Делимость чисел. Основные свойства делимости чисел (1ч).

Делимость - способность одного числа делиться на другое.

Пусть a и b – натуральные числа и a больше или равно b. Говорят, что a нацело делится на b, если существует натуральное число c, при умножении которого на b получается a

I. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ.

1) ДЕЛИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

ЗАДАЧА. Делится ли произведение 369 * 555 на 37?

Число 555 делится на 37, т.к. 37 * 15 = 555, ТОГДА 369 * 555 = 369 (15 * 37) = (369 * 15) 37, т.е. число 369 * 555 делится на 37.

СВОЙСТВО I (признак делимости произведения).

Если одно из двух (или более чисел) делится на некоторое число, то и произведение этих чисел делится на это число.

СВОЙСТВО II. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое число делится на третье.

УПРАЖНЕНИЕ.

Не выполняя вычислений, укажите произведения, значения которых делятся на 5:

28 *25; 73 * 50; 34 * 12; 33 * 25; 36 * 7; 94 * 18; 13 * 45 * 8; 5 * 7 * 11.

Свойство II позволяет сделать два вывода:

1) Если число a делится на число b, то число a делится на каждый делитель числа b.

2) Если число a не делится хотя бы на один делитель числа b, то число a не делится на число b.

ПРИМЕРЫ.

1) Если число 612 делится на 12, то оно делится на любой из делителей этого числа: 1; 2; 3; 4; 6; 12.

2) Если число 725 не делится на 3, то оно не будет делиться ни на одно число, кратное 3: 6; 9; 12; 15; 18; 21 и т.д.

3) Нечетное число не имеет четных делителей.

На вопрос, как разделить произведение на число, отвечает следующее правило.

ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЧИСЛО. Чтобы разделить произведение двух или нескольких чисел на заданное число, нужно на это число разделить только один множитель, а остальные оставить без изменения и затем выполнить умножение.

НАПРИМЕР:

1) (125*450):25 = (125:25)*450 = 5*450 = 2250;

2) (24*5*17):12 = (24:12)*5*17 = 2*5*17 = 170.

УПРАЖНЕНИЕ.

Раздели на 9 произведения:

28*9*35; 18*752*8000; 76*512*360; 155*810*34; 4500*7*398; 83*63000*98.

2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ И РАЗНОСТИ.

ЗАДАЧА. Разделить число 7248 на 12.

Число 7200 делится на 12, потому что 7200 = 12*600; 48 тоже делится на 12, потому что 48 = 12*4. Из этого следует, что 7248 делится на 12, потому что на основании распределительного закона умножения можно записать:

7248 = 7200 + 48 = 12*600 + 12*4 = 12*(600 + 4) = 12*604.

Значит, 7248: 12 = 7200: 12 + 48: 12 = 600 + 4 = 604.

ЗАДАЧА. Разделить на 7 число 1323.

Рассуждая аналогично предыдущим рассуждениям, получаем:

1323 = 1400 – 77 = 7*200 – 7*11 = 7*(200 -11) = 7* 189.

Значит, 1323: 7 = 1400:7 – 77:7 = 200 – 11 = 189.
2) ДЕЛИМОСТЬ СУММЫ НА ЧИСЛО (РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО).
Приведенные решения позволяют сделать несколько выводов.

СВОЙСТВО I (признак делимости суммы). Если каждое слагаемое суммы делится на заданное число, то и вся сумма делится на это число.

СВОЙСТВО II (признак делимости разности). Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на заданное число, то и разность делится на это число.

ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ СУММЫ НА ЧИСЛО. Чтобы сумму двух или нескольких слагаемых разделить на заданное число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

ПРАВИЛО ДЕЛЕНИЯ РАЗНОСТИ НА ЧИСЛО. Чтобы разность разделить на заданное число, нужно на это число разделить и уменьшаемое, и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

ЗАМЕЧАНИЕ.Если более одного слагаемого суммы не делятся на заданное число, то сумма может делиться и не делиться на это число.

УПРАЖНЕНИЕ.

Укажите выражения, которые кратны 7:

28+35; 44+12; 25+35*2; 14+23; 7*15+42; 12*63+8*19.

Для закрепления материала решить следующие задания.

1) Объясните, почему следующие произведения делятся на 12:

12*48; 12*120; 120*51; 24*17; 11*36; 13*48.

2) Не вычисляя произведения, установите, делится ли оно на заданное число:

а) 508*12 на 3;

б) 85*3719 на 5;

в) 2510*74 на 37;

г) 45*26*36 на 15;

д) 210*29 на 3 и на 29;

е)3800*44*18 на 11, 100 и 9?

3)Подберите три значения x так, чтобы произведение: а) 3x делилось на 5;

б) 12x делилось на 7; в) 9x делилось на 6;

г) 8x делилось на 14.

4)Представляя число в виде суммы, докажите, что:

а) 123123 делится на 123;

б)111333 делится на 111.

2.Задания для самостоятельного решения.
Задание 1. Используя свойства делимости и данные о делимости на число к каждого слагаемого, определите, делится ли на к сумма или произведение.

1 число	2 число	3 число	Сумма	Произведение
д	д	д
н	д	д
д	н	д
д	д	н
н	н	д
н	д	н
д	н	н
н	н	н

Решение.

1 число	2 число	3 число	Сумма	Произведение
д	д	д	д	д
н	д	д	н	д
д	н	д	н	д
д	д	н	н	д
н	н	д	Может делиться, может не делиться	д
н	д	н	Может делиться, может не делиться	д
д	н	н	Может делиться, может не делиться	д
н	н	н	Может делиться, может не делиться	н

Задание 2. Придумайте по два примера на каждое свойство делимости.
Задание 3. Укажите, какие из следующих утверждений ложные.

А) Если слагаемые не делятся на какое-то число, то и сумма не делится на это число.

Б) Если произведение двух чисел делится на какое-либо число, то хотя бы один из множителей делится на это число.

В) Если множители не делятся на какое-нибудь число, то и произведение не делится на это число.

Г) Если разность делится на какое-нибудь число, то и уменьшаемое, и вычитаемое делится на это число.

Решение.

А) Ложное. Пример: 7+3 = 10; 7 и 3 не делятся на 5, а 10 делится на 5.

Б) Ложное. Пример: 6  10 = 60; 60 делится на 15, а ни 6, ни 10 не делятся.

В) Ложное. Пример: 6  10 = 60; ни 6, ни 10 не делятся на 15, а 60 делится на 15.

Г) Ложное. Пример: 23 - 21 = 2. Разность 2 делится на 2, а 23 и 21 на 2 не делятся.

1. 
   Простые и составные числа (7ч.)

Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,

6 = 2 3, 9 = 3 3, 30 = 2 15 = 3 10,

в то время как другие, например,

не могут быть разложены на множители подобным образом. Давайте вспомним, что вообще, когда число

c = a b (1.1)

является произведением двух чисел a и b , то мы называем а и b множителями или делителями числа с . Каждое число имеет тривиальное разложение на множители

с = 1 с = с 1. (1.2)

Соответственно мы называем числа 1 и с тривиальными делителями числа с .

Любое число с > 1, у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным . Если число с имеет только тривиальное разложение на множители (1.2), то оно называется простым . Среди первых 100 чисел простыми являются следующие 25 чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Все остальные числа, кроме 1, являются составными. Мы можем сформулировать следующее утверждение:

Теорема 1.1. Любое целое число с> 1 является, либо простым, либо имеет простой множитель.

Доказательство. Если с не является простым, числом, то у него есть наименьший нетривиальный множитель р . Тогда р – простое число, так как если бы р – было составным, то число с имело бы ещё меньший множитель.

Теперь мы подошли к нашей первой важной задаче в теории чисел: как определить, является ли произвольное число простым или нет, и в случае, если оно составное, то как найти какойлибо его нетривиальный делитель?

Первое, что может прийти в голову, – это попытаться разделить данное число с на все числа, меньшие его. Но надо признать, что этот способ мало удовлетворителен. Согласно теореме 2.1.1 достаточно делить на все простые числа, меньшие √с . Но мы можем значительно упростить задачу, заметив, что при разложении на множители (1.1) оба множителя а и b не могут быть больше, чем c , так как в противном случае мы получили бы

ab > √с √с ,

что невозможно. Таким образом, чтобы узнать, имеет ли число с делитель, достаточно проверить, делится ли число с на простые числа, не превосходящие – √с.

Пример 1. Если с = 91, то √с = 9….; проверив простые числа 2, 3, 5, 7, находим, что 91 =7 13.

Пример 2. Если с =1973, то находим, что √с = 44…. Так как ни одно из простых чисел до 43 не делит с , то это число является простым.

Очевидно, что для больших чисел этот метод может быть очень трудоемким. Однако здесь, как и при многих других вычислениях в теории чисел, можно использовать современные методы. Довольно просто запрограммировать на ЭВМ деление данного числа с на все целые числа до √с и печатание тех из них, которые не имеют остатка, т. е. тех, которые делят с .

Другим очень простым методом является применение таблиц простых чисел, т. е. использование простых чисел уже найденных другими. За последние 200 лет было составлено и издано много таблиц простых чисел. Наиболее обширной из них является таблица Д. X. Лемера, содержащая все простые числа до 10 000 000.

Система задач 3.1.

1. Какие из следующих чисел являются простыми: а) год вашего рождения; б) текущий год; в) номер вашего дома.

2. Найдите простое число, следующее за простым числом 1973.

3. Заметим, что числа от 90 до 96 включительно являются семью последовательными составными числами; найдите девять последовательных составных чисел.

4. Биографическая миниатюра. Д. X. Лемер.

Отношение делимости и его свойства

Делимость натуральных чисел

Как известно, вычитание и деление на множестве натуральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и b решается просто - достаточно установить (по записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие важные свойства чисел; познакомимся с некоторыми из них.

В начальных курсах математики делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2, 3, 5 и другие.

Вообще знания о делимости натуральных чисел расширяют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах доказательства, о свойствах отношений и др.

Отношение делимости и его свойства

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a - bq.

В этом случае число b называют делителем числа а, а число а - кратным числа b.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8.

В том случае, когда а делится на b, пишут: а b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».

Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5-делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят на 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.

Теорема 1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если a b, тo b≤a.

Доказательство. Так как а b, то существует такое q N, что a=bq и, значит, a-b = bq-b = b· (q- 1). Поскольку а N, то q≥l. Тогда b· (q- 1) ≥0 и, следовательно, b≤a.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно . Назовем, например, все делители числа 36. Они образуют конечное множество {1, 2, 3,4, 6,9, 12, 18, 36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое натуральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Например, число 13 - простое, поскольку у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1, 2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство . Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 N, то, по определению отношения делимости, а а.

Теорема 3. Отношение делимости антисимметрично, т.е.

если a b и а≠b, то .

Доказательство . Предположим противное, т.е. что b а. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию a b и а≠b. Тогда, по той же теореме, b≤а.

Неравенства а ≤b и b ≤а будут справедливы лишь тогда, когда а=b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и поэтому если a b и а≠b, то .

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если a b и b с, то а с.

Доказательство . Так как a b, то существует такое натуральное число q, что a - bq, а так как b с, то существует такое натуральное число р, что b= ср. Но тогда имеем: a=bq = (cp)q = c(pq). Число pq - натуральное. Значит, по определению отношения делимости, а с.

Теорема 5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а 1 , а 2 , ... , а n делится на натуральное число b, то и их сумма а 1 +а 2+ ...+ а n делится на это число.

Доказательство . Так как а 1 b, то существует такое натуральное число q 1 , что а 1= bq 1 . Так как a 2 b, то существует такое натуральное число q 2 , что а 2 = bq 2 . Продолжая рассуждения, получим, что если а n b, то существует такое натуральное число q n , что а n = bq n . Эти равенства позволяют преобразовать сумму а 1 +а 2 + ... + а n в сумму вида bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q 1 + q 2 + ... + q n обозначим буквой q. Тогда а 1 + а 2 + ... + a n = b(g 1 + q 2 + ... + q n)= bq, т.е. сумма а 1 + а 2 + ... + а n оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а 1 + а 2 + ... + a n делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что сумма 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа a 1 и а 2 делятся на b и а 1 > а 2 , то их разность а 1 - а 2 делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведение вида ах, где х N, делится на b.

Доказательство . Так как а b, то существует такое натуральное число q, что а = bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах = (bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x – b(qx) и, значит, ах = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости ах b, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b.

Например, произведение 24 – 976 - 305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся сумма на число b не делится.

Доказательство . Пусть s = а 1 + а 2 + ... + a n + с и известно,

что а 1 b, а 2 b ... a n b, но . Докажем, что тогда .

Предположим противное, т.е. пусть s b. Преобразуем сумму s к виду с = s - (а 1 + а 2 + ... + a n). Так как s b по предположению, (а 1 + а 2 + ... + a n) b согласно признаку делимости суммы, то по теореме о делимости разности с b. Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, .

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так как 34 2, 376 2,124 2, но .

Теорема 9. Если в произведении ab множитель а делится на натуральное число m, а множитель b делится на натуральное число n, то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10. Если произведение ас делится на произведение bс, причем с - натуральное число, то и я делится на b.

Доказательство . Так как ас делится на bс, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а =bq, т.е. а b.

Признаки делимости

Рассмотренные в п. 88 свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3,4, 5, 9.

Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления.

Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 , где а n , a n-1 ,..., а 1 , принимают значения 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а n ≠ 0 и а 0 принимает значения 0,2,4,6,8. Докажем, что тогда х 2.

Так как 10 2, то 10 2 2, 10 3 2, ..., 10 n 2 и, значит, (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. По условию а 0 тоже делится на 2, и поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 2. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, число х делится на 2.

Докажем обратное: если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2,4, 6, 8.

Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10+а в таком виде:

а о = х-(а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10). Но тогда, по теореме о делимости разности, а о 2, поскольку х 2 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 2. Чтобы однозначное число а 0 делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Теорема 12 (признак делимости на 5). Для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Доказательство этого признака аналогично доказательству признака делимости на 2.

Теорема 13 (признак делимости на 4). Для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Доказательство . Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 и две последние цифры в этой записи образуют число, которое делится на 4. Докажем, что тогда х 4.

Так как 100 4, то (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10) 4. По условию, а 1 ·10 + а 0 (это и есть запись двузначного числа) также делится на 4. Поэтому число х можно рассматривать как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Следовательно, согласно признаку делимости суммы, и само число х делится на 4.

Докажем обратное, т.е. если число х делится на 4, то двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, тоже делится на 4.

Запишем равенство х = а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 1 ·10 + а 0 в таком виде: а 1 ·10 + а о = х- (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2). Так как х 4 и (а n ·10 n + a n-1 ·10 n-1 + ... + а 2 ·10 2) 4, то по теореме о делимости разности (а 1 ·10 + а о) 4 Но выражение а 1 ·10 + а 0 есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Приведем пример, подтверждающий справедливость свойства деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число. Покажем, что равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное. Сначала вычислим значение выражения из левой части равенства. Так как 18+36=54 , то (18+36):6=54:6 . Из таблицы умножения находим 54:6=9 (смотрите раздел теории деление при помощи таблицы умножения). Переходим к вычислению значения выражения 18:6+36:6 . Из таблицы умножения имеем 18:6=3 и 36:6=6 , поэтому 18:6+36:6=3+6=9 . Следовательно, равенство (18+36):6=18:6+36:6 верное.

Еще следует обратить внимание на тот факт, что это свойство, а также сочетательное свойство сложения натуральных чисел позволяют выполнять деление суммы трех и большего количества натуральных чисел на данное натуральное число. Например, частное (14+8+4+2):2 равно сумме частных следующего вида 14:2+8:2+4:2+2:2 .

Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число.

Аналогично предыдущему свойству формулируется свойство деления разности двух натуральных чисел на данное натуральное число: разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа .

С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a-b):c=a:c-b:c , где a , b и c – такие натуральные числа, что a больше или равно b , а также и a и b можно разделить на c .

В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45-25):5=45:5-25:5 . Так как 45-25=20 (при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45-25):5=20:5 . По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4 . Теперь вычислим значение выражения 45:5-25:5 , стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45:5=9 и 25:5=5 , тогда 45:5-25:5=9-5=4 . Следовательно, равенство (45-25):5=45:5-25:5 верно.

Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число.

Если увидеть связь между делением и умножением , то будет видно и свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, равное одному из множителей. Его формулировка такова: результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю . Приведем буквенный вид этого свойства деления: (a·b):a=b или (a·b):b=a , где a и b – некоторые натуральные числа.

Например, если разделить произведение чисел 2 и 8 на 2 , то получим 8 , а (3·7):7=3 .

Теперь будем считать, что делитель не равен ни одному из множителей, образующих делимое. Сформулируем свойство деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число для этих случаев. При этом будем считать, что хотя бы один из множителей можно разделить на данное натуральное число. Итак, разделить произведение двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель .

Озвученное свойство, мягко говоря, не очевидно. Но если вспомнить, что умножение натуральных чисел по сути является сложением некоторого количества равных слагаемых (об этом написано в разделе теории смысл умножения натуральных чисел), то рассматриваемое свойство следует из .

Запишем это свойство с помощью букв. Пусть a , b и c – натуральные числа. Тогда, если a можно разделить на c , то справедливо равенство (a·b):c=(a:c)·b ; если b можно разделить на c , то справедливо равенство (a·b):c=a·(b:c) ; а если и a , и b можно разделить на c , то имеют место оба равенства одновременно, то есть, (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) .

К примеру, в силу рассмотренного свойства деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число справедливы равенства (8·6):2=(8:2)·6 и (8·6):2=8·(6:2) , которые можно записать в виде двойного равенства вида (8·6):2=(8:2)·6=8·(6:2) .

Свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел.

Давайте разберем следующую ситуацию. Пусть нужно поровну разделить a призов между участниками b команд по c человек в каждой команде (будем считать, что натуральные числа a , b и c таковы, что указанное деление возможно провести). Как это можно сделать? Рассмотрим два случая.

• Во-первых, можно узнать общее количество участников (для этого нужно вычислить произведение b·c ), после чего провести деление всех a призов на всех b·c участников. Математически этому процессу соответствует a:(b·c) .
• Во-вторых, a призов можно разделить на b команд, после чего полученное количество призов в каждой команде (оно будет равно частному a:b ) разделить на c участников. Математически этот процесс описывается выражением (a:b):c .

Понятно, что и при первом и при втором варианте деления, каждый участник получит одно и то же количество призов. То есть, будет справедливо равенство вида a:(b·c)=(a:b):c , которое представляет собой буквенную запись свойства деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Следует заметить, что в силу переместительного свойства умножения натуральных чисел полученное равенство можно записать в виде a:(b·c)=(a:c):b .

Осталось лишь привести формулировку рассматриваемого свойства деления: разделить натуральное число на произведение – это все равно что разделить это число на один из множителей, после чего полученное частное разделить на другой множитель .

Приведем пример. Покажем справедливость равенства 18:(2·3)=(18:2):3 , что будет подтверждать свойство деления натурального числа на произведение двух натуральных чисел. Так как 2·3=6 , то частное 18:(2·3) равно 18:6=3 . Теперь вычислим значение выражения (18:2):3 . Из таблицы умножения находим, что 18:2=9 , а 9:3=3 , тогда (18:2):3=3 . Следовательно, 18:(2·3)=(18:2):3 .

Свойство деления нуля на натуральное число.

Мы приняли условность, что число нуль (напомним, что нуль не относится к натуральным числам) означает отсутствие чего-либо. Таким образом, деление нуля на натуральное число – это есть деление «ничего» на несколько частей. Очевидно, что в каждой из полученных частей также будет «ничто», то есть нуль. Итак, 0:a=0 , где a – любое натуральное число.

Полученное выражение представляет собой буквенную запись свойства деления нуля на натуральное число, которое формулируется так: результатом деления нуля на произвольное натуральное число является нуль .

К примеру, 0:105=0 , а частное от деления нуля на 300 553 тоже равно нулю.

Натуральное число делить на нуль нельзя.

Почему же натуральное число нельзя делить на нуль? Давайте разберемся с этим.

Предположим, что некоторое натуральное число a можно разделить на нуль, и результатом деления является другое натуральное число b , то есть, справедливо равенство a:0=b . Если вспомнить о связи деления с умножением, то записанное равенство a:0=b означает справедливость равенства b·0=a . Однако свойство умножения натурального числа и нуля утверждает, что b·0=0 . Сопоставление двух последних равенств указывает на то, что a=0 , чего быть не может, так как мы сказали, что a – некоторое натуральное число. Таким образом, наше предположение о возможности деления натурального числа на нуль приводит к противоречию.

Итак, натуральное число нельзя делить на нуль .

Список литературы.

• Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
• Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.

Тема урока: Делимость суммы и произведения.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний.

Цели урока:

1. Предметные: Расширить знания учащихся о простейших элементах теории делимости натуральных чисел; показать способы использования в вычислениях свойства делимости суммы и произведения натуральных чисел.

2. Метапредметные: развитие умений учащегося проводить несложные доказательные рассуждения в ходе исследования; развитие умений учащихся организовывать сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, работать индивидуально, в группах, аргументировать и отстаивать свое мнение.

3. Личностные: Способствовать развитию коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками при групповой работе; содействовать формированию устойчивого интереса к предмету; развивать личностные качества: ответственность, целеустремленность.

приёмы и методы:

Рефлективные приёмы;

Приёмы создания ситуации успеха и индивидуального выбора;

Методы самодиагностики;

Частично-поисковый метод;

Работа с учебником.

Формы работы учащихся:

Индивидуальная

Работа в парах

Фронтальная.

Планируемые результаты:

Учащиеся узнают свойства делимости суммы и произведения;

Приобретение навыков у учащихся к использованию в вычислениях свойств делимости суммы и произведения.

Применяемые образовательные технологии:

Системно-деятельностный подход;

Технология проблемного обучения.

Ход урока

1. Мотивация к учебной деятельности.

Здравствуйте, товарищи кадеты.

Ребята, сегодня наш урок мне хотелось бы начать с немного смешного, но на мой взгляд, очень поучительного фрагмента мультипликационного фильма моего детства «Вовка в тридевятом царстве»

Посмотрите, пожалуйста, его очень внимательно. (Просмотр и обсуждение фрагмента мультфильма).

На что рассчитывал Вовка в начале? (Что работу за него выполнят «Двое из ларца»)

Что из этого вышло?(Они все перепутали, и Вовке все равно пришлось делать все самому)

А почему Вовка остался голодный?

Благодаря чему он смог сделать корыто для старухи?

Как вы думаете, сможет Вовка построить избу? Почему вы в этом уверены?

Я с вами абсолютно согласна. Никто за вас не выполнит вашу работу, а от ее качества будет зависеть результат. Если захотеть, то научиться можно всему.

Сегодня у нас урок открытия новых знаний. И я желаю вам успехов в их поиске, в этом вам обязательно помогут накопленные вами хоть небольшие но все же очень важные знания!

2. Актуализация знаний и пробное учебное действие.

А) устный счет(лесенка)

Чтобы вам работалось на протяжении всего урока легко, давайте выполним небольшую разминку для мозга.

У вас на парте в файле с заданиями есть карточки, на которых изображена лесенка. (Слайд 1) Найдите их. (по вариантам). Подпишите. Вам необходимо будет за 2 минуты подняться по ступенькам лестницы как можно выше, записывая на каждой ступени результат вычисления.

Время вышло, заканчиваете. Обменяйтесь карточками.

Проверьте результат друг друга по образцу на слайде (Слайд 2)

Если задание выполнено полностью и без ошибок, поставьте «пятерку»

Верните карточки.

Поднимите руку, у кого «Пятерка». Молодцы!

А кто допустил ошибки, задумайтесь почему?

Есть только две причины, назовите мне их сами. (невнимательность, незнание таб. Умножения)

Это еще раз говорит о том, что нужно быть более внимательными, а у кого возникли проблемы с таблицей умножения, повторите дома ее еще раз.

Б) Теперь нам предстоит вспомнить некоторые понятия, которые будем использовать на нашем уроке. Предлагаю для этого разгадать кроссворд. Он находится у вас в файлах. Работаем в парах. Даю вам 3 минуты.

Как называется результат умножения?

Как называются числа, которые складывают?

Как называется число, на которое делят?

Как называются числа, которые умножают?

Как называется результат сложения?

Как называется число, у которого больше двух делителей?

Как называется число, у которого два делителя?

Проверьте свои ответы. (Слайд 3)

На какие вопросы вы не смогли ответить?

Давайте мы еще раз повторим определения этих понятий.

Какое определение можно дать понятию по вертикали?

А сейчас откройте тетради и поставьте на полях «!» на против задания, с которым вы дома справились легко и быстро, а «?», если задание вызвало затруднение, к этим заданиям мы вернемся на следующем уроке.

Запишите число и классная работа.

Выполните следующее задание: (Слайд 4)

В) 1. Выясните является ли число 4 делителем произведения: (3мин)

2. Выясните является ли число 3 делителем суммы:

3. Выявление причины затруднения.

Что вы можете сказать о произведениях?

О суммах?

Как вы это выяснили?

Может кто-то использовал другой способ, и смог ответить на вопрос, не выполняя вычислений? (нет)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Так какую цель мы с вами поставим перед собой сегодня на уроке?

(научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число) (Слайд 5)

Тема нашего урока: «Свойства делимости произведения и суммы» (Слайд 6)

Эти свойства вам предстоит сформулировать самостоятельно, и доказать, что они работают на практике.

Физкультминутка.

Потрудились – отдохнем,

Встанем, глубоко вздохнем.

Руки в стороны, вперед,

Влево, вправо поворот.

Три наклона, прямо встать.

Руки вниз и вверх поднять.

Руки плавно опустили,

Всем улыбки подарили.

Объединитесь в группы по 4 человека.

Не забывайте о правилах работы в группе.

Ответьте письменно на вопросы, находящиеся на ваших карточках и сделайте вывод.

Все справились с заданием?

Какую закономерность вы увидели для суммы, какой вывод вы можете сделать?(1 и 2 группы)

Сформулируйте свойство делимости суммы.

Хорошо, какая закономерность прослеживается для произведения? (3 и 4 группы)

Сформулируйте свойство делимости произведения.

5. Реализация построенного проекта

А теперь вернемся к заданию на слайде и проверим верны ли наши предположения. (да)

Итак, мы с вами сформулировали свойства делимости суммы и произведения. Проверим правильность сформулированных нами свойств. Откройте учебник на стр.102.

Ну что вы были правы?(да)

6. Первичное закрепление.

Нам осталось только научиться использовать свойства делимости суммы и произведения.

Учебник (стр.104):

№ 350,357-устно

№ 358(в,г)-доска и тетрадь

№ 359,360(а,б)- дополнительно

Хорошо, молодцы.

А теперь еще раз повторим свойства делимости, которые вы сегодня сами открыли, расскажите их друг другу.

7. Рефлексия деятельности на уроке.

Наш урок подходит к концу, давайте подведем итоги.

Какую цель вы перед собой ставили? (научиться определять без вычислений делится ли сумма или произведение на некоторое число)

Как вы считаете, достигли вы цели?(Да)

А теперь возьмите в файле карточки для самооценки, подпишите их и оцените свою деятельность на уроке.

8.Домашнее задание:

№ 356(а), 358(а,б), 360(в,г)

Ребята, вы сегодня все без исключения очень плодотворно потрудились, спасибо вам за вашу работу.

Закончить урок я хочу словами вьетнамской народной пословицы: «Узнать можно лишь тогда, когда учишься; дойти можно лишь тогда, когда идешь». Не забывайте об этом.

Кто получил оценки за устный счет, принесите дневники. А кто выполнил дополнительное задание, подойдите ко мне с тетрадями.