Гиперболоид вращения. Гиперболоиды

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ

(краткая информация)

Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения. Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями. Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям. Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом. Все меридианы поверхности вращения конгруэнтны.

Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку. Геометрическая часть определителя поверхности вращения состоит из оси вращения и образующей линии.

Поверхности, образуемые вращением прямой линии:

1. - цилиндр вращенияобразуется вращением прямой, параллельной оси;

2. - конус вращения образуется вращением прямой, пересекающей ось;

3. - однополостный гиперболоид вращения образуется вращением прямой, скрещивающейся с осью;

Параллелями поверхности являются окружности.

Меридианом поверхности является гипербола.

Все перечисленные линейчатые поверхности вращения являются поверхностями второго порядка.

Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей

1. Сфераобразуется вращением окружности вокруг ее диаметра.

2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.

3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.

4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси (эта поверхность образуется также вращением прямой: п. а-1).

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид:

где a, b, c – положительные числа.

Он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью xOy. На этой плоскости z = 0, поэтому

Это уравнение на плоскости xOy задает эллипс с полуосями a и b (рис. 1). Найдем линию пересечения с плоскостью yOz. На этой плоскости x = 0, поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости yOz, где действительная полуось равна b, а мнимая полуось равна c. Построим эту гиперболу.

Сечение плоскостью xOz также является гиперболой с уравнением

Нарисуем и эту гиперболу, но чтобы не перегружать чертеж дополнительными линиями, не будем изображать ее асимптоты и уберем асимптоты в сечении плоскостью yOz.

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями z = ± h, h > 0.

Рис. 1. Сечение однополостного гиперболоида

Уравнения этих линий:

Первое уравнение преобразуем к виду

Это уравнение является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости xOy, с коэффициентом подобия и полуосями a 1 и b 1 . Нарисуем полученные сечения (рис. 2).

Рис. 2. Изображение однополостного гиперболоида с помощью сечений

Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением прямой линии, скрещивающейся с мнимой осью, вокруг которой эта линия вращается. В этом случае получается пространственная фигура (рис. 3), поверхность которой складывается из последовательных положений прямой при вращении.

Рис. 3. Однополостный гиперболоид вращения, полученный вращением прямой линии, скрещивающейся с осью вращения

Меридианом такой поверхности служит гипербола. Пространство внутри этой фигуры вращения будет действительным, а снаружи – мнимым. Плоскость, перпендикулярная мнимой оси и рассекающая однополостной гиперболоид в его минимальном сечении, называется фокальной плоскостью.

Привычное для глаза изображение однополостного гиперболоида приведено на рис. 6.4.

Если в уравнении a=b, то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси Oz (рис. 4).

Рис. 4. Однополостный гиперболоид вращения,

Однополостным гиперболоидом

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Oxyz каноническим уравнением

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1.

В уравнениях (4.48), (4.49) a,b,c - положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем a\geqslant b .

Начало координат называют центром гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его вершинами. Это четыре точки (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) однополостного гиперболоида (4.48) и две точки (0,0,\pm c) двуполостного гиперболоида (4.49). Три отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов. Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям Ox,\,Oy , называются поперечными осями гиперболоидов, а ось, принадлежащая оси аппликат Oz , - продольной осью гиперболоидов. Числа a,\,b,\,c , равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов.

Плоские сечения однополостного гиперболоида

Подставляя z=0 в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью Oxy . Это уравнение в плоскости Oxy определяет эллипс, который называется горловым. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями являются гиперболами. Они называются главными гиперболами. Например, при x=0 получаем главную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{z^2}=1 , а при y=0 - главную гиперболу \frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1

Рассмотрим теперь сечение однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy . Подставляя z=h , где h - произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{h^2}{c^2}.

При любом значении параметра h уравнение определяет эллипс с полуосями a"=a\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}, b"=b\sqrt{1+\frac{h^2}{c^2}}, . Следовательно, сечение однополостного гиперболоида плоскостью z=h представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины - на главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостями z=h при различных значениях параметра h , горловой эллипс (при h=0 ) является эллипсом с наименьшими полуосями.

Таким образом, однополостный гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.42,а)

Плоские сечения двуполостного гиперболоида

Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями Oyz и Oxz представляют собой гиперболы (главные гиперболы).

Рассмотрим теперь сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy . Подставляя z=h , где h - произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.49), получаем

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{h^2}{c^2}=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{h^2}{c^2}-1.

При |h|c получаем уравнение эллипса \frac{x^2}{(a")^2}+\frac{y^2}{(b")^2}=1 с полуосями a"=a\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1}, b"=b\sqrt{\frac{h^2}{c^2}-1} . Следовательно, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью z=h при |h|>c представляет собой эллипс с центром на оси аппликат, вершины которого лежат на главных гиперболах.

Таким образом, двуполостный гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,а).

Гиперболоиды вращения

Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны (a=b) , называется гиперболоидом вращения . Такой гиперболоид является поверхностью вращения, а его сечения плоскостями z=h (для двуполостного гиперболоида при |h|>c ) представляют собой окружности с центрами на оси аппликат. Однополостный или двуполостный гиперболоиды можно получить, вращая вокруг оси Oz гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 (рис.4.42,б) или сопряженную гиперболу \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1 (рис.4.43,б) соответственно. Заметим, что уравнение последней можно записать в форме -\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 .

Гиперболоид, у которого поперечные оси различны (a\ne b) , называется трехосным (или общим).

Замечания 4.9

1. Плоскости х x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm c определяют в пространстве основной прямоугольный параллелепипед , вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,в). Две грани (z=\pm c) параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах.

2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым эллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке касания. Например, подставляя x=\pm a в уравнение (4.48), получаем уравнение \frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0 двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).

3. Однополостный гиперболоид является линейчатой поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,в). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендикулярной).

4. Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси - осями симметрии гиперболоида, координатные плоскости - плоскостями симметрии гиперболоида.

В самом деле, если точка M(x,y,z) принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами (\pm x,\pm y,\pm z) при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

вокруг той оси, которая ее пересекает (вокруг действительной оси).

Для того, чтобы перейти от уравнения линии (43) к уравнению поверхности вращения, заменимх на
, получим уравнение двуполостного гиперболоида вращения

.

В результате сжатия этой поверхности получается поверхность, задаваемая уравнением

. (44)

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида (44), называется двуполостным гиперболоидом. Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две несвязанные между собой части («полости») поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывает всю поверхность (рис. 60).

Асимптотический конус для двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного (рис. 61).

Рассмотрим теперь пересечения двуполостного гиперболоида (44) с плоскостями, параллельными координатным.

Плоскость z = h при |h | < c пересекает поверхность (44) по мнимым эллипсам, при |h | > c по вещественным. Если а = b , то эти эллипсы являются окружностями, а гиперболоид – есть гиперболоид вращения. При |h | = c получаем

,

т. е. пару сопряженных прямых с одной вещественной точкой (0; 0; с ) (или (0; 0; –с ) соответственно).

Плоскости x = α и y = β пересекают гиперболоид (44) по гиперболам

и
.

8. эллиптический параболоид

При вращении параболы x 2 = 2pz вокруг ее оси симметрии получим поверхность с уравнением

x 2 + y 2 = 2pz ,

называемуюпараболоидом вращения . Сжатие к плоскости у = 0 переводит параболоид вращения в поверхность с уравнением

. (45)

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом.

Внешний вид эллиптического параболоида ясен из способа его построения. Он весь расположен по одну сторону от плоскости z = 0, в полупространстве z > 0 (рис. 62). Сечения плоскостями z = h , h > 0 имеют уравнение:

и являются эллипсами.

Сечения эллиптического параболоида (45) плоскостями у = 0 и х = 0 являются параболами

x 2 = 2a 2 z , y = 0; (46)

y 2 = 2b 2 z , x = 0. (47)

Эти параболы называют главными параболами эллиптического параболоида, при этом параболу (46) условно назовем неподвижной , а параболу (47) – подвижной .

Можно дать следующее очень наглядное построение эллиптического параболоида посредством скольжения одной параболы вдоль другой (система координат предполагается прямоугольной).

Возьмем сечение параболоида (45) плоскостью x = α, получим в этой плоскости, содержащей систему координат O 0 e 2 e 3 , где O 0 = (α, 0, 0), кривую, уравнение которой будет

, x = α

y 2 = 2b 2 (z – γ), x = α, (48)

где
.

Перейдем в плоскости x = α от системы координат O e 2 e 3 к системе координат O ′e 2 e 3 , где O ′ = (α, 0, γ) есть точка пересечения плоскости x = α с неподвижной параболой x 2 = 2a 2 z , y = 0.

Перенеся начало координат системы O 0 e 2 e 3 в точку O ′, произвели следующее преобразование координат:

y = y ′, z = z ′ + γ.

В результате этого преобразования уравнение (48) получает вид:

y ′ 2 = 2pz ′, x = α.

Кривая (48) – это та же «подвижная» парабола, но перенесенная параллельно себе в плоскость x = α. Этот перенос можно осуществить следующим образом. Вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе из точки О в точку O ′, а сама парабола при этом перемещается, как твердое тело, оставаясь все время в плоскости, параллельной плоскости yOz .

Этот результат можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Эллиптический параболоид есть поверхность, описываемая при движении одной («подвижной») параболы (47) вдоль другой, неподвижной (46), так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными самим себе, причем предполагается, что обе параболы (подвижная и неподвижная) обращены вогнутостью в одну и ту же сторону (а именно в положительную сторону оси Oz ).

Заметим, что эллиптический параболоид прямолинейных образующих не имеет. Действительно, прямая, параллельная плоскости xOy , может пересекать лишь сечение параболоида некоторой плоскостью z = h , а это сечение, как уже было отмечено, представляет собой эллипс. И значит, у прямой не более двух общих точек с параболоидом.

Если же прямая не параллельна плоскости xOy , то ее полупрямая лежит в полупространстве z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.

9. гиперболический параболоид

По аналогии с уравнением (45) можем записать уравнение

. (49)

Поверхность, которая имеет в некоторой системе координат уравнение вида (49) назовем гиперболическим параболоидом .

Исследуем внешний вид гиперболического параболоида с помощью сечений (рис. 63). Сечение плоскостью z = h представляет собой гиперболу, которая в этой плоскости имеет уравнение:

или
.

Для больших значений h полуоси гиперболы
и
велики и уменьшаются с уменьшениемh . При этом ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e 1 .

При h = 0 гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

=>

,
.

Если h < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору e 2 . Полуоси растут с увеличением |h |. Отношение полуосей для всех гипербол при одном знаке h одно и то же. Поэтому, если мы нарисуем все сечения гиперболического параболоида на одной и той же плоскости, то получим семейство всех гипербол, имеющих в качестве асимптот пару пересекающихся прямых с уравнениями

,
.

Сечения гиперболического параболоида с плоскостями у = 0 и х = 0 являются двумя «главными параболами»:

x 2 = 2a 2 z , y = 0 (50)

– неподвижная парабола, и

y 2 = –2b 2 z , x = 0 (51)

– подвижная парабола.

Эти параболы обращены вогнутостью в противоположные стороны: неподвижная – «вверх» (т.е. в положительном направлении оси Oz ), а подвижная – «вниз» (т.е. в отрицательном направлении оси Oz ). Сечение в плоскости x = α имеет в системе координат O 0 e 2 e 3 , где O 0 = (α, 0, 0), уравнение

, x = α

y 2 = –2b 2 (z – z 0), x = α, (52)

где
.

После перенесения начала координат в точку O ′ = (α, 0, z 0), уравнение (51) примет вид:

y ′ 2 = –2b 2 z ′, x = α,

где y = y ′, z = z ′ + z 0 . Последнее уравнение показывает, что кривая (52) – это та же подвижная парабола (51), только сдвинутая параллельно себе при скольжении ее вершины вдоль неподвижной параболы из точки О в O ′.

Отсюда вытекает следующее утверждение. Гиперболический параболоид, заданный (в прямоугольной системе координат) уравнением (49) есть поверхность, описываемая параболой y 2 = –2b 2 z , х = 0 при ее движении вдоль неподвижной параболы (50) так, что вершина подвижной параболы скользит по неподвижной параболе, а плоскость и ось подвижной параболы остаются все время параллельными себе самим, при этом обе параболы вогнутостью все время обращены в противоположные стороны: неподвижная – вогнутостью «вверх», т. е. в положительном направлении оси Oz , а подвижная – «вниз».

Из этого построения видно, что гиперболический параболоид имеет вид седла.

Гиперболический параболоид, как и однополостной гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных образующих (рис. 64). Через каждую точку гиперболического параболоида проходят две прямые, которые всеми точками лежат на этой плоскости.

Найдем уравнения прямолинейных образующих. Перепишем уравнение (49) в виде

.

Рассмотрим прямую, заданную как пересечение двух плоскостей

(53)

Очевидно, что любая точка, удовлетворяющая уравнениям (53), удовлетворяет и уравнению (49), которое является произведением уравнений (53)

.

А это значит, что каждая точка прямой (53) принадлежит гиперболическому параболоиду (49).

Аналогично рассматривается прямая

Прямая (54) также всеми своими точками лежит на гиперболическом параболоиде.

Определение. Однополостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (3.32) называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

Из (3.32) следует, что координатные плоскости являются осями симметрии, а начало координат  центром симметрии однополостного гиперболоида.

Установим вид поверхности, задаваемой уравнением (3.32). Рассмотрим линии пересечения однополостного гиперболоида плоскостями
. Уравнение проекции такой линии на плоскость
получается из уравнения (3.32), если положить в нем
. Имеем:

. (3.33)

Так как всегда
, то можно ввести обозначения

,
, (3.34)

с учетом которых соотношение (3.33) принимает вид

, (3.35)

т. е. проекция линии пересечения представляет собой эллипс с полуосями и. Наименьший из рассматриваемых эллипсов с полуосями
и
получается при сечении однополостного гиперболоида плоскостью
, т. е. координатной плоскостью
. Этот эллипс называетсягорловым .

С увеличением размеры эллипса неограниченно увеличиваются. Таким образом, однополостный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из одной полости и подобную трубке, неограниченно расширяющейся в положительном и отрицательном направлениях по оси аппликат.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида плоскостями
и
, параллельными координатным плоскостям
и
. Проекции этих сечений на соответствующие координатные плоскости являются линиями, задаваемыми уравнениями:

и
. (3.36)

Более подробно остановимся на сечении однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной координатной плоскости
.

Если
, то в проекции на плоскость
получается пара вещественных пересекающихся прямых, определяемых уравнениями
и проходящих через начало координат.

Если
, то в проекции имеем гиперболу с фокусами на оси
(
) или
(
), причем полуоси этих гипербол увеличивается с удалением от начала координат.

Аналогичная картина получается и при сечении плоскостями, параллельными плоскости
. В сечении однополостного гиперболоида координатными плоскостями
и
получаем гиперболы

и
. (3.37)

Величины ,,называются полуосями однополостного гиперболоида.

3.12. Двуполостный гиперболоид

Определение. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность второго порядка, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением

. (3.38)

Уравнение (3.38) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Из этого уравнения следует, что координатные плоскости являются его осями симметрии, а начало координат  его центром симметрии.

Рассмотрим сечение двуполостного гиперболоида, определяемого уравнением (3.38), плоскостями
. Уравнение проекции линии пересечения на плоскость
получается из (3.38), если в нем положить
. Уравнение этой проекции имеет вид

. (3.39)

Если
, то (3.39) является уравнением мнимого эллипса и точек пересечения двуполостного гиперболоида с плоскостью
нет, т. е. в слое между плоскостями
и
не содержится точек рассматриваемой поверхности. Если
, то линия (3.39) вырождается в точки, т. е. плоскости
касаются двуполостного гиперболоида в точках
и
. Если
, то
и можно ввести обозначения

,
. (3.40)

Тогда уравнение (3.39) принимает вид

, (3.41)

т. е. проекция на плоскость
линии пересечения двуполостного гиперболоида и плоскости
представляет собой эллипс с полуосями, которые определяются равенствами (3.40), поэтому и сама линия пересечения является эллипсом. При удалении от начала координат вдоль оси
происходит увеличение полуосей эллипса.

В силу симметрии относительно плоскости
рассматриваемая поверхность содержит две полости.

При сечении плоскостями
, параллельными
, получаются кривые, которые при проектировании на эту плоскость определяются уравнениями

. (3.42)

Кривые, задаваемые уравнениями (3.42), являются гиперболами, фокусы которых расположены на оси
, причем с увеличением абсолютной величиныувеличивается вещественная полуось гиперболы.

Аналогичные результаты получаются при сечении двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатной плоскости
.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить двуполостный гиперболоид как поверхность, состоящую из двух отдельных «полостей», каждая из которых имеет вид выпуклой чаши.

Величины ,,называются полуосями двуполостного гиперболоида.