Исследование по симметрии кристаллов. Научная работа на тему "симметрия кристаллов". Структура и симметрия кристаллов

Все разнообразие кристаллов сводится к следующим семи основным кристаллографическим системам, или сингониям.

Сингония - сходноугольность (сходство углов).

Первая система: - Кубическая

Узлы кристаллической решетки создают куб, у которого параметры решетки одинаковы a=b=c , а углы a=b=g=90⁰

Рисунок 14. Кубическая ячейка.

В этой решетке кристаллизуются все кристаллы n-ых проводников (Si, Ge, GaAs, Cu), щелочно-галлоидные кристаллы (LiF, NaCl, KCl).

Кристаллы с кубической решеткой относятся к высшей категории симметрии. В этих кристаллах анизотропия свойств в различных направлениях выражена слабо. Многие физические свойства в этих кристаллах изотропны: теплопроводимость, электропроводимость,

показатель преломления одинаковых во всех направлениях.

Внешняя форма этих кристаллов, как правило, изометрична, т.е. развита примерно одинакова по всем направлениям. Кристаллы имеют форму куба (6-граней), октаэдра (8-граней). В этих кристаллах анизотропия таких свойств, как упругость и электрооптический эффект развиты гораздо слабее, чем у кристаллов других категорий.

Кристаллографические категории, сингонии и системы координат.

Плоскости симметрии, оси симметрии и центры симметрии образуются в кристаллах в разных сочетаниях. Например: у кристаллов с кубической решеткой (у полупроводников и щелочно-галлоидных кристаллов) один и тот же набор элементов симметрии: плоскостей симметрии m (P) - 9, 3 оси четвертого порядка 4(L 4), 4 оси третьего порядка 3(L 3), 6 осей второго порядка 2(L 2) и один центр симметрии (С), единичных направлений нет.

Категории симметрии : их три высшая, средняя и низшая. Это деление на категории происходит по симметрии и числу единичных направлений кристалла. Симметрия куба или октаэдра характерна для кристаллов высшей категории. (См. Кубическую решетку)

Тетрагональная – главная ось симметрии 4 или ; a=b≠c, a=b=g=90°

Форма элементарной ячейки-призма с квадратным основанием.

Рисунок 15. Тетрагональная ячейка.

К тетрагональной системе относятся кристаллы KDP и ADP (искусственные)

(дигидрофосфат калия и дигидрофосфат амония), селаита MgF 2 .

Тригональная – главная ось симметрии 3 или ; a=b≠c , a=b=90°, g=120°

Рисунок 16. Тригональная ячейка.

Форма элементарной ячейки-призма с ромбическим основании с углом 120°

К тригональной системе относятся кристаллы кальцитаCaCO 3 (природные и искусственные), кварца (a-SiO 2), ниобата и танталата лития(LiNbO 3 и LiTaO 3).

Гексагональная - главная ось симметрии 6 или

a=b≠c , a=b=90°, g=120°

Рисунок 17. гексагональная ячейка.

Форма элементарной ячейки – призма с ромбическим основанием с углами 120°. Три такие призмы составляют шестигранную призму, уже не примитивную, гексагональную ячейку. К гексагональной системе относятся кристаллы кварца (b-кварц).

Ромбическая – три оси 2 и три плоскости m симметрии a≠b≠c, a=b=g=90°

Рисунок 18. Ромбическая ячейка.

К ромбической системе относится кристаллическая сера.

Моноклинная – ось 2 или плоскость m симметрии, a≠b≠c, a=b=g=90°

Внешний вид кристаллов, полученных различными методами, например выращенных из расплава или раствора, может заметно отличаться друг от друга. В то же время одним из первых открытий в кристаллографии было установление факта, что утлы между гранями кристалла одного и того же вещества неизменны. Такое постоянство углов, как теперь известно, обусловлено закономерным расположением атомов или групп атомов внутри кристалла, то есть наличием некоей симметрии в расположении атомов в кристаллическом твердом теле.

Трансляционная симметрия. Понятие трансляционной симметрии кристалла означает, что в кристалле можно выбрать некоторую наименьшую часть, называемую элементарной ячейкой, пространственным повторением которой - трансляцией - потрем направлениям (вдоль граней ячейки) образуется весь кристалл. Понятия трансляционной симметрии и элементарной ячейки кристалла явились научным обобщением того экспериментального факта, что у кристаллов одного и того же вещества можно мысленно выделить базовый геометрический элемент, из которого можно сконструировать весь кристалл. Глубокий научный смысл этих понятий был выявлен позже, с развитием методов рентгеноструктурного анализа твердых тел.

Элементарная ячейка может содержать одну или несколько молекул, атомов, ионов, пространственное расположение которых в ячейке фиксировано. Элементарная ячейка электрически нейтральна. Если повторяющуюся в кристалле элементарную ячейку представить точкой, то в результате трансляционного повторения этой точки по трем направлениям (не обязательно перпендикулярным) получится трехмерное множество точек, называемое кристаллической решеткой вещества. При этом сами точки называют узлами кристаллической решетки. Кристаллическую решетку можно охарактеризовать векторами основных трансляций а { и а 2 , как показано для двумерного случая на рис. 1.14.

Как видно на рис. 1.14, выбор векторов основных трансляций не является однозначным. Главное, чтобы положение всех эквивалентных точек кристаллической решетки можно было описать линейной комбинацией векторов основных трансляций. При этом совокупность всех векторов решетки образует решетку Браве кристалла. Концы векторов решетки определяют положение узловых точек в решетке.

Рис. 1.14. Варианты возможного выбора векторов трансляций а 1 и а 2 и примитивной решетки (варианты 1,2,3,4)

Параллелепипед, построенный на векторах основных трансляций, называют примитивной ячейкой кристалла, выбор которой в кристалле также неоднозначен. Элементарную ячейку 4 на рис. 1.14, построенную через середины векторов трансляций, называют ячейкой Вигнера - Зейтца.

Кристаллографические индексы. Если в элементарной ячейке J?двумерной кристаллической решетки, показанной на рис. 1.14, провести отрезки прямых линий, параллельные вектору а 2 и проходящие через узлы а и |3, то они разделят вектор я, на три равные части. При трансляции ячейки 3 вдоль векторов трансляций а { и а 2 кристаллическая решетка заполнится прямыми линиями, причем все узлы кристаллической решетки окажутся на этих линиях. Аналогичную операцию можно осуществить и в трехмерной кристаллической решетке, проведя через нее систему плоскостей, причем и в этом случае все узлы трехмерной кристаллической решетки окажутся на этих плоскостях. Указанные плоскости носят название кристаллографических плоскостей решетки. Очевидно, что через кристаллическую решетку можно провести множество различных семейств кристаллографических плоскостей. Очевидно также, что чем меньше расстояние между плоскостями в семействе, тем меньшая плотность попадающих на каждую плоскость (изданного семейства плоскостей) узлов кристаллической решетки.

Кристаллографические плоскости характеризуют индексами Миллера, обозначаемыми тремя числами, заключенными в круглые скобки (hkl ). Эти числа равны количеству отрезков, на которые семейство кристаллографических плоскостей делят векторы основных трансляций. Если плоскости параллельны какому-либо вектору трансляции, то значение соответствующего индекса Миллера равно нулю. Если плоскости пересекают отрицательное направление какого-либо вектора трансляции, то соответствующему индексу присваивают отрицательное значение, ставя черточку над этим индексом. Сказанное для двумерной кристаллической решетки, с приведенными семействами плоскостей (10), (01) и (12), а также плоскостью из семейства (12), хорошо проиллюстрировано на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Кристаллографические плоскости , d - алмазная плоскость скольжения ; г - то же в плоскости рисунка .

В табл. 2 даны интернациональные символы всех 230 пространственных групп в соответствии с их принадлежностью к одной из 7 сингоний и классу точечной симметрии.

Трансляц. компоненты операций микросимметрии пространственных групп макроскопически в точечных группах не проявляются; напр., винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 группмакроскопически сходственна (гомоморфна) с одной из 32 точечных групп. Напр., на точечную группу- ттт гомоморфно отображаются 28 пространственных групп.

Обозначения Шёнфлиса пространственных групп - это обозначение соответственной точечной группы (напр., , табл. 1), к-рому сверху приписан принятый исторически порядковый номер, напр. . В международных обозначениях указывается символ решётки Браве и порождающие операции симметрии каждой группы - и т. д. Последовательность расположения пространственных групп в табл. 2 в международных обозначениях соответствует номеру (верхнему индексу) в обозначениях Шёнфлиса.

На рис. 7 дано изображение пространств. группы - Рпта согласно Интернациональным кристаллографич. таблицам. Операции (и соответствующие им элементы) симметрии каждой пространственной группы, указываемые для элементарной ячейки, действуют на всё кристаллич. пространство, всю атомную структуру кристалла и друг на друга.

Рис. 7. Изображение группы- Рпта в Интернациональных таблицах .

Если задать внутри элементарной ячейки к--н. точку х (x 1 x 2 x 3) , то операции симметрии преобразуют её в симметрично равные ей точки во всём кристаллич. пространстве; таких точек бесконечное множество. Но достаточно описать их положение в одной элементарной ячейке, и эта совокупность уже будет размножаться трансляциями решётки. Совокупность точек, выводимых из данной операциями g i группы G - х 1 , x 2 ,...,x n-1 , наз. правильной системой точек (ПСТ). На рис. 7 справа дано расположение элементов симметрии группы, слева - изображение ПСТ общего положения этой группы. Точки общего положения - это такие точки, к-рые не расположены на элементе точечной симметрии пространственной группы. Число (кратность) таких точек равно порядку группы. Точки, расположенные на элементе (или элементах) точечной симметрии, образуют ПСТ частного положения и обладают соответственной симметрией, количество их в целое число раз меньше кратности ПСТ общего положения. На рис. 7 слева кружками указаны точки общего положения, их внутри элементарной ячейки 8, символы «+» и «-», «1/2+» и «1/2-» означают соответственно координаты +z, -z, 1/2 + z, 1/2 - z. Запятые пли их отсутствие означают попарное зеркальное равенство соответствующих точек относительно плоскостей симметрии т, имеющихся в данной группе при у = 1/4 и 3/4. Если же точка попадает на плоскость т, то она этой плоскостью не удваивается, как в случае точек общего положения, и число (кратность) таких точек частного положения 4, их симметрия -m. То же имеет место при попадании точки в центры симметрии.

Для каждой пространственной группы имеются свои совокупности ПСТ. Правильная система точек общего положения для каждой группы одна. Но нек-рые из ПСТ частного положения могут оказаться одинаковыми для различных групп. В Интернациональных таблицах указаны кратность ПСТ, их симметрия и координаты и все др. характеристики каждой пространственной группы. Важность понятия ПСТ состоит в том, что в любой кристаллич. структуре, принадлежащей данной пространственной группе, атомы или центры молекул располагаются по ПСТ (одной или нескольким). При структурном анализе распределение атомов по одной или неск. ПСТ данной пространственной группы производится с учётом хим. ф-лы кристалла и данных дифракц. эксперимента, позволяет находить координаты точек частных или общих положений, в к-рых расположены атомы. Поскольку каждая ПСТ состоит из одной или кратного числа решёток Браве, то и расположение атомов можно представлять себе как совокупность «вдвинутых друг в друга» решёток Браво. Такое представление эквивалентно тому, что пространственная группа содержит в себе как подгруппу трансляц. группу Браве.

Подгруппы групп симметрии кристаллов . Если часть операции к--л. группы сама образует группу G r (g 1 ,...,g m), , то последняя наз. подгруппой первой. Напр., подгруппами точечной группы 32 (рис. 1, а) являются группа 3 и группа 2 . Также и среди пространств. групп существует иерархия подгрупп. Пространственные группы могут иметь в качестве подгрупп точечные группы (таких пространственных групп 217) и подгруппы, к-рые являются пространственными группами более низкого порядка. Соответственно существует иерархия подгрупп.

Большинство пространственных групп симметрии кристаллов различны между собой и как абстрактные группы; число абстрактных групп изоморфных 230 пространственным группам равно 219. Абстрактно равными оказываются 11 зеркально-равных (энантиоморфных) пространственных групп - одна лишь с правыми, другие с левыми винтовыми осями. Таковы, напр., P 3 1 21 и P 3 2 21. Обе эти пространственные группы гомоморфно отображаются на точечную группу 32, к к-рой принадлежит кварц, но кварц соответственно бывает правый и левый: симметрия пространственной структуры в этом случае выражается макроскопически, но точечная группа в обоих случаях та же.

Роль пространственных групп симметрии кристаллов . Пространственные группы симметрии кристаллов- основа теоретич. кристаллографии , дифракционных и иных методов определения атомной структуры кристаллов и описания кристаллич. структур.

Дифракционная картина, получаемая методом рентгенографии, нейтронографии или электронографии ,позволяет установить симметрийные и геом. характеристики обратной решётки кристалла, а следовательно и самой структуры кристалла. Так определяют точечную группу кристалла и элементарную ячейку; по характерным погасаниям (отсутствие определённых дифракционных рефлексов) определяют тип решётки Браве и принадлежность к той или иной пространственной группе. Размещение атомов в элементарной ячейке находят по совокупности интенсивностей дифракционных рефлексов.

Большую роль играют пространственные группы в кристаллохимии . Определено более 100 тыс. кристаллич. структур неорганич., органич. и биологич. соединений. Любой кристалл относится к одной из 230 пространственных групп. Оказалось, что почти все пространственные группы реализованы в мире кристаллов, хотя одни из них встречаются чаще, другие реже. Имеется статистика распространённости пространственных групп по различным видам хим. соединений. Пока не найдены среди исследованных структур лишь 4 группы: Рсс2, P4 2 cm, P4nc 1 , Р6тп . Теория, объясняющая распространённость тех пли иных пространственных групп, учитывает размеры составляющих структуру атомов, понятия плотной упаковки атомов или молекул, роль «упаковочных» элементов симметрии - плоскостей скольжения и винтовых осей.

В физике твёрдого тела используется теория представлений групп с помощью матриц и спец. ф-ций, для пространственных групп эти ф-ции периодичны. Так, в теории структурных фазовых переходов 2-го рода пространственная группа симметрии менее симметричной (низкотемпературной) фазы является подгруппой пространственной группы более симметричной фазы и фазовый переход связан с одним из неприводимых представлений пространственной группы высокосимметричной фазы. Теория представлений позволяет также решать задачи динамики кристаллической решётки , её электронной и магн. структур, ряда физ. свойств. В теоретич. кристаллографии пространственные группы позволяют развить теорию разбиения пространства на равные области, в частности полиэдрические.

Симметрия проекций, слоев и цепей . Проекции кристаллич. структур на плоскость описываются плоскими группами, их число - 17. Для описания трёхмерных объектов, периодических в 1 или 2 направлениях, в частности фрагментов структуры кристаллов, могут быть использованы группы - двумерно периодические и - одномерно периодические. Эти группы играют важную роль в изучении биологич. структур и молекул. Напр., группыописывают строение биологич. мембран, группы- цепных молекул (рис. 8, а) , палочкообразных вирусов, трубчатых кристаллов глобулярных белков (рис. 8, б) , в к-рых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах (см. Биологический кристалл ).

Рис. 8. Объекты со спиральной симметрией: а - молекула ДНК; б - трубчатый кристалл белка фосфорилазы (электронно-микроскопический снимок, увеличение 220 000) .

Структура квазикристаллов . Квазикристалля (напр., А1 86 Мn 14) имеют икосаэдрич. точечную симметрию (рис. 5), к-рая невозможна в кристаллнч. решётке. Дальний порядок в квазикристаллах - квазипериодический, описываемый на основе теории почти периодич. ф-ций. Структура квазикристаллов может быть представлена как проекция на трёхмерное пространство шестимерной периодич. кубич. решётки с осями 5-го порядка. Квазикристаллы с пятимерной симметрией в высшем измерении могут иметь 3 типа решёток Браве (примитивную, объёмноцентрированную и гранецентрированную) и 11 пространственных групп. Др. возможные типы квазикристаллов - укладки в стопку двумерных сеток атомов с осями 5-, 7-, 8-, 10-, 12-го... порядков, с периодичностью вдоль третьего перпендикулярного сеткам направления.

Обобщённая симметрия . В основе определения симметрии лежит понятие равенства (1,б) при преобразовании (1,а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Напр., распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магн. моментов (рис. 9), то «обычной», классич. симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относятся а н т и с и м м е т р и я и цветная сниметрия.

Рис. 9. Распределение магнитных моментов (стрелки) в элементарной ячейке ферримагнитного кристалла, описываемое с помощью обобщённой симметрии .

В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным х 1 , х 2 , х 3 вводится добавочная, 4-я переменная . Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (1,а) функция F может быть не только равна себе, как в (1,б), но и «антиравна» - изменит знак. Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии(шубнпковские группы).

Если добавочная переменная приобретает не два значения, а больше (возможны 3,4,6,8, ..., 48) , то возникает т. н. цветная симметрия Белова.

Так, известна 81 точечная группа и 2942 группы . Осн. приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магн. структур.

Найдены и др. группы антисимметрии (кратной и др.). Теоретически выведены и все точечные и пространственные группы четырёхмерного пространства и более высоких измерений. На основе рассмотрения симметрии (3 + К)-мерного пространства можно также описывать несоразмерные в трёх направлениях модулиров. структуры (см. Несоразмерная структура ).

Др. обобщение симметрии - симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием (рис. 10), криволинейная симметрия, статистич. симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов, жидких кристаллов и др.

Рис. 10. Фигура, обладающая симметрией подобия .

Лит.: Шубников А. В., К о п ц и к В. А., Симметрия в науке и искусстве, 2 изд., М., 1972; Федоров E.С., Симметрия и структура кристаллов, М., 1949; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, М., 1951; International tables for X-ray crystallography, v. 1 - Symmetry groups, Birmingham, 1952; Ковалев О. В., Неприводимые представления пространственных групп, К., 1961; В е й л ь Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Современная кристаллография, т. 1 - Вайнштейн Б. К., Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии, М., 1979; Г а л и у л и н Р. В., Кристаллографическая геометрия, М., 1984; International tables for crystallography, v. A - Space group symmetry, Dordrecht - , 1987. Б . К. Вайнштейн .

Доказательством закона служит невозможность существование параллелограмматической системы, состоящей из элементарных ячеек, обладающих осями симметрии 5-го и выше 6-го порядков, поскольку нельзя заполнить все пространство без остатка правильными 5-ти и 7, 8, 9 … n - угольниками.Cуть основного закона симметрии кристаллов - в кристаллах невозможны оси 5-го и выше 6-го порядков.

Оси 1 и 2-го порядка называются осями низшего порядка, 3, 4 и 6-го - осями высшего порядков.

Оси симметрии могут проходить через центры граней, через середины ребер, через вершины. На рисунке приведены оси симметрии куба. (Приложение 4)

Три оси 4 порядка проходят через центры граней; четыре оси 3 порядка являются пространственными диагоналями куба: шесть осей 2 порядка соединяют попарно середины ребер. Всего в кубе имеется 13 осей симметрии.

К элементам симметрии II рода относятся: центр симметрии (центр инверсии), плоскость симметрии (зеркальная плоскость), а также сложные элементы симметрии - зеркально-поворотные и инверсионные и инверсионные оси. (Приложение 5).

Центр симметрии (С) - это точка внутри кристалла, по обе стороны от которой на равных расстояниях встречаются одинаковые точки кристалла. Симметричное преобразование, отвечающее центру симметрии, есть отражение в точке (зеркало - не плоскость, а точка). При таком отражении изображение поворачивается не только справа налево, но и с лица на изнанку (рисунок). Белым и синим цветом изображены, соответственно, «лицевая» и «изнаночная» стороны фигуры.

Очень часто центр симметрии совпадает с центром тяжести кристалла.

В кристаллическом многограннике можно найти разные сочетания элементов симметрии - у одних мало, у других много. По симметрии, прежде всего по осям симметрии, кристаллы делятся на три категории.

к низшей - гипс, слюда, медный купорос, сегнетовая соль и др. (Приложение 8)

Каждый кристаллический многогранник обладает определенным набором элементов симметрии. Полный набор всех элементов симметрии, присущих данному кристаллу называется классом симметрии. Сколько же всего таких наборов? Их количество ограничено. Математическим путем было доказано, что в кристаллах существует 32 вида симметрии.

В структуре кристаллов к конечным преобразованиям симметрии, входящим в точечную группу симметрии, добавляются еще бесконечные симметрические преобразования.

Основное бесконечное преобразование - трансляция, т.е. беско­нечно повторяющийся перенос вдоль одной прямой на одно и тоже опре­деленное расстояние называемое периодом трансляции. Сочетание трансляций с каждым из элементов симметрии генерирует новые элементы симметрии, бесконечно повторяющиеся в пространстве. Так, совокупность совместно действующих плоскости симметрии и параллельного ей переноса на величину равную половине периода трансляции вдоль плоскости - это плоскость скользящего отражения. Симметрическое преобразование плоскостью скользящего отражения можно описать, указав, как при этом изменяются координаты произвольной точки X, Y, Z. Совокупность оси симметрии и переноса вдоль этой оси, действующих совместно дает винтовую ось симметрии. Винтовые оси в кристаллическом прост­ранстве могут быть только порядков 2,3,4 и 6. Различают левые и правые винтовые оси.

Для каждой структуры характерен ее набор элементарных трансляций или трансляционная группа, которая определяет пространственную решетку.

В зависимости от отношения величин и взаимной ориентации трех основ­ных трансляций а, в, с получаются решетки, отличающиеся друг от друга по своей симметрии. Симметрия органичивает число возможных решеток. Все кристаллические структуры описываются 14 трансляционными группами, со­ответствующими 14 решеткам Бравэ. Решеткой Бравэ называется бесконечная система точек, которая образуется трансляционным повторением одной точки.

14 решеток Бравэ отличаются друг от друга по форме элементарных ячеек и по симметрии и подразделяются на 6 сингоний (см. таблицу).

Элементарные ячейки в решетках Бравэ выбираются так, чтобы 1) их симметрия соответствовала симметрии всей решетки (точнее; она должна совпадать с симметрией голоэдрического класса той системы, к которой относится кристалл), 2) число прямых углов и равных сторон было мак­симальным и 3) объем ячейки минимальным.

В структуре кристалла решетки Вравэ могут быть вставлены одна в другую, а в узлах различных решеток могут стоять как одинаковые, так и различные атомы, как сферически симметричные, так и имеющие реальную кристаллографическую симметрию. Все типы структур описываются 230 пространственными группами симметрии, которые образуются из сочетаний элементов симметрии бесконечных структур. (Пространственной группой симметрии называется сочетание всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры).

Умножение элементов симметрии структур подчиняется теоремам 1-6. Кроме того, из-за добавления бесконечных повторений появляются новые сочетания.

Теорема 7. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии эквивалентно трансляции на параметр t=2а, где а-расстояние между плоскостями..

Теорема 7а . Любую трансляцию t можно заменить отражением в двух параллельных плоскостях, относящихся друг от друга на расстояние T/ 2.

Теорема 8. Плоскость симметрии и перпендикулярная к ней трансляция с параметром t порождают новые "вставленные" плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от нее.

Теорема 9 . Плоскость симметрии и трансляция t, составляющая с плоскостью угол , порождают плоскость скользящего отражения, параллельную порождающей и отстоящую от нее в сторону трансляции на величину(t /2), sinвеличина скольжения вдоль порожденной плоскости равнаt*cos

Теорема 10. Ось симметрии с углом поворота и перпендикулярная к ней трансляция Т порождает такую же ось симметрии, параллельную данной, обстоящую от нее на расстояние (t/2) sin() и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляцииt вее середине.

Теорема 11. и переносом t и перпендикулярная к ней трансляция t порождают винтовую ось с тем же углом и тем же переносом, параллельную данной, отстоящую от нее на(t/2) sin (/2) и расположенную на линии, перпендикулярной к трансляции t в ее середине.

Теорема 12 . Ось симметрии с углом поворота и трансляция t составляющая с ней угол , порождают винтовую ось симметрии.

Теорема 13. Винтовая ось симметрии с углом поворота и переносом t 1 и трансляция t, составляющая с осью угол порождает винтовую ось симметрии с тем же углом поворота.

Теорема 14 . Инверсионно- поворотная ось с углом поворота и перпендикулярная к ней трансляция порождают ту же инверсионно -поворотную ось, параллельную порождающей.

Теорема 15 . Инверсионно - поворотная ось с углом поворота и трансляция , составляющая с этой осью угол , порождают инверсионную ось с тем же поворотом параллельную данной.

ЗАДАЧИ

1. Записать матричное представление всех операций симметрии, вхо­дящих в точечную группу mmm.

2. Найти матричное представление и порядок группы симметрии низко­температурной модификации кварца.

3. Известна теорема Эйлера: равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось симметрии, проходящая через точку пересечения первых двух. Пользуясь матричным представлением элементов симметрии, проиллюстрировать теорему Эйлера на примере класса 4 2 2.

4. Кристалл поворачивают на 90° с последующим отражением в центре инверсии, затем поворачивают на 180° вокруг направления, перпендику­лярного оси первого поворота. Найти матричное представление опера­ции симметрии, которая приводит к тому же результату.

5. Кристалл поворачивают на 120°, затем отражают в центре инверсии. Найти матричное представление операции симметрии, которая приводит к тому же результату. В группу какого элемента симметрии входит эта операция?

Все сведения о кристаллах, необходимые для решения задач, см. в таблицах, помещенных в конце описания.

6. Используя матричное представление элементов симметрии, найти такую операцию симметрии, действие которой давало бы тот же результат, что и действие двух осей второго порядка, пересекающихся под углом 90°.

7. Найти матричное представление операции симметрии, действие которой дает тот же результат, что и действие осей второго порядка, расположенных под углом 60° друг к другу. В группу какого элемента симметрии входит эта операция?

8. Найти матричное представление и порядок точечной группы симметрии дигидрофосфата калия (КДР) для стандартного и нестандартного (4m2) выбора кристаллофизических осей координат.

9. Найти матричное представление точечной группы симметрии 6 2 2.

10. Найти матричное представление и порядок группы 6.

11. Пользуясь матричным представлением операций симметрии, проверить справедливость теоремы ЭЙЛЕРА НА ПРИМЕРЕ точечной группы 2 2 2,

12. Убедиться в справедливости теоремы Эйлера на примере осей второго порядка, располагающихся под углом 45° друг к другу.

13. Каков порядок следующих групп симметрии: m т , 2 2 2, 4 m m, 422?

14. Записать систему генераторов для группы 4/mmm.

15. На примере точечной группы симметрии 2/m проверить, выполняются ли все групповые аксиомы.

16. Используя матричное представление операций симметрии, проверить справедливость теоремы: сочетание оси четного порядка и перпендикулярной ей плоскости дает центр симметрии.

17. Доказать, что в кристаллической решетке отсутствует ось симметрии пятого порядка.

18. Чему равно число атомов в элементарной ячейке в случае а) простой, б) объемноцентрированной и в) гранецентрированной кубических решеток?

19. Чему равно число атомов в элементарной ячейке гекcагональной плотноупакованной решетки?

20. Определить отрезки, которые отсекает на осях решетки плоскость (125).

21. Найти индексы плоскостей, проходящих через узловые точки кристаллической решетки с координатами 9 10 30, если параметры решетки а=3, b =5 и с==6.

22. Даны грани (320) и (11О). Найти символ ребраих пересечения,

23. Даны два ребра и . Найти символ грани, в которой они лежат одновременно.

24. Положение плоскостей в гексагональной системе определяется с помощью четырех индексов. Найти индекс i в плоскостях (100), (010), (110) и (211) гексагональной системы.

25. Элементарная ячейка магния принадлежит к гексагональной системе и имеет параметры a=3,20 и с=5,20.Определить векторы обратной решетки.

26. Выразить углы между векторами обратной решетки через углы прямой решетки.

27. Показать, что решетка, обратная кубической объемноцентрированной, будет кубической гранецентрированной.

28. Найти векторы обратной решетки для кристалла кальцита (СаСО 3), если a =6,36 , =46°6".

29. Доказать, что расстояние между плоскостями (hkl ) решетки кристалла равно обратной величине длины вектора r*hkl из начала координат в точку hkl обратной решетки.

30. В триклинной решетке кианита (Al 2 O 3 , SiO 2) параметры a, b, c и углы , , элементарной ячейки соответственно равны 7,09; 7,72; 5,56 и; 90°55 ; 101°2; 105°44 . Определить расстояние между плоскостями (102).

31. Чему равны расстояния между плоскостями (100), (110) и (111) в кубической решетке с параметром a

32. Определить угол между плоскостями (201) и (310) в ромбической сере с параметрами решетки a=10,437 ,b =12,845 и,С. =24,369

33. Вычислить угол между плоскостями (111) и (102) тетрагонального кристалла галлия с параметрами решетки a=4,50 ,c= 7.64 8.

34. Найти угол, образуемый гранями (100) и (010) кубического кристалла.

35. Доказать, что в кубическом кристалле любое направление перпендикулярно к плоскости (hkl ) с теми же значениями индексов Миллера.

36. Определить угол между телесной диагональю и ребром куба.

37. Определить угол между двумя направлениями и в кристалле триглицинсульфата ((NH 2 CH 2 COOH) 3 *H 2 SO 4) с параметрами элементарной ячейки a=9,42,b =12,64,c=5,73 и углом моноклинности=ПО°23 .

38. Вычислить угол между двумя прямыми и в ромбической решетке медного купороса с параметрами решетки a =4,88 ,b=6,66 и. С =8,32.