Как найти среднее геометрическое. Среднее геометрическое

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т. е. характеризует средний коэффициент роста.

Мода и медиана очень часто рассчитывают в задачах статистики и они являются дополнительными к средней характеристиками совокупности и используются в математической статистике для анализа типа рядов распределения, которое может нормальным, асимметричным, симметричным и т.д.

Также как и медиану вычисляются значения признака, делящего совокупность на четыре равные части - квартели , на пять частей - квинтели , на десять равных частей - децели , на сто равных частей - перцентели . Использование при анализе вариационных рядов распределения рассмотренных характеристик в статистике позволяет более глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.

Тема среднего арифметического и среднего геометрического входит в программу математики 6-7 классов. Так как параграф довольно прост для понимания, его быстро проходят, и к завершению учебного года школьники его забывают. Но знания в базовой статистике нужны для сдачи ЕГЭ, а также для международных экзаменов SAT. Да и для повседневной жизни развитое аналитическое мышление никогда не помешает.

Как вычислить среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел

Допустим, имеется ряд чисел: 11, 4, и 3. Средним арифметическим называется сумма всех чисел, поделенная на количество данных чисел. То есть в случае чисел 11, 4, 3, ответ будет 6. Как образом получается 6?

Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

В знаменателе должно стоять число, равное количеству чисел, среднее которых нужно найти. Сумма делится на 3, так как слагаемых три.

Теперь надо разобраться со средним геометрическим. Допустим, есть ряд чисел: 4, 2 и 8.

Средним геометрическим чисел называется произведение всех данных чисел, находящееся под корнем со степенью, равной количеству данных чисел.То есть в случае чисел 4, 2 и 8 ответом будет 4. Вот каким образом это получилось:

Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

В обоих вариантах получились целые ответы, так как для примера были взяты специальные числа. Так происходит отнюдь не всегда. В большинстве случаев ответ приходится округлять или оставлять под корнем. Например, для чисел 11, 7 и 20 среднее арифметическое ≈ 12,67, а среднее геометрическое - ∛1540. А для чисел 6 и 5 ответы, соответственно, будут 5,5 и √30.

Может ли так произойти, что среднее арифметическое станет равным среднему геометрическому?

Конечно, может. Но только в двух случаях. Если имеется ряд чисел, состоящий только либо из единиц, либо из нулей. Примечательно также то, что ответ не зависит от их количества.

Доказательство с единицами: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (среднее арифметическое).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(среднее геометрическое).

Доказательство с нулями: (0 + 0) / 2=0 (среднее арифметическое).

√(0 × 0) = 0 (среднее геометрическое).

Другого варианта нет и быть не может.

Средние величины в статистике играют важную роль, т.к. они позволяют получить обобщающую характеристику анализируемого явления. Самая распространенная средняя это, конечно, . Она имеет место тогда, когда агрегирующий показатель образуется с помощью суммы элементов. Например, масса нескольких яблок, суммарная выручка за каждый день продаж и т.д. Но так бывает не всегда. Иногда агрегатный показатель образуется не в результате суммирования, а в результате других математических операций.

Рассмотрим следующий пример. Месячная инфляция – это изменение уровня цен одного месяца по сравнению с предыдущим. Если известны показатели инфляции за каждый месяц, то как получить годовое значение? С точки зрения статистики – это цепной индекс, поэтому правильный ответ: с помощью перемножения месячных показателей инфляции. То есть общий показатель инфляции – это не сумма, а произведение. А как теперь узнать среднюю инфляцию за месяц, если имеется годовое значение? Нет, не разделить на 12, а извлечь корень 12-й степени (степень зависит от количества множителей). В общем случае среднее геометрическое рассчитывается по формуле:

То есть это корень из произведения исходных данных, где степень определяется количеством множителей. Для примера, среднее геометрическое из двух чисел – это квадратный корень из их произведения

из трех чисел – кубический корень из произведения

и т.д.

Если каждое исходное число заменить на их среднее геометрическое, то произведение даст тот же результат.

Чтобы лучше разобраться, что такое средняя геометрическая и чем она отличается от арифметической, рассмотрим следующий рисунок. Имеется прямоугольный треугольник, вписанный в круг.

Из прямого угла опущена медиана a (на середину гипотенузы). Также из прямого угла опущена высота b , которая в точке P делит гипотенузу на две части m и n . Т.к. гипотенуза – это диаметр описанного круга, а медиана – радиус, то очевидно, что длина медианы a – это среднее арифметическое из m и n .

Рассчитаем, чему равна высота b . В силу подобия треугольников АВP и BCP справедливо равенство

То есть высота прямоугольного треугольника – это среднее геометрическое из отрезков, на которые она разбивает гипотенузу. Такое наглядное отличие.

В MS Excel среднюю геометрическую можно найти с помощью функции СРГЕОМ.

Все очень просто: вызвали функцию, указали диапазон и готово.

На практике этот показатель используют не так часто, как среднее арифметическое, но все же встречается. Например, есть такой индекс развития человеческого потенциала , с помощью которого сравнивают уровень жизни в разных странах. Он рассчитывается, как среднее геометрическое из нескольких индексов.

Бывают и другие средние величины. О них в другой раз.