифма по формуле перехода переходят к логарифмам по одному из оснований 2 , e или 10 , так как по этим основаниям существуют таблицы логарифмов, позволяющие с определенной степенью точности вычислять их значения. В следующем пункте мы покажем, как это делается.

Таблицы логарифмов, их использование

Для приближенного вычисления значений логарифмов могут быть использованы таблицы логарифмов . Наиболее часто используется таблица логарифмов по основанию 2 , таблица натуральных логарифмов и таблица десятичных логарифмов. При работе в десятичной системе счисления удобно пользоваться таблицей логарифмов по основанию десять. С ее помощью и будем учиться находить значения логарифмов.

Представленная таблица позволяет с точностью до одной десятитысячной находить значения десятичных логарифмов чисел от 1,000 до 9,999 (с тремя знаками после запятой). Принцип нахождения значения логарифма с помощью таблицы десятичных логарифмов разберем на конкретном примере – так понятнее. Найдем lg1,256 .

В левом столбце таблицы десятичных логарифмов находим две первые цифры числа 1,256 , то есть, находим 1,2 (это число для наглядности обведено синей линией). Третью цифру числа 1,256 (цифру 5 ) находим в первой или последней строке слева от двойной линии (это число обведено красной линией). Четвертую цифру исходного числа 1,256 (цифру 6 ) находим в первой или последней строке справа от двойной линии (это число обведено зеленой линией). Теперь находим числа в ячейках таблицы логарифмов на пересечении отмеченной строки и отмеченных столбцов (эти числа выделены оранжевым цветом). Сумма отмеченных чисел дает искомое значение десятичного логарифма с точностью до четвертого знака после запятой, то есть, lg1,236≈0,0969+0,0021=0,0990 .

А можно ли, используя приведенную таблицу, находить значения десятичных логарифмов чисел, имеющих больше трех цифр после запятой, а также выходящих за пределы от 1 до 9,999 ? Да, можно. Покажем, как это делается, на примере.

Вычислим lg102,76332 . Сначала нужно записать число в стандартном виде : 102,76332=1,0276332·10 2 . После этого мантиссу следует округлить до третьего знака после запятой, имеем 1,0276332·10 2 ≈1,028·10 2 , при этом исходный десятичный логарифм приближенно равен логарифму полученного числа, то есть, принимаем lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Теперь применяем свойства логарифма: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2 . Наконец, находим значение логарифма lg1,028 по таблице десятичных логарифмов lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012 . В итоге весь процесс вычисления логарифма выглядит так: lg102,76332=lg1,0276332·10 2 ≈lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012 .

В заключение стоит отметить, что используя таблицу десятичных логарифмов можно вычислить приближенное значение любого логарифма. Для этого достаточно с помощью формулы перехода перейти к десятичным логарифмам, найти их значения по таблице, и выполнить оставшиеся вычисления.

Для примера вычислим log 2 3 . По формуле перехода к новому основанию логарифма имеем . Из таблицы десятичных логарифмов находим lg3≈0,4771 и lg2≈0,3010 . Таким образом, .

Список литературы.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Логарифмом числа N по основаниюа называется показатель степених , в которую нужно возвестиа , чтобы получить числоN

При условии, что
,
,

Из определения логарифма следует, что
, т.е.
- это равенство является основным логарифмическим тождеством.

Логарифмы по основанию 10 называются десятичными логарифмами. Вместо
пишут
.

Логарифмы по основанию e называются натуральными и обозначаются
.

Основные свойства логарифмов.

Логарифм единицы при любом основании равен нулю

Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

3) Логарифм частного равен разности логарифмов

Множитель
называется модулем перехода от логарифмов при основанииa к логарифмам при основанииb .

С помощью свойств 2-5 часто удается свести логарифм сложного выражения к результату простых арифметических действий над логарифмами.

Например,

Такие преобразования логарифма называются логарифмированием. Преобразования обратные логарифмированию называются потенцированием.

Глава 2. Элементы высшей математики.

1. Пределы

Пределом функции
является конечное число А, если при стремлении xx 0 для каждого наперед заданного
, найдется такое число
, что как только
, то
.

Функция, имеющая предел, отличается от него на бесконечно малую величину:
, где- б.м.в., т.е.
.

Пример. Рассмотрим функцию
.

При стремлении
, функцияy стремится к нулю:

1.1. Основные теоремы о пределах.

Предел постоянной величины равен этой постоянной величине

.

Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций.

Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю.

Замечательные пределы

,
, где

1.2. Примеры вычисления пределов

Однако, не все пределы вычисляются так просто. Чаще вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа: или .

.

2. Производная функции

Пусть мы имеем функцию
, непрерывную на отрезке
.

Аргумент получил некоторое приращение
. Тогда и функция получит приращение
.

Значению аргумента соответствует значение функции
.

Значению аргумента
соответствует значение функции .

Следовательно, .

Найдем предел этого отношения при
. Если этот предел существует, то он называется производной данной функции.

Определение 3Производной данной функции
по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента произвольным образом стремится к нулю.

Производная функции
может быть обозначена следующим образом:

; ; ; .

Определение 4Операция нахождения производной от функции называетсядифференцированием.

2.1. Механический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела или материальной точки.

Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка
находилась на расстоянии от начального положения
.

Через некоторый промежуток времени
она переместилась на расстояние
. Отношение =- средняя скорость материальной точки
. Найдем предел этого отношения, учитывая что
.

Следовательно, определение мгновенной скорости движения материальной точки сводится к нахождению производной от пути по времени.

2.2. Геометрическое значение производной

Пусть у нас есть графически заданная некоторая функция
.

Рис. 1. Геометрический смысл производной

Если
, то точка
, будет перемещаться по кривой, приближаясь к точке
.

Следовательно
, т.е. значение производной при данном значении аргумента численно равняется тангенсу угла образованного касательной в данной точке с положительным направлением оси
.

2.3. Таблица основных формул дифференцирования.

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрическая функция

Обратная тригонометрическая функция

2.4. Правила дифференцирования.

Производная от

Производная суммы (разности) функций

Производная произведения двух функций

Производная частного двух функций

2.5. Производная от сложной функции.

Пусть дана функция
такая, что ее можно представить в виде

и
, где переменнаяявляется промежуточным аргументом, тогда

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.

Пример1.

Пример2.

3. Дифференциал функции.

Пусть есть
, дифференцируемая на некотором отрезке
и пустьу этой функции есть производная

,

тогда можно записать

(1),

где - бесконечно малая величина,

так как при

Умножая все члены равенства (1) на
имеем:

Где
- б.м.в. высшего порядка.

Величина
называется дифференциалом функции
и обозначается

.

3.1. Геометрическое значение дифференциала.

Пусть дана функция
.

Рис.2. Геометрический смысл дифференциала.

.

Очевидно, что дифференциал функции
равен приращению ординаты касательной в данной точке.

3.2. Производные и дифференциалы различных порядков.

Если есть
, тогда
называется первой производной.

Производная от первой производной называется производной второго порядка и записывается
.

Производной n-го порядка от функции
называется производная (n-1)-го порядка и записывается:

.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.

.

.

3.3 Решение биологических задач с применением дифференцирования.

Задача1. Исследования показали, что рост колонии микроорганизмов подчиняется закону
, гдеN – численность микроорганизмов (в тыс.),t –время (дни).

б) Будет ли в этот период численность колонии увеличиваться или уменьшаться?

Ответ. Численность колонии будет увеличиваться.

Задача 2. Вода в озере периодически тестируется для контроля содержания болезнетворных бактерий. Черезt дней после тестирования концентрация бактерий определяется соотношением

.

Когда в озере наступит минимальная концентрация бактерий и можно будет в нем купаться?

РешениеФункция достигает max или min, когда ее производная равна нулю.

,

Определим max или min будет через 6 дней. Для этого возьмем вторую производную.

Ответ: Через 6 дней будет минимальная концентрация бактерий.

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь - собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log a x = b , где a - основание, x - аргумент, b - собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6 , поскольку 2 6 = 64 .

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5 . Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Важно понимать, что логарифм - это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где - аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами - не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм - это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень - на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии - и никакой путаницы не возникает.

С определением разобрались - осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1 , т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log 5 25

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Задача. Вычислите логарифм: log 4 64

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log 16 1

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log 7 14

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
3. Ответ - без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто - достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точная степень;
35 = 7 · 5 - снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 - опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e - основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - и т.д. С другой стороны, ln 2 - иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

1. Проверьте, не стоят ли под знаком логарифма отрицательные числа или единица. Данный метод применим к выражениям вида log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}} . Однако он не годится для некоторых особых случаев:

   • Логарифм отрицательного числа не определен при любом основании (например, log ⁡ (− 3) {\displaystyle \log(-3)} или log 4 ⁡ (− 5) {\displaystyle \log _{4}(-5)} ). В этом случае напишите "нет решения".
   • Логарифм нуля по любому основанию также не определен. Если вам попался ln ⁡ (0) {\displaystyle \ln(0)} , запишите "нет решения".
   • Логарифм единицы по любому основанию ( log ⁡ (1) {\displaystyle \log(1)} ) всегда равен нулю, поскольку x 0 = 1 {\displaystyle x^{0}=1} для всех значений x . Запишите вместо такого логарифма 1 и не используйте приведенный ниже метод.
   • Если логарифмы имеют разные основания, например l o g 3 (x) l o g 4 (a) {\displaystyle {\frac {log_{3}(x)}{log_{4}(a)}}} , и не сводятся к целым числам, значение выражения нельзя найти вручную.

2. Преобразуйте выражение в один логарифм. Если выражение не относится к приведенным выше особым случаям, его можно представить в виде одного логарифма. Используйте для этого следующую формулу: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) {\displaystyle {\frac {\log _{b}(x)}{\log _{b}(a)}}=\log _{a}(x)} .

   • Пример 1: рассмотрим выражение log ⁡ 16 log ⁡ 2 {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}} .
     Для начала представим выражение в виде одного логарифма с помощью приведенной выше формулы: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) {\displaystyle {\frac {\log {16}}{\log {2}}}=\log _{2}(16)} .
   • Эта формула "замены основания" логарифма выводится из основных свойств логарифмов.

3. При возможности вычислите значение выражения вручную. Чтобы найти log a ⁡ (x) {\displaystyle \log _{a}(x)} , представьте себе выражение " a ? = x {\displaystyle a^{?}=x} ", то есть задайтесь следующим вопросом: "В какую степень необходимо возвести a , чтобы получить x ?". Для ответа на этот вопрос может потребоваться калькулятор, но если вам повезет, вы сможете найти его вручную.

   • Пример 1 (продолжение): Перепишите в виде 2 ? = 16 {\displaystyle 2^{?}=16} . Необходимо найти, какое число должно стоять вместо знака "?". Это можно сделать методом проб и ошибок:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=2*2=4}
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 {\displaystyle 2^{3}=4*2=8}
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 {\displaystyle 2^{4}=8*2=16}
     Итак, искомым числом является 4: log 2 ⁡ (16) {\displaystyle \log _{2}(16)} = 4 .

4. Оставьте ответ в логарифмической форме, если вам не удается упростить его. Многие логарифмы очень сложно вычислить вручную. В этом случае, чтобы получить точный ответ, вам потребуется калькулятор. Однако если вы решаете задание на уроке, то учителя, скорее всего, удовлетворит ответ в логарифмическом виде. Ниже рассматриваемый метод использован для решения более сложного примера:

   • пример 2: чему равно log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}} ?
   • Преобразуем данное выражение в один логарифм: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) {\displaystyle {\frac {\log _{3}(58)}{\log _{3}(7)}}=\log _{7}(58)} . Обратите внимание, что общее для обоих логарифмов основание 3 исчезает; это справедливо для любого основания.
   • Перепишем выражение в виде 7 ? = 58 {\displaystyle 7^{?}=58} и попробуем найти значение?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 {\displaystyle 7^{2}=7*7=49}
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 {\displaystyle 7^{3}=49*7=343}
     Поскольку 58 находится между этими двумя числами, не выражается целым числом.
   • Оставляем ответ в логарифмическом виде: log 7 ⁡ (58) {\displaystyle \log _{7}(58)} .

Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.

Определение

Натуральный логарифм - это функция y = ln x , обратная к экспоненте , x = e y , и являющаяся логарифмом по основанию числа е : ln x = log e x .

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/ x .

Исходя из определения , основанием натурального логарифма является число е :
е ≅ 2,718281828459045... ;
.

График функции y = ln x .

График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( - ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм" .

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента .

Если , то

Если , то .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям :
.
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ :
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.