График функции y a x l m. Урок1. Как построить график функции y = f(x-l), если известен график функции y = f(x) Параллельный перенос графиков функций. Преобразование графиков функций

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х , а на оси ординат - значения функции у = f (х) .

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x) .

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х 2 - 2х .

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x) , то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а ) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х 2 - 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х 2 - 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2 , отрицательные - при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2х принимает при х = 1 .

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х , у которых удовлетворяют уравнению y = f(x) . В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х 1 , х 2 , x 3 ,..., х k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x) . Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1 . Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции,как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) - заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х) , у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x) , имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x) , которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х ).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х < 0 (лежащую под осью х ) симметрично отражаем относительно оси х . В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

Пример 3 . Построить график функции y = |x 2 - 2x|.

Сначала построим график функции y = x 2 - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (1; -1), ее график пересекает ось абсцисс в точках 0 и 2. На промежутке (0; 2) фукция принимает отрицательные значения, поэтому именно эту часть графика симметрично отразим относительно оси абсцисс. На рисунке 51 построен график функции у = |х 2 -2х| , исходя из графика функции у = х 2 - 2x

График функции y = f(x) + g(x)

Рассмотрим задачу построения графика функции y = f(x) + g(x). если заданы графики функций y = f(x) и y = g(x) .

Заметим, что областью определения функции y = |f(x) + g(х)| является множество всех тех значений х, для которых определены обе функции y = f{x) и у = g(х), т. е. эта область определения представляет собой пересечение областей определения, функций f{x) и g{x).

Пусть точки (х 0 , y 1 ) и (х 0 , у 2 ) соответственно принадлежат графикам функций y = f{x) и y = g(х) , т. е. y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). Тогда точка (x0;. y1 + y2) принадлежит графику функции у = f(х) + g(х) (ибо f(х 0) + g(x 0 ) = y1 +y2 ),. причем любая точка графика функции y = f(x) + g(x) может быть получена таким образом. Следовательно, график функции у = f(х) + g(x) можно получить из графиков функций y = f(x) . и y = g(х) заменой каждой точки (х n , у 1) графика функции y = f(x) точкой (х n , y 1 + y 2), где у 2 = g(x n ), т. е. сдвигом каждой точки (х n , у 1 ) графика функции y = f(x) вдоль оси у на величину y 1 = g(х n ). При этом рассматриваются только такие точки х n для которых определены обе функции y = f(x) и y = g(x) .

Такой метод построения графика функции y = f(x) + g(х ) называется сложением графиков функций y = f(x) и y = g(x)

Пример 4 . На рисунке методом сложения графиков построен график функции
y = x + sinx .

При построении графика функции y = x + sinx мы полагали, что f(x) = x, а g(x) = sinx. Для построения графика функции выберем точки с aбциссами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значения f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx вычислим в выбранных точках и результаты поместим в таблице.

Урок «Как построить график функции у = f (x + l )+ m , если известен график функции у = f (x ).

8А класс. Учитель Бобунова В.В. МОУ СОШ №1 г.Пугачев Саратовская область

Базовый учебник

Цель урока : повторить правила построения графиков функций у=(х+l) и у=f(x)+m, если известен график функции у= f (x ); рассмотреть правило построения графика функции у= f(х+ l )+ m , если известен график функции у= f (x ); развивать умение строить графики различных функций.

Задачи:

образовательные:

научить учащихся строить график функции у =f(x+l)+m, если известен график функции у =f(x); научить применять эти способы при выполнение упражнений; совершенствовать умение строить графики функций у=f(x)+m и у=(х+l) , если известен график функции у=f(x);

р азвивающие:

развивать ИКТ-компетентность учащихся в ходе выполнения самостоятельных заданий с помощью ЭОР; развивать умение обосновывать свое решение; развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать и систематизировать;

в оспитательные:

развивать умение вести индивидуальную, групповую дискуссию;

формирование ответственности каждого за конечные результаты работы в паре, этичного поведения.

Тип урока - изложение нового материала.

Методы обучения: иллюстративно-словесный (иллюстративно-словесный и частично-поисковый).

Формы работы - индивидуальная (фронтальная, работа в парах)

Оборудование : Компьютер, мультимедийный проектор, экран, мультимедийная презентация к уроку, раздаточный материал.

Ход урока.

1. Организационный момент , проверка домашнего задания. Учитель сканирует домашнее задание одного из учеников, показывает его классу, учащиеся проверяют свои работы.
2. Индивидуальная работа .
Четырем ученикам раздаются карточки для индивидуальной работы у доски.

Карточка 1
Построить графики данных функций:
, , .

3. Актуализация знаний. Работа с графиками функций. Напишите уравнение графика функции,изображенного на рисунке (слайды1-5). При проверке задания вспомнить уже изученные правила построения графиков функций у= f (x + l ) и у=f(x)+m f(x) .

4. Объяснение нового материала.

Задание классу : на одной координатной плоскости построить штриховой линией графики следующих функций: у=х 2 , у=(х-2) 2 , у=х 2 -3.
Затем предлагается учащимся самостоятельно построить сплошной линией график функции у = (х-2) 2 -3 . Происходит обсуждение построения данного графика и ученикам предлагается сформулировать правило построения графика функции у=f(x+l)+m , если известен график функции f (x ) .
Чтобы построить график функции у= f (x + l )+ m , если известен график функции у=f(х) , надо график функции у= f (x ) сдвинуть по оси x на / l / единиц вправо, если l или влево, если l >0 , а затем сдвинуть получивший график по оси у на /m/ единиц наверх, если m >0 , вниз, если m .

Задание классу. В какую точку переместится вершина параболы, заданной уравнением:

1.у=(х+1)²-2

2. у =(х-7)²-4

3.у=4(х-2)²+8

4. у=0,5(х-3,5)²+6

Вопрос классу : «Обязательно ли строить три графика для построения графика функции у = f (x + l )+ m ? »
После обсуждения делается вывод: «Фактически графиком функции у =(х - 2) 2 - 3 является та же парабола, что служила графиком функции у = х 2 ,
только вершина параболы переместилась из начала координат в точку (2; -3).Следовательно для ее построения нужно перенести систему координат в точку (2;-3), в новой системе координат построить график функции у=х 2 .

5. Закрепление нового материала.

Фронтальная работа с полным проговариванием правила построения. Построить график функции у = 0,5(х-5) 2 -7

Самостоятельная работа(в парах).

1.Построить график функции у=2(х+3) 2 +1.

2.Построить график функции у=√х+6+4.

3. № 21.16(в)

Дополнительное задание.

4.Решите графически уравнение -3=х, используя график в упражнении №21.16(в).

5. Решите графически систему уравнений

VI . Итог урока

Ребята давайте подведем итог урока. Что же мы сегодня повторили, закрепили, узнали нового на уроке. (Учащиеся рассказывают основные моменты урока) А что вам показалось самым сложным при построении графиков?

Вы показали хорошие знания. Молодцы! Оценки …

VII .Домашнее задание. п.12,№21.7; 21.16(а);21.20(б). Дополнительное задание : построить график функции у=х 2 -4х+6. Это творческое задание, построить график квадратичной функции исходя из имеющихся знаний по преобразованиям графиков функций.

Литература.

Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 12-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2010. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.|; Под ред. А. Г. Мордковича. - 12-е изд., испр. - М. : Мнемозина, 2010.

Y = x 2yx 1 O y = (x-4) 2 y = (x+3) 2 на 4 y = x 2 на 3 y = x 2

Построить график функции y = f(x) Построить график функции y = f(x-l): на l единиц вправо, если l > 0 на – l единиц влево, если l "> 0 на – l единиц влево, если l "> 0 на – l единиц влево, если l " title="Построить график функции y = f(x) Построить график функции y = f(x-l): на l единиц вправо, если l >0 на – l единиц влево, если l "> title="Построить график функции y = f(x) Построить график функции y = f(x-l): на l единиц вправо, если l >0 на – l единиц влево, если l ">

Построить график функции y = f(x) Построить график функции y = f(x-l): на l единиц вправо, если l >0 на – l единиц влево, если l 0 на – l единиц влево, если l "> 0 на – l единиц влево, если l "> 0 на – l единиц влево, если l " title="Построить график функции y = f(x) Построить график функции y = f(x-l): на l единиц вправо, если l >0 на – l единиц влево, если l "> title="Построить график функции y = f(x) Построить график функции y = f(x-l): на l единиц вправо, если l >0 на – l единиц влево, если l ">

Напишите уравнение параболы y = (x + l) 2, изображенной на рисунке x 0 y y = (x – 2) 2 ОТВЕТ: -3

Напишите уравнение параболы y = (x + l) 2, изображенной на рисунке x 0 y y = (x + 3) 2 ОТВЕТ: -3

Напишите уравнение параболы y = (x + l) 2, изображенной на рисунке x 0 y y = (x – 4) 2 ОТВЕТ: -3

Достаточно часто при решении тех или иных задач возникает необходимость построения графиков зависимостей одних переменных от значений других, то есть графиков функций. Довольно просто выполнять построения сложных графиков? владея навыками построения более простых. Одним из таких случаев является построение графика функции y=f(x+l)+m при наличии графика функции y=f(x).

Рассмотрим примеры построения графиков функций.

Построим график функции у=(х-2) 2 -3. Для удобства построения графика разобьем весь процесс на этапы.

Вначале построим график функции у=х 2 . На предложенном видео этот график изображен сплошной красной линией.

После этого перенесем наш график параллельно оси ох на 2 единицы вправо. Полученный график соответствует функции у=(х-2) 2 . На видео он изображен зеленым цветом.

Осталось перенести промежуточный график параллельно оси оу на 3 единицы вниз, и мы получаем график нашей функции, то есть у=(х-2) 2 -3. Окончательный график на видео представлен желтой параболой.

Но в то же время возникает вопрос о целесообразности построения трех графиков при необходимости построения только одного. Ведь фактически графиком функции у=(х-2) 2 -3 является парабола у=х 2 , вершина которой просто переместилась в точку (2;-3). Поэтому рассмотрим более рациональный, с точки зрения математиков, способ построения графиков более сложных функций с использованием графиков простых.

Для построения графика функции у=(х-2) 2 -3 достаточно построить пунктиром вспомогательную прямоугольную систему координат с началом в точке (2;-3). Проведем прямые х=2 и у=-3. А уже в этой вспомогательной прямоугольной системе координат, пользуясь шаблоном функции у=х 2 , остается построить нужный график.

Иными словами, привяжем функцию у=х 2 к новой системе координат для получения нужного графика.

В следующем примере воспользуемся предложенным методом построения графика. Для этого построим график функции у=-2(х+3) 2 +1. Вначале создадим вспомогательную прямоугольную систему координат, построив прямые х=-3 и у=1 пунктиром. Начало отсчета в новой системе переместится в точку (-3;1). Остается привязать функцию у=-2х 2 к полученной системе. Подставим в уравнение функции, например, значения х=0, х=-1, х=1, х=-2 и х=2. Используем контрольные точки (0;0), (-1;-2), (1;-2), (-2;-8), (2;-8) и строим их в новой системе. Достаточно провести через полученные точки параболу, и наш график функции у=-2(х+3) 2 +1 построен.

Мы можем сказать, что, проделав весь этот путь, выработан определенный алгоритм построения графика функции y=f(x+l)+m при наличии графика функции y=f(x). Он состоит в следующем:

Вначале необходимо просто построить график функции y=f(x). Затем параллельным переносом переместить вдоль оси ох на модуль l единиц влево, если l положительно или вправо, если l отрицательно.

После этого остается параллельно перенести вдоль оси оу полученный ранее график на модуль m единиц вверх, при положительном значении m или вниз, при его отрицательном значении.

Суть второго алгоритма:

Пунктирными линиями строим прямые х=-l и у=m, получая вспомогательную систему координат с началом в точке (-l; m). Привязываем график функции y=f(x) к новой системе координат. Он и будет необходимым.

В этом видеоуроке будет рассмотрен вопрос графического представления функции y = f(x + l), при условии, что график функции y = f(x) известен заранее.

Для полноты понимания, объяснения будут сопровождаться визуальным дополнением. Для этого построим графики функций у = х 2 и у = (х + 3) 2 в одной системе координат. Первая из функций уже была рассмотрена в наших видеоуроках ранее, и мы знаем, что ее график - это парабола. Для функции у = (х + 3) 2 , подставляя значения аргумента х, рассчитываем координаты точек, по которым и строим график. Соединив точки плавной кривой, мы видим, что график являет собой параболу. Можно заметить, что этот график имеет такой же вид, что и в случае у = х 2 , однако в этом случае он перемещен влево на три единицы по оси абсцисс. Соответственно, наблюдается и смещение вершины параболы в положение (- 3; 0), а не в начале координат, как это наблюдаем у параболы равенства у = х 2 . Ось симметрии также смещена, и соответствует линии в положении х = - 3, а не х = 0, как это мы можем наблюдать в случае графика уравнения у = х 2 .

Когда мы изображаем, как демонстрирует видео, графики функций у = x 2 и у = (х - 2) 2 в одной координатной сетке, можно заметить, что второй график похож на первый с той лишь особенностью, что наблюдается смещение по оси абсцисс вправо на 2 позиции. Как это выглядит воочию, вы можете увидеть в предложенном видеоматериале.

После просмотра этого примера становится ясно, что графически решения функций данного типа происходят по тому же алгоритму.

Еще один пример, который предлагает наше видео, - это равенство у = -2 (х - 4) 2 . Ее графиком также является парабола вида y = - 2x 2 , претерпевшая сдвиг, то есть параллельный перенос вдоль оси абсцисс вправо на четыре единицы. С самим графиком вас познакомит это видео.

Исходя из изложенного выше, можно сделать следующие выводы:

1) Для того чтобы начертить график функции типа у = f(x + l), в случае если l - это положительное число, заданное условием, необходимо переместить график равенства по оси х влево на l единиц масштаба;

2) Для того, чтобы построить график функции у = f(x - l), где число l - это заданное положительное число, то нужно график функции у = f(x) просто сдвинуть вдоль оси х на l единиц масштаба вправо.

То есть, если знак числа l положительный, то смещаем в направлении убывания значений по оси абсцисс, а если отрицательный, то в сторону увеличения.

Пример 1. Используя полученные в видеоматериале знания, необходимо построить график функции y = - 3 / (x+5)

Для решения этой задачи сначала строим гиперболу для равенства y = -3/x, после этого сдвигаем полученный график вдоль оси абсцисс влево на 5 единиц масштаба. В результате чего у нас получился требуемый график - это гипербола с асимптотами х=-5 и у = 0. Сам график вы видели при просмотре предложенного видео.

Следующий пример состоит в следующем: необходимо построить график функции у = |х+2|. Суть решения данной задачи имеет такой же алгоритм, что и в предыдущем случае. Сначала строим график функции у = |х|, а затем сдвигаем его на две единицы масштаба влево.

В дополнение следует сказать, что при построении графика функции вида у = f(x + l), в случае если l - это любое число, отличительное от нуля, то есть как положительное, так и отрицательное. При решении задач функций мы рассчитывали координаты точек, по которым и строили графики, не обращая внимания на знак возле некоего числа l, которое присутствовало в наших функциях, а просто отмечали сдвиг графика в той или иной мере. Однако следует отметить, что направление сдвига все же определялось именно знаком числа l: в случае, когда значение числа l было положительным, график сдвигался влево, а в случае, когда число l было меньше нуля, график сдвигался вправо.