Графический метод решения уравнений с параметрами. Применение линейной функции в решении задач

Уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают из года в год в список заданий типа B и C на едином государственном экзамене ЕГЭ. Однако среди большого числа уравнений с параметрами есть те, которые с легкостью могут быть решены графическим способом. Рассмотрим этот метод на примере решения нескольких задач.

Найти сумму целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 2x – 3| = a имеет четыре корня.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной координатной плоскости графики функций

y = |x 2 – 2x – 3| и y = a.

График первой функции y = |x 2 – 2x – 3| будет получен из графика параболы y = x 2 – 2x – 3 путем симметричного отображения относительно оси абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика, находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.

Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x 2 – 2x – 3 является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем координаты вершины. Это можно сделать по формуле x 0 = -b/2a. Таким образом, x 0 = 2/2 = 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим полученное значение для x 0 в уравнение рассматриваемой функции. Получим, что y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).

Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат. В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x 2 – 2x – 3 = 0. Его корни и будут искомыми точками. По теореме Виета имеем x 1 = -1, x 2 = 3.

В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.

Чтобы получить график функции y = |x 2 – 2x – 3|, отобразим симметрично относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс. Полученный график изображен на рисунке 2.

График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит интервалу (0; 4).

Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Ответ: 6.

Найти среднее арифметическое целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 4|x| – 1| = a имеет шесть корней.

Начнем с построения графика функции y = |x 2 – 4|x| – 1|. Для этого воспользуемся равенством a 2 = |a| 2 и выделим полный квадрат в подмодульном выражении, написанном в правой части функции:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Для построения графика этой функции строим последовательно графики функций:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5); (Рис. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси Oy; (Рис. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая находится ниже оси x, отображается симметрично относительно оси абсцисс наверх. (Рис. 3).

Рассмотрим получившиеся рисунки:

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.

С помощью рисунка делаем вывод, что графики функций имеют шесть общих точек (уравнение имеет шесть корней), если a принадлежит интервалу (1; 5).

Это можно видеть на следующем рисунке:

Найдем среднее арифметическое целых значений параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Ответ: 3.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ОСР. «Решение уравнений с помощью графиков».
Задание:
1) Опорный конспект.
Графиком называется множество точек координатной плоскости, у которых значения x и y
связаны некоторой зависимостью и каждому значению x соответствует единственное значение y.
Графический способ ­ один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа
информации.
На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он
заключается в следующем: для решения уравнений f(x)=0 строят график функции y=f(x) и находят
абсциссы точек пересечения графика с осью Оx: эти абсциссы и являются корнями уравнения.
Алгоритм решения уравнений графическим способом
Чтобы решить графически уравнение вида f(х) = g(х), нужно:
1.Построить в одной координатной плоскости графики функции:
у = f(х) и у = g(х).
2. Найти точки пересечения этих графиков.
3. Указать абсциссу каждой из этих пересечения.
4. Записать ответ.
Довольно просто решать графически систему уравнений, так как каждое
уравнение системы на координатной плоскости представляет какую­ то
линию.
Построив графики этих уравнений и найдя координаты точек их
пересечения (если они существуют), мы получим искомое решение.
Графическое решение неравенств, сводится к отысканию таких точек x,
при которых один график лежит выше или ниже другого.
Примеры:
№ 1. Решите уравнение
x
4
5
x

точки
пересечени
я
графиков
функций
№
2.
Решите
является
рисунок
абсцисса

1
.
уравнения

5
см.
:
х

х

4
Решением
у
уи
Проверка

1
4
15


4
4
верно
Ответ
.1:

уравнение

x
3
3
x

Решением
уравнения
является
у

3

х
уи


3
х
см.
рисунок
абсцисса

.
2
точки
пересечени
я
графиков
функций
№3. Ре

1
3


Проверка
:
3


1

верно

1:

33
Ответ
.

шить уравнение
Решение: Построим графики функций
и y = x
Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).
Ответ: корней нет.
№4.Найти значение выражения х + у,если (х
;у
является решением системы уравнений.
Решение:
влево.
­параллельный перенос на 1 единицу
­ параллельный перенос на 2 единицы влево.
= ­ 1, у
=1
+ у
=0.
х
х
Ответ: 0.

№5. Решите неравенство
Ответ: х>2.
>12 ­ 1,5х. №6. Решите неравенство
. Oтвет: х>0.
№7. Решить уравнение sinx + cosx=1. Построим графики функций y=sinx u y=1­cosx.(рисунок 5) Из
графика видно, что уравнение имеет 2 решения: х=2 п,где пЄZ и х= /2+2 k,где kЄZ.
π
π
π
2
sin x(
1
cos x(
6
4
2
1
2 
2
1
1
0
x
2
4
6
2 
№8.Решить уравнение: 3x = (х­1) 2 + 3
Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:
т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

Ответ: 1.
№9.Решить неравенство: сos x 1 + 3x
Решение:
Ответ: (
;
).
№10. Решить уравнение
В нашем случае функция
возрастает при х>0, а функция y = 3 – x убывает при
всех значениях х, в том числе и при х>0, значит,
уравнение
корня. Заметим, что при х = 2 уравнение обращается
в верное равенство, так как
имеет не более одного
.
Ответ: 2 .
2)Решить задание:
1)Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный?
а)
; б)
, в) 6х =1/6, г)
.
2) Решить графическим методом уравнение
.
1
3
х







3
х
3) Решите графическим методом уравнения:
а)
б)
.
3
х
3
х
5

1
2
х

4)На рисунке изображен график функции y=f(x).
1) 1 2) 6 3) 7 4) 8
5) На каком из рисунков изображен график функции
?
у
log
x
1
2
1) у 2) у 3) у 4)
у
1 1 1
6) График какой функции изображен на рисунке?
1) у = 2х­1,5; 2) у = 2х – 2;
3) у = 2х – 3; 4) у = 2­х – 2.
7)График какой функции изображен на рисунке?

1) у = sinx; 2)
у

sin
 

x


6



; 3)
у

sin
 

x


3



; 4)
.
у

sin
x





6



8) На рисунке изображен график функций
y = f (x) и y = g (x), заданный на промежутке
[­5;6]. Укажите те значения х, для которых
выполняется неравенство g (x)
y
у 
)(xg
f (x) 1

1) [­5; 0] 2) [­5; 2]
0 1 x
3) [­2; 2] 4)
9) На рисунке изображен график функции y=f(x).
Найдите количество целых корней уравнения f(x)= 0.
1) 3 2) 4 3) 2 4) 1
)(xf
у 
10) На рисунке изображен график функции y=f(x).
Найдите количество целых корней уравнения f(x)+2= 0.
1) 3 2) 5 3) 4 4) 1

Одним из способов решения уравнений является графический способ. Он основан на построении графиков функции и определения точек их пересечения. Рассмотрим графический способ решения квадратного уравнения a*x^2+b*x+c=0.

Первый способ решения

Преобразуем уравнение a*x^2+b*x+c=0 к виду a*x^2 =-b*x-c. Строим графики двух функций y= a*x^2 (парабола) и y=-b*x-c (прямая). Ищем точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут являться решением уравнения.

Покажем на примере: решить уравнение x^2-2*x-3=0.

Преобразуем его в x^2 =2*x+3. Строим в одной системе координат графики функции y= x^2 и y=2*x+3.

Графики пересекаются в двух точках. Их абсциссы будут являться корнями нашего уравнения.

Решение по формуле

Для убедительности проверим это решение аналитическим путем. Решим квадратное уравнение по формуле:

D = 4-4*1*(-3) = 16.

X1= (2+4)/2*1 = 3.

X2 = (2-4)/2*1 = -1.

Значит, решения совпадают.

Графический способ решения уравнений имеет и свой недостаток, с помощью него не всегда можно получить точное решение уравнения. Попробуем решить уравнение x^2=3+x.

Построим в одной системе координат параболу y=x^2 и прямую y=3+x.

Опять получили похожий рисунок. Прямая и парабола пересекаются в двух точках. Но точные значения абсцисс этих точек мы сказать не можем, только лишь приближенные: x≈-1,3 x≈2,3.

Если нас устраивают ответы такой точности, то можно воспользоваться этим методом, но такое бывает редко. Обычно нужны точные решения. Поэтому графический способ используют редко, и в основном для проверки уже имеющихся решений.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема:

Графическое решение уравнений

Расцвет, 2009

- В в е д е н и е -

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Евроᴨȇ были вᴨȇрвые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Евроᴨȇ лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид , Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx , у = k x + m , у = x 2 , у = - x 2 , в 8 классе - у = v x , у = |x |, у = ax 2 + bx + c , у = k / x . В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x 3 , у = x 4 , у = x 2 n , у = x - 2 n , у = 3 vx , (x - a ) 2 + (у - b ) 2 = r 2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.

1. Какие бывают функции

График функции - это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы котоҏыҳ равны значениям аргументов, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b , где k и b - некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.

Функция обратной пропорциональности у = k / x , где k 0. График этой функции называется гиᴨȇрболой.

Функция (x - a ) 2 + (у - b ) 2 = r 2 , где а , b и r - некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а , b ).

Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c где а, b , с - некоторые числа и а 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у 2 (a - x ) = x 2 (a + x ) . Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

Уравнение (x 2 + y 2 ) 2 = a (x 2 - y 2 ) . График этого уравнения называется лемʜᴎϲкатой Бернулли.

Уравнение. График этого уравнения называется астроидой.

Кривая (x 2 y 2 - 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2 ) . Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x 3 - кубическая парабола, у = x 4 , у = 1/ x 2 .

2. Понятие уравнения, его графического решения

Уравнение - выражение, содержащее ᴨȇременную.

Решить уравнение - это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения - это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, в связи с этим метод чаще называют функционально-графическим.

Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек ᴨȇресечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.

3. Алгоритм построения графика функции

Зная график функции у = f (x ) , можно построить графики функций у = f (x + m ) , у = f (x )+ l и у = f (x + m )+ l . Все эти графики получаются из графика функции у = f (x ) с помощью преобразования параллельного ᴨȇреноса: на ¦ m ¦ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на ¦ l ¦ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y .

4. Графическое решение квадратного уравнения

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, - ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиᴨȇрболу и эллипс Аполоний Пергский , живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

Находим координаты вершины параболы А (х 0 ; у 0): х 0 =- b /2 a ;

Y 0 =ах о 2 +вх 0 +с;

Находим ось симметрии параболы (прямая х=х 0);

Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим параболу y = x 2 - 2 x - 3 . Абсциссы точек ᴨȇресечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x 2 - 2 x - 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 и y = 2 x + 3

3. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 -3 и y =2 x . Корни уравнения - абсциссы точек ᴨȇресечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнение x 2 - 2 x - 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y = (x -1) 2 и y =4 . Корни уравнения - абсциссы точек ᴨȇресечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе части уравнения x 2 - 2 x - 3 = 0 на x , получим x - 2 - 3/ x = 0 , разобьём данное уравнение на две функции: y = x - 2, y = 3/ x . Корни уравнения - абсциссы точек ᴨȇресечения прямой и гиᴨȇрболы.

5. Графическое решение уравнений стеᴨȇни n

Пример 1. Решить уравнение x 5 = 3 - 2 x .

y = x 5 , y = 3 - 2 x .

Ответ: x = 1.

Пример 2. Решить уравнение 3 v x = 10 - x .

Корнями данного уравнения является абсцисса точки ᴨȇресечения графиков двух функций: y = 3 v x , y = 10 - x .

Ответ: x = 8.

- З а к л ю ч е н и е -

Рассмотрев графики функций: у = ax 2 + bx + c , у = k / x , у = v x , у = |x |, у = x 3 , у = x 4 , у = 3 vx , я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного ᴨȇреноса относительно осей x и y .

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений стеᴨȇни n.

Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек ᴨȇресечения графиков могут быть приближёнными.

В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного ᴨȇреноса при построении их графиков.

На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.

Литература

1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.: Просвещение, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

ДАГЕСТАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

ПЕДАГОГИЧЕСКИХ КАДРОВ

КАФЕДРА ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ И ИКТ

Проект

на тему:

« Построение и п реобразования

графиков функций

в школьном курсе математики »

Рабаданова П.А.

учитель математики

МБОУ « Кочубейская СОШ»

Тарумовский район

2015 г.

1. Введение……………………………………………………………….….3

2. Глава I . Обзор литературы по теме проекта………………………….….5

3. Глава II . Эмпирическая часть:

3.1. Основные методы преобразования графиков функции……….….7

3.2. Построение графиков четной и нечетной функций…………….. 10

3.3. Построение графика обратной функции………………………... 11

3.4. Деформация (сжатие и растяжение) графиков ………………….12

3.5.Комбинация переноса, отражения и деформации………………......13

4.Задания для самостоятельного решения………………………..…...14

5.Заключение………………………………………………………………15

6. Выводы…………………………………………………………..………17

ВВЕДЕНИЕ

Преобразование графиков функции является одним из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанные с практической деятельностью. В графиках отражены изменчивость и динамичность реального мира, взаимные отношения реальных объектов и явлений.

Функциональная линия является базовой тематикой, рассматриваемая в Основном и Едином государственных экзаменах. Так же многие математические понятия рассматриваются графическими методами. Например, к вадратичная функция вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и неравенствами. Отсюда следует, что обучение учащихся построению и преобразованию графиков функции является одной из главных задач обучению математике в школе.

Исследование функции дает возможность найти об ласть определения и область значения функции, обла сти убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и др. Однако для построения графи ков многих функций можно использовать ряд методов, облегча ющие построение. Поэтому учащиеся должны иметь компетенции построения графиков по методическим схемам.

Выше сказанное определяет актуальность темы исследования.

Объектом исследования является изучение преобразование графиков функциональной линии в школьной математике.

Предмет исследования – процесс построение и преобразование графиков функции в общеобразовательной школе.

Цель исследования: образовательная - заключается в выявлении методической схемы построения и преобразования графиков функции; развивающая - развитие абстрактного, алгоритмического, логического мышления, пространственного воображения; воспитательная – воспитание графической культуры школьников, формирование навыков умственного труда.

Цели обусловили решение следующих задач:

1. Проанализировать учебно-методическую по исследуемой проблеме.

2. Выявить методические схемы преобразования графиков функции в школьном курсе математики.

3. Отобрать наиболее эффективные методы и средства построение и преобразование графиков функции в общеобразовательной школе , способствующие: осмысленному усвоению учебного материала; повышению познавательной активности учащихся; развитию их творческих способностей.

ГИПОТЕЗА исследования: формирование графических навыков в процессе изучения функций и воспитание графической культуры учащихся будет эффективным, если учащиеся владеют методической схемой построения и преобразования графиков функции в школьном курсе математики.

ГЛАВА I . ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМЕ ПРОЕКТА.

При подготовке к проекту мы изучили следующую литературу:

Сивашинский, И. Х. Теоремы и задачи по алгебре, элементарным функциям - М., 2002. - 115 с.

Гельфанд, И. М., Глаголева, Е. Г., Шноль, Э. Э. Функции и графики (основные приемы) - М., 1985. - 120 с

В.З.Зайцев, В.В. Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика- М., 2010(переиздание). - 590 с.

Кузьмин, М. К. Построение графика функции - Ж. Математика в школе. - 2003. - №5. - С. 61-62.

Шилов Г.Е. Как строить графики? - М., 1982.

Исаак Танатар. Геометрические преобразования графиков функций - МЦНМО, 2012

В отмечено, что умение с помощью графика «прочитать» поведение функции на некотором множестве находит применение не только в курсе математики, но и в любой практической деятельности человека, в которой ему приходится иметь дело с теми или иными графическими изображениями зависимостей. Поэтому учащиеся должны уметь по графику функции определить некоторые ее свойства.

В строго изложен теоретический материал преобразования графиков. Сопровождается методика иллюстрацией рисунками, различной сложности примерами и их решениями, что дает возможность углублено расширить знания и построении графиков сложных функций.

Представляет электронный учебный курс, объем и содержание которого соответствуют требованиям к курсу математики старших классов средней школы. Теоретический материал подкреплен графическими анимационными иллюстрациями, которые дают наглядные представления об изучаемой теме. Курс включает три модуля: модуль изучения теоретического материала, модуль самопроверки и модуль контроля знаний.

Из , , использованы для эмпирической части проекта методические схемы построения графиков, примеры для самостоятельной работы.

Выводы к 1 главе

Изучение учебно-методической литературы позволило:

1. Выявить методическую схему изучения, построения и преобразования графиков функции в школьном курсе математики.

2. Отобрать наиболее эффективные методы и средства построение и преобразование графиков функции в школьной математике, способствующие:

осмысленному усвоению учебного материала;

повышению познавательной активности учащихся;

развитию их творческих способностей.

3. показать, что функциональная линия оказывает существенное влияние при изучении различных понятий в математике.

Глава 2. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В этой главе мы рассмотрим основные методы преобразования графиков функций, дадим методические схемы построения различных комбинаций графиков для различных функций.

2.1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ

Перенос вдоль оси ординат

f ( x ) f ( x )+ b .

Для построения графика функции y = f ( x ) + b следу ет:

1. построить график функции y = f ( x )

2. перенести ось абсцисс на | b | единиц вверх при b >0 или на | b | еди ниц вниз при b < 0. Полученный в новой системе коор динат график является графиком функции y = f ( x ) + b .

2. Перенос вдоль оси абсцисс

f ( x ) f ( x + a ) .

y = f ( x + a ) следу ет:

3. Построение графика функции вида y = f (- x )

f (x ) f (- x ).

Для построения графика функции y = f ( - х) следует:

построить график функции y = f ( x )

отразить его отно сительно оси ординат

полученный график является графиком функции y = f ( - х).

4. Построение графика функции вида у = - f ( x )

f ( x ) - f ( x )

- f ( x ) следует:

построить график функции y = f ( x )

отразить его относительно оси абсцисс

2.2. Построение графиков четной и нечетной функций

При построении графиков четной и нечетной функции удобно пользоваться следующими свойствами:

1.График четной функции симмет ричен относительно оси ординат.

2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для построения графиков четной и нечетной функции достаточно построить только правую ветвь графика для положительных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции.

Для построения графика четной функции y = f ( x ) сле дует:

построить ветвь графика этой функции только в об ласти положительных значений аргумента х≥О.

О тразить этот ветвь относительно оси ординат

Для построения графика нечетной функции y = f ( x ) следует:

строить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (х≥0).

О тразить этот ветвь относительно начало координат в область отрицательных значений х.

2.3. Построение графика обратной функции

Как уже отмечалось, прямая и обратная функции вы ражают одну и ту же зависимость между переменными х и у, с тем только отличием, что в обратной функции эти переменные поменялись ролями, что равносильно изме нению обозначений осей координат. Поэтому график обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы I и III координатных углов, т. е. относительно прямой у = х. Таким образом, получаем следующее правило.

Для построения графика функции у = (х), обратной по отношению к функции y = f ( x ), следует построить график y = f ( x ) и отразить его относительно прямой у = х.

2.4. Деформация (сжатие и растяжение) графиков

1. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси ординат

f ( x ) A ∙ f ( x ).

Для построения графика функции y = A ∙ f ( x ) следует:

8. Сжатие (растяжение) графика вдоль оси абсцисс

f ( x )

Для построения графика функции у = f ( x ) следует:

2.5. Комбинация переноса, отражения и деформации

Очень часто при построении графиков функций при меняют комбинацию приемов .

Последовательное применение ряда таких приемов поз воляет существенно упростить построение графика ис ходной функции и нередко свести его в конце концов к построению одной из простейших элементарных функ ций. Рассмотрим, как с учетом изложенного следует строить графики функций.

Отметим, что поря док упрощения целесообразно проводить в следующей последователь ности.

Использование четности или нечетности функции.

Перенос осей.

Отражение и деформация.

Построение же графика выполняется в обратной последовательности.

Пример. Построить график функции

Построение проведем по следующим шагам:

1. построим график натурального логарифма :

2. сожмём к оси OY в 2 раза: ;
3. отобразим симметрично относительно оси OY : ;
4. сдвинем вдоль оси OX на (!!!) вправо: :

5. отобразим симметрично относительно оси OX : ;
6. сдвинем вдоль оси OY на 3 единицы вверх: :

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ и ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ

Пример 1. Построить график функции .

Сначала изобразим график синуса, его период равен :

график функции получается путём сжатия графика к оси ординат в два раза. log .

Построить график функции у = 2 cos х.

Построить график функции y = sin x .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Во время работы над проектной работой были проанализирована различная учебно-методическая литература по данной проблеме. Результаты исследования позволили выявить наиболее характерные положительные стороны изучения , построения и преобразования графиков функции в школьном курсе математики

Основной целью проекта является формирование у учащихся умений и навыков в чтении и выполнении чертежей, в формировании у них рациональных приемов самостоятельной деятельности.

Необходимость усовершенствования графического образования в целом диктуется не только современными требованиями производства, но и ролью графики в развитии технического мышления и познавательных способностей учащихся. Способность человека к переработке графической информации является одним из показателей его умственного развития. Поэтому графическая подготовка должна стать неотъемлемым элементом общеобразовательной подготовки.

Выводы

Таким образом, разработанный проект « Построение и преобразование графиков функции», посвященный одному из центральных понятий математики - функциональной зависимости, ориентирован на систематизацию и расширение знаний учащихся. Изучение конкретных способов преобразования графиков функций проводится аналитико-графическим путем по строгим методическим схемам. Собранный материал можно использовать на уроках и для самоподготовки учащихся. Для проведения занятий могут использоваться разнообразные формы и методы организации и обучения.