Гравитационная постоянная Земли и заданное значение большой полуоси =2.6560031*10^7 эллиптической орбиты в метрах определяют период обращения ИСЗ по орбите T в секундах (Т/3600 - в часах):

4.30778135*10^4.

Из равенства центростремительного ускорения ускорению силы тяготения легко получаются расчетные соотношения для основных параметров орбиты:

линейная скорость

Рассчитаем линейную скорость ИСЗ

3.873956985*10^3.

Максимальное расстояние прямой радиовидимости (между судном и ИСЗ вблизи линии горизонта) определяется по формуле

2.578457546*10^7 ,

где - радиус шаровой модели Земли.

Показать, что прямая радиовидимость одного ИСЗ имеет место с точек земной поверхности, образующих шаровой сегмент, максимальная геоцентрическая угловая ширина которого равна

Построение эскиза орбит и положения спутников

Эскиз соответствует картине расположения орбит, Земли и НИСЗ, видимой наблюдателем с "бесконечно" удаленной точки северного конца оси вращения Земли. Все НИСЗ и орбиты находятся на сфере радиуса а. На эскизе a=6-8см. Радиус Земли примерно в 4 раза меньше. Экваториальное сечение орбит и Земли - на рис.2. Нижний конец вертикальной прямой, проходящей через центр Земли пусть направлен на точку весеннего равноденствия (созвездие Овна). Нижняя точка пересечения этой вертикали и внешней окружности пусть представляет восходящий узел первой (нулевой) орбиты (тогда верхняя точка пересечения - нисходящий узел).

Для эскиза примем, что угол наклонения орбит (между плоскостью орбиты и экваториальной плоскостью) равен 60; тогда все кратчайшие расстояния от точек орбиты до оси узлов при проектировании на экваториальную плоскость "сократятся" вдвое, поскольку cos(60)=0.5.

Для определения проекции спутника, которому соответствует фаза u (угол между радиусами-векторами ИСЗ и восходящего угла), достаточно отложить с помощью транспортира этот угол на внешней окружности (в направлении движения ИСЗ) и из полученной точки опустить перпендикуляр на ось узлов; средняя точка этого перпендикуляра и есть искомая проекция. Задаваясь достаточным количеством точек, получим проекцию орбиты - эллипс, малая полуось которого вдвое меньше радиуса a круговой орбиты. В "Глонасс" и "Навстар" используется соответственно 3 и 6 орбит; угол между соседними восходящими углами соответственно 120 и 60.

Внешняя окружность делится на шесть одинаковых частей (в "Навстар" имеет место совмещение пар осей узлов).

В учебных примерах примем, что в "Глонасс" 24 ИСЗ, в "Навстар" 18 ИСЗ, соответственно по 8 и 3 на орбите. Номер орбиты соответствует номеру восходящего узла, отмечаемого против часовой стрелки. Если номера ИСЗ обозначить через "м" (причем соответственно 1м24 и 1м18), то номер орбиты равен наибольшему целому числу в частном от деления м-1 на соответственно 8 и 3.

Угловой промежуток между ИСЗ одинаков - соответственно 45 и 120 эскиз строится на момент, когда фаза первого ИСЗ на первой орбите равна н10. При переходе с орбиты на соседнюю орбиту вводится дополнительная фаза соответственно 15 и 40.На орбите положение ИСЗ можно указать крупной точкой, от которой проводится стрелка, соответствующая направлению движения. Возле этих точек указывается номер ИСЗ; номер подчеркивается, если ИСЗ находится над экваториальной плоскостью.

Законы Кеплера

Законы Кеплера - три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных Иоганном Кеплером на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом /→ 0, где,,

Массы планеты и Солнца соответственно.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов):

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При, и, следовательно, эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». Это предполагает, что ускорение a имеет форму.

Вспомним, что в полярных координатах:

В координатной форме запишем:

Подставляя и во второе уравнение, получим

которое упрощается

После интегрирования запишем выражение

для некоторой константы, которая является удельным угловым моментом ().Пусть

Уравнение движения в направлении становится равным

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с

расстоянием как

где G - универсальная гравитационная константа и M - масса звезды.

В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

для произвольных констант интегрирования e и θ0.

Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим:

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (закон площадей):

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Применительное к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера

По определению угловой момент L точечной частицы с массой m и скоростью v записывается в виде:

где - радиус-вектор частицы аимпульс частицы. Площадь, заметаемая радиус-вектором r за времяdt из геометрических соображений равна

где представляет собой угол между направлениями r иv .

По определению

В результате мы имеем

Продифференцируем обе части уравнения по времени^

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что L , а следовательно и

пропорциональная ей скорость заметания площади - константа.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)^

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

где T1 иT2 - периоды обращения двух планет вокруг Солнца, аa1 иa2 - длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен - в действительности в него входит и масса планеты/

где M - масса Солнца, аm1 иm2 - массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Параметры орбиты в плоскости:

В небесной механике это траектория небесного тела в гравитационном поле другого тела, обладающего значительно большей массой (планеты, кометы, астероида в поле звезды). В прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с центром масс, траектория может иметь форму конического сечения (окружности, эллипса, параболы или гиперболы). При этом его фокус совпадает с центром масс системы.

Кеплеровы орбиты

Долгое время считалось, что планеты должны иметь круговую орбиту. После долгих и безуспешных попыток подобрать круговую орбиту для Марса, Кеплер отверг данное утверждение и, впоследствии, используя данные измерений, сделанных Тихо Браге, сформулировал три закона (см. Законы Кеплера), описывающих орбитальное движение тел.

Кеплеровыми элементами орбиты являются:

фокальный параметр, большая полуось, радиус перицентра, радиус апоцентра - определяют размер орбиты,

эксцентриситет (е) - определяет форму орбиты,

наклонение орбиты (i),

долгота восходящего узла () - определяет положение плоскости орбиты небесного тела в пространстве,

аргумент перицентра () - задаёт ориентацию аппарата в плоскости орбиты (часто задают направление на перицентр),

момент прохождения небесного тела через перицентр (To) - задаёт привязку по времени.

Эти элементы однозначно определяют орбиту независимо от её формы (эллиптической, параболической или гиперболической). Основной координатной плоскостью может быть плоскость эклиптики, плоскость галактики, плоскость земного экватора и т. д. Тогда элементы орбиты задаются относительно выбранной плоскости.

Параметры орбиты

С этой силой мы тоже сталкиваемся практически постоянно, поскольку Земля является вращающейся системой отсчета, и стоит нам начать перемещаться по ее поверхности, как появляется F K . Но так как скорость нашего перемещения и угловая скорость вращения Земли сравнительно невелики, физически мы ее не ощущаем.

Сила Кориолиса также обусловливает очень интересные физические эффекты.

ü При свободном падении тел F K заставляет тело отклоняться к востоку от линии отвеса. Эта сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на полюсах.

ü Летящий снаряд также испытывает отклонения, обусловленные кориолисовыми силами инерции. При выстреле из орудия, направленного на север, снаряд будет отклоняться к востоку в северном полушарии и к западу – в южном. При стрельбе вдоль меридиана на юг направления отклонения будут противоположными. При стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Земле, если выстрел произведен в направлении на запад, и поднимать его кверху; если выстрел произведен в восточном направлении.

ü Этот эффект приводит к тому, что у рек вымывается всегда правый берег в северном полушарии и левый берег – в южном. Эти же причины объясняют неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении.

ü Движение воздушных масс в атмосфере подвергается воздействию силы Кориолиса и поэтому всегда превращается в атмосферные вихри, которые вращаются в направлении по и против часовой стрелки, в зависимости от того, в каком полушарии (северном или южном) движется данная воздушная масса и каково давление в зоне этого атмосферного вихря. Циклоны, антициклоны, ураганы, тайфуны – это все вихревые движения воздух в атмосфере Земли.

ü Действием силы Кориолиса объясняется и возникновение таких ветров, как пассаты. Пасса́т (от исп. viento de pasada - ветер, благоприятствующий переезду, передвижению) - ветер, дующий между тропиками круглый год, в Северном полушарии с северо-восточного, в Южном - с юго-восточного направления, отделяясь друг от друга безветренной полосой. Вследствие действия солнечных лучей в экваториальной полосе нижние слои атмосферы, сильнее нагреваясь, поднимаются вверх и стремятся по направлению к полюсам, между тем как внизу приходят новые более холодные потоки воздуха с севера и с юга; вследствие суточного вращения Земли согласно силе Кориолиса эти течения воздуха принимают в Северном полушарии направление в сторону юго-запада (северо-восточный пассат), а в Южном полушарии - направление на северо-запад (юго-восточный пассат).

Параметры орбиты

Любая орбита полностью характеризуется так называемы­ми кеплеровскими элементами, определяющими ориентацию плоскости орбиты в пространстве, ее размеры и форму, а так­же либо положение некоторой точки на орбите, через которую проходит КА в заданный момент времени, либо момент времени прохождения его через эту заданную точку.

Рисунок 3.1. Элементы орбиты ИСЗ:

i - наклонение орбиты; а - большая полуось орбиты; Ω - долгота восходящего узла;

ω - угловое расстояние перигея от восходящего узла; 1 - направление на точку весен­него равноденствия; 2 - центр орбиты; 3 - линия узлов; 4- нисходящий узел; 5 - Зем­ля;

6- перигей орбиты (точка орбиты, ближайшая к поверхности Земли); 7 - плоскость ор­биты; 8 -плоскость экватора Земли; 9 - восходящий узел; 10 - фокус орбиты;

11 - апогей орбиты (точка орбиты, наиболее удаленная от поверхности Земли)

Такими элементами (параметрами) орбиты (рис. 3.1) являются: наклонение i , долгота восходящего узла Ω, угловое расстояние перигея от восходящего узла ω, большая полуось а, эксцентриситет е (отношение расстояния между центром орбиты и ее фокусом к большой полуоси) и момент прохожде­ния через перигей Т. Элементы i и Ω характеризуют положение плоскости орбиты (ее наклон по отношению к плоскости эквато­ра и ориентацию по отношению к постоянному направлению в пространстве), элемент ω – положение орбиты (ее ориентацию) в плоскости ее расположения, элементы а и е - размеры, форму (окружность, эллипс, парабола, гипербола) и период обращения (время, в течение которого совершается полный оборот вокруг центрального тела в невозмущенном движении), элемент Т - положение тела, находящегося на орбите, в начальный момент времени.

Когда ИСЗ движется по эллиптической орбите, высота его над поверхностью Земли h изменяется. Если высота апогея и перигея одинаковы, орбита является круговой, и высота спутника над поверхнос­тью Земли все время остается постоянной. Степень вытянутости орбиты может быть охарактеризована ее эксцентриситетом. Эксцентриситет – большая полуось орбиты, перигейное и апогейное расстояния связаны между собой соотношениями

Из этих соотношений следует, что большая полуось равна среднему расстоянию спутника от центра Земли