Наиболее простым способом обобщения статистического материала является построение рядов. Результатом сводки статистического исследования могут быть ряды распределения.

После определения группировочного признака, количества групп и интервалов группировки данные сводки и группировки представляются в виде рядов распределения и оформляются в виде статистических таблиц.

Ряд распределния является одним из видов группировок.

Рядом распределения в статистике называется упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по какому-либо одному признаку: по качественному или количественному.

1. Виды рядов распределения

В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:

атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественными признакам;

вариационными называют ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака.

Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов. В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются. Дискретная варианта - выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд. Во втором столбце содержится количество конкретных вариант, выраженное через частоты или частости:

частоты - это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака; сумма всех частот должна быть равна численности единиц всей совокупности;

частости - это частоты выраженные в процентах к итогу; сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.

Вариационный ряд характеризуется двумя элементами: вариантой (Х) и частотой (f). Варианта – это отдельное значение признака отдельной единицы или группы совокупности. Число, показывающее, сколько раз встречается то или иное значение признака, называется частотой. Если частота выражена относительным числом, то она называется частостью.

Вариационный ряд может быть:

интервальным, когда определены границы «от» и «до», интервальные ряды распределения можно представить графически в виде гистограммы;

дискретным, когда изучаемый признак характеризуется определенным числом.

1. Графическое изображение рядов распределения

Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.

Ряды распределения изображаются в виде:

полигона;

гистограммы;

кумуляты;

При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) - частоты или частости.

Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).

Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты.

Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат - накопленные частоты или частости.

Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака - на оси ординат.

Разновидностью кумуляты является кривая концентрации или график Лоренца. Для построения кривой концентрации на обе оси прямоугольной системы координат наносится масштабная шкала в процентах от 0 до 100. При этом на оси абсцисс указывают накопленные частости, а на оси ординат - накопленные значения доли (в процентах) по объему признака.

Предположим, что в результате измерений параметров исследуемых объектов имеется статистическая совокупность, представляющая собой множество значений СВ Х, полученное в результате измерений(наблюдений).

Построение гистограммы осуществляется в следующем порядке.

1. Весь диапазон измерений СВ () делится на интервалы и подсчитывается количество значений , приходящееся на каждый -й интервал. Это число делится на общее количество измерений (изделий) и определяется частота, соответствующая данному интервалу.

Сумма частот всех разрядов очевидно должна быть равна единице.

2. Строится таблица 1.1 , в которой приведены интервалы в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты. Эта таблица называется статистическим рядом .

Таблица 1.1

Статистический ряд значений СВ

Интервал,			…		…
Количество значений			…		…
Частота,			…		…

Здесь -обозначение i-го интервала; - его границы; k- число интервалов.

При группировке наблюденных значений СВ по интервалам может возникнуть ситуация, при которой значение попадает на границу интервала. В этом случае встает вопрос о том, к какому разряду отнести это значение. Рекомендуется считать данное значение принадлежащим в равной мере обоим интервалам и прибавлять к числам того и другого интервала по 0,5.

3. Определение числа интервалов.

Число интервалов, на которые следует группировать статистический ряд, не должно быть слишком большим, поскольку в этом случае ряд распределения становится невыразительным, и частоты в нем обнаруживают незакономерные колебания. С другой стороны оно не должно быть слишком малым, так как при малом числе интервалов свойства распределения описываются статистическим рядом слишком грубо.

Практика показывает, что в большинстве случаев рационально выбирать число интервалов в пределах 10¸20. Чем больше и однороднее статистический материал, тем большее количество интервалов можно выбирать при составлении статистического ряда.

Для определения количества интервалов можно также использовать эмпирические формулы, предлагаемые различными авторами. В работе в качестве таких формул предлагается использовать следующие выражения

Эти выражения получены для наиболее часто встречающихся на практике распределений с эксцессом, находящимся в пределах от 1,8 до 6, то есть от равномерного до распределения Лапласа.

Длины интервалов могут быть как одинаковыми, так и различными. Очевидно, что проще их брать одинаковыми. Однако, при оформлении данных о СВ, распределенных слишком неравномерно, иногда бывает удобно выбирать в области наибольшей плотности распределения интервалы более узкие, чем в области малой плотности.

4. Оформление гистограммы графически.

Статистический ряд оформляется графически в виде так называемой гистограммы (рис.1.1). Она строится следующим образом. По оси абсцисс откладываются интервалы, а на каждом из интервалов как основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного интервала. Для построения гистограммы нужно частоту каждого интервала разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. В случае равных по длине интервалов высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь ее равна единице.

Очевидно, что при увеличении числа опытов можно выбирать все более мелкие интервалы, и при этом верх гистограммы будет все более приближаться к кривой, ограничивающей площадь, равную единице. Эта кривая представляет собой график функции плотности распределения вероятности f(x) (дифференциальная функция распределения для непрерывных СВ).

5. Статистическая функция распределения.

Пользуясь данными статистического ряда, можно построить и статистическую(эмпирическую) функцию распределения СВ Х. Для этого из ряда берутся точки x i границ интервалов и соответствующие им суммы частот p i , приходящиеся на прямоугольники гистограммы, лежащие левее этих точек. Эти частоты и их суммы обозначают как F(x i). Тогда получим систему выражений, определяющих точки статистической функции распределения. Соединяя их ломаной линией или плавной кривой, получим приближенный график статистической функции распределения (интегральной функции распределения для непрерывных СВ) F(x) (рис.1.2).

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем х 1 наблюдалось п 1 раз, х 2 - п 2 раз, х к - п к раз и - объем выборки. Наблюдаемые значения х 1 называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом .

Число наблюдений варианты называют частотой, а ее отношение к объему выборки - относительной частотой .

Определение. Статистическим (эмпирическим) законом распределения выборки, или просто статистическим распределением выборки называют последовательность вариант и соответствующих им частот п i или относительных частот .

Статистическое распределение выборки удобно представлять в форме таблицы распределения частот, называемой статистическим дискретным рядом распределения:

(сумма всех относительных частот равна единице ).

Пример 1 . При измерениях в однородных группах обследуемых получены следующие выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72,74 (частота пульса). Составить по этим результатам статистический ряд распределения частот и относительных частот.

Решение. 1) Статистический ряд распределения частот:

Контроль: 0,1 + 0,2 + 0,4 + 0,1 + 0,2 = 1.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты х 2 , а на оси ординат - соответствующие им частоты п i . Точки соединяют отрезками и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки, которой соединяют точки . Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты х i , а на оси ординат соответствующие им частоты w i . Точки соединяют отрезками и получают полигон относительных частот

Пример 2. Постройте полигон частот и полигон относительных частот по данным примера 1.

Решение: Используя дискретный статистический ряд распределения, составленный в примере 1 построим полигон частот и полигон относительных частот:

2. Статистический интервальный ряд распределения. Гистограмма .

Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интерисующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно (или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

1. R(размах) = X max -X min

2. k- число групп

3. (формула Стерджеса)

4. a = x min , b = x max

Полученную группировку удобно представить в форме частотной таблицы, которая носит название статистический интервальный ряд распределения:

Интервалы группировки			...
Частоты			...

Аналогическую таблицу можно образовать, заменяя частоты n i относительными частотами.

Особую форму группировки данных представляют так называемые статистические ряды, или числовые значения признака, расположенного в определенном порядке. В зависимости от того, какие признаки изучаются, статистические ряды делят на атрибутивные, вариационные, ряды динамики, регрессии, ряды ранжированных значений признаков и ряды накопленных частот. Наиболее часто в психологии используются вариационные ряды, ряды регрессии и ряды ранжированных значений признаков.

Вариационным рядом распределения называют двойной ряд чисел, показывающий, каким образом числовые значения признака связаны с их повторяемостью в данной выборке. Например, психолог провел тестирование интеллекта по тесту Векслера у 25 школьников, и сырые баллы по второму субтесту оказались следующими: 6, 9, 5, 7, 10, 8, 9, 10, 8, 11, 9, 12, 9, 8, 10, 11, 9, 10, 8, 10, 7, 9, 10, 9, 11. Как видим, некоторые цифры попадаются в данном ряду по несколько раз. Следовательно, учитывая число повторений, данные ряд можно представить в более удобной, компактной форме:

Это и есть вариационный ряд. Числа, показывающие, сколько раз отдельные варианты встречаются в данной совокупности, называются частотами, или весами, вариант. Они обозначаются строчной буквой латинского алфавита.f i и имеют индекс “i”, соответствующий номеру переменной в вариационном ряду.

Процентное представление частот полезно в тех случаях, когда приходится сравнивать вариационные ряды, сильно различающиеся по объемам. Например, при тестировании школьной готовности детей города, поселка городского типа и села были обследованы выборки детей численностью 1000, 300 и 100 человека соответственно. Различие в объемах выборок очевидно. Поэтому сравнение результатов тестирования лучше проводить, используя проценты частот.

Приведенный выше ряд (3.1) можно представить по другому. Если элементы ряда расположить в возрастающем порядке, то получится так называемый ранжированный вариационный ряд:

Подобная форма представления (3.3) более предпочтительна, чем (3.1), поскольку лучше иллюстрирует закономерность варьирования признака.

Частоты, характеризующие ранжированный вариационный ряд, можно складывать, или накапливать. Накопленные частоты получаются последовательным суммированием значений частот от первой частоты до последней.

В качестве примера вновь обратимся к ряду 3.3. Преобразуем его в ряд 3.4 в котором введем дополнительную строчку и назовем ее «кумуляты частот»:

Рассмотрим подробно как получилась последняя строчка. В начале ряда частот стоит 1. В кумулятивном ряду на втором месте стоит 2 - это сумма первой и второй частоты, т.е. 1 + 1, на третьем месте стоит 4 это сумма второй (уже накопленной частоты) и третьей частоты, т.е. 2 + 2, на четвертом 8 = 4 + 4 и т.д.

Размах (иногда эту величину называют разбросом) выборки обозначается буквой R. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки - разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда, т.е.

Понятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот.

Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов будет различный. Например, даны две выборки:

При равенстве средних и разбросов для этих двух выборочных рядов характер их варьирования различен. Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует обратиться к их распределениям.

Таблицы и графики распределения частот

Как правило, анализ данных начинается с изучения того, как часто встречаются те или иные значения интересующего исследователя признака (переменной) в имеющемся множестве наблюдений. Для этого строятся таблицы и графики распределения частот. Нередко они являются основой для получения ценных содержательных выводов исследования.

Если признак принимает всего лишь несколько возможных значений (до 10-15), то таблица распределения частот показывает частоту встречаемости каждого значения признака. Если указывается, сколько раз встречается каждое значение признака, то это - таблица абсолютных частот распределения, если указывается доля наблюдений, приходящихся на то или иное значение признака, то говорят об относительных частотах распределения.

Во многих случаях признак может принимать множество различных значений, например, если мы измеряем время решения тестовой задачи. В этом случае о распределении признака позволяет судить таблица сгруппированных частот, в которых частоты группируются по разрядам или интервалам значений признака.

Еще одной разновидностью таблиц распределения являются таблицы распределения накопленных частот. Они показывают, как накапливаются частоты по мере возрастания значений признака. Напротив каждого значения (интервала) указывается сумма частот встречаемости всех тех наблюдений, величина признака у которых не превышает данного значения (меньше верхней границы данного интервала). Накопленные частоты содержатся в правых столбцах табл. 3.2 и 3.3.

Для более наглядного представления строится график распределения частот или график накопленных частот - гистограмма или сглаженная кривая распределения.

Гистограмма распределения частот - это столбиковая диаграмма, каждый столбец которой опирается на конкретное значение признака или разрядный интервал (для сгруппированных частот). Высота столбика пропорциональна частоте встречаемости соответствующего значения. На рис. 3.1 изображена гистограмма распределения частот для примера из табл. 3.2.

Гистограмма накошенных частот отличается от гистограммы распределения тем, что высота каждого столбика пропорциональна частоте, накопленной к данному значению (интервалу). На рис. 3.2 изображена гистограмма накопленных частот для данных табл. 3.2.

Построение полигона распределения частот напоминает построение гистограммы. В гистограмме вершина каждого столбца, соответствующая частоте встречаемости данного значения (интервала) признака, - отрезок прямой. А для полигона отмечается точка, соответствующая середине этого отрезка. Далее все точки соединяются ломаной линией (рис. 3.3). Вместо гистограммы или полигона часто изображают сглаженную кривую распределения частот. На рис. 3.4 изображена гистограмма распределения для примера из табл. 3.3 (столбики) и сглаженная кривая того же распределения частот.

Таблицы и графики распределения частот дают важную предварительную информацию о форме распределения признака: о том, какие значения встречаются реже, а какие чаще, насколько выражена изменчивость признака. Обычно выделяют следующие типичные формы распределения. Равномерное распределение – когда все значения встречаются одинаково (или почти одинаково) часто. Симметричное распределение - когда одинаково часто встречаются крайние значения. Нормальное распределение - симметричное распределение, у которого крайние значения встречаются редко и частота постепенно повышается от крайних к серединным значениям признака. Асимметричные распределения - левосторонние (с преобладанием частот малых значений), правосторонние (с преобладанием частот больших значений).

Уже сами по себе таблицы и графики распределения признака позволяют делать некоторые содержательные выводы при сравнении групп испытуемых между собой. Сравнивая распределения, мы можем не только судить о том, какие значения встречаются чаще в той или иной группе, но и сравнивать группы по степени выраженности индивидуальных различий - изменчивости по данному признаку.

Таблицы и графики накопленных частот позволяют быстро получить дополнительную информацию о том, сколько испытуемых (или какая их доля) имеют выраженность признака не выше определенного значения.

Раздел 4. Описательные статистики
(Статистическое распределение и его числовые характеристики)

Переменная может принимать много значений. На начальном этапе обработки данных вместо того, чтобы рассматривать все значения переменной, рекомендуется проанализировать т. к. описательные статистики. Они дают общее представление о значениях или разбросе значений, которые принимает переменная.

К первичным описательным статистикам (Descriptive Statistics) обычно относят числовые характеристики распределения измеренного на выборке признака. Каждая такая характеристика отражает в одном числовом значении свойство распределения множества результатов измерения: с точки зрения их расположения на числовой оси либо с точки зрения их изменчивости. Основное назначение каждой из первичных описательных статистик - замена множества значений признака, измеренного на выборке, одним числом (например, средним значением как мерой центральной тенденции). Компактное описание группы при помощи первичных статистик позволяет интерпретировать результаты измерений, в частности, путем сравнения первичных статистик разных групп.

Введение

С незапамятных времен человечество осуществляло учет многих сопутствующих его жизнедеятельности явлений и предметов и связанные с ним вычисления. Люди получали разносторонние, хотя и различающиеся полнотой на различных этапах общественного развития. Данные, учитывавшиеся повседневно в процессе принятия хозяйственных решений, а в обобщенном виде и на государственном уровне при определении русла экономической и социальной политики и характера внешнеполитической деятельности.

Руководствуясь соображениями зависимости благосостояния нации от величины создаваемого полезного продукта, интересов стратегической безопасности государств и народов от численности взрослого мужского населения, доходов казны от размера налогооблагаемых ресурсов и т. д., издавна отчетливо осознавалась и реализовывалась в форме различных учетных акций.

С учетом достижений экономической науки стал возможен расчет показателей, обобщенно характеризующих результаты воспроизводственного процесса на уровне общества: совокупного общественного продукта, национального дохода, валового национального продукта.

Всю перечисленную информацию в постоянно возрастающих объемах предоставляет обществу статистика, являющаяся необходимо принадлежностью государственного аппарата. Статистические данные, таким образом, способны сказать языком статистических показателей о многом в весьма яркой и убедительной форме.

Для статистического анализа данных в своей работе я использовала программу Excel (расчет формул и построение графиков).

Статистические ряды распределения, их значение и применение в статистике

В результате обработки и систематизации первичных данных статистического наблюдения получают группировки, называемые рядами распределения. В них известна численность единиц наблюдения в группах. Представленная в абсолютном и относительном выражении.

Статистический ряд распределения представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку. Он характеризует состав (структуру) изучаемого явления, позволяет судить об однородности совокупности, закономерности распределения и границах варьирования единиц совокупности.

Статистические ряды подразделяются на:

Атрибутивные - это ряды, построенные по атрибутивным признакам, в порядке возрастания или убывания наблюдаемых знаний.

То есть качественным признакам, не имеющим числового выражения и характеризующим свойство, качество изучаемого социально-экономического явления.

Атрибутивные ряды распределения характеризуют состав совокупности по тем или иным существенным признакам.

Взятые за несколько периодов, эти данные позволяют исследовать изменение структуры.

Число групп атрибутивного ряда распределения адекватно числу градаций. Разновидностей атрибутивного признака.

Пример атрибутивного ряда распределения приведен в таблице 1.

Таблица 1. Распределение студентов 1-го курса по успеваемости

Элементами данного ряда распределения являются градации атрибутивного признака «Успеваемость» («успевают» - «не успевают») и численность каждой группы в абсолютном (человек) и относительном (%) выражении.

Студентов, сдавших экзамен по дисциплине, было 46 человек. Их удельный вес составил 92%.

Вариационные - это ряды, построенные по количественному признаку.

Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов: вариантов и частот:

Варианты - это числовые значения количественного признака в вариационном ряду распределения. Они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными. Так, при группировке предприятий по результатам хозяйственной деятельности варианты положительные - это прибыль, а отрицательные числа - это убыток.

Частоты - это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. это числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения. Сумма всех частот называется объемом совокупности и определяется числом элементов всей совокупности.

Частости - это частоты, выраженные в виде относительных величин (долях единиц или процентах). Сумма частостей равна единице или 100%. Замена частот частостями позволяет сопоставлять вариационные ряды с разным числом наблюдений.

Вариационные ряды в зависимости от характера вариации подразделяются на дискретные и интервальные.

Дискретный вариационный ряд распределения - это ряд, в котором группы составлены по признаку, изменяющемуся дискретно и принимающему только целые значения.

Пример дискретного вариационного ряда распределения приведен в таблице 2.

Таблица 2. Распределение студентов по экзаменационному баллу

В гр. 1 таблицы 2 представлены варианты дискретного вариационного ряда. В гр. 2 - частоты, а в гр. 3 - частости. В случае непрерывной вариации величина признака у единиц совокупности может принимать в определенным пределах любые значения. Отличающиеся друг от друга на сколь угодно малую величину.

Интервальный вариационный ряд распределения - это ряд, в котором группировочный признак, составляющий основание группировки, может принимать в определенном интервале любые значения, в том числе и дробные.

Интервальный ряд распределения целесообразно строить, прежде всего, при непрерывной вариации признака, а также, если дискретная вариация проявляется в широких пределах, т.е. число вариантов дискретного признака достаточно велико.

Правила и принципы построения интервальных рядов распределения аналогичны правилам и принципам построения статистических группировок. В случае, если интервальный вариационный ряд распределения построен с равными интервалами, частоты позволяют судить о степени заполнения интервала единицами совокупности. При построении неравных интервалов нельзя получить информацию о степени заполнения каждого интервала. С целью проведения сравнительного анализа заполненности интервалов определяется показатель, характеризующий плотность распределения. Это отношение числа единиц совокупности к ширине интервала.

Пример интервального вариационного рада распределения приведен в таблице 3.

Таблица 3. Распределение строительных фирм региона по среднесписочной численности работающих*

* - Цифры условные

Представленный ряд распределения является интервальным, в основании образования групп которого лежит непрерывный признак.

Анализ рядов распределения можно для наглядности проводить на основе их графического изображения. Для этой цели строят полигон, гистограмму, огиву и кумуляту распределения.

Расчетная часть задания № 5

Имеются выборочные данные (выборка 5%-я механическая) о среднегодовой стоимости основных производственных фондов и выпуске продукции предприятий отрасли экономики за отчетный период.

Таблица 4. Исходные данные

		Выпуск продукции, млн. руб.

По исходным данным:

1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав четыре группы предприятий с равными интервалами, охарактеризовав их числом предприятий и удельным весом предприятий.

2. Рассчитайте обобщающие показатели ряда распределения:

а) среднегодовую стоимость основных производственных фондов, взвешивая значения признака по абсолютной численности предприятий и их удельному весу;

б) моду и медиану;

в) постройте графики ряда распределения и определите на них значение моды и медианы.

Решение:

1. Сначала определяем длину интервала по формуле:

е=(х max - x min)/k,

где k - число групп в группировке (из условия k=4),

х max и x min - максимальное и минимальное значения ряда распределения,

е=(60 - 20)/4=10 млн. руб.

Затем определим нижнюю и верхнюю интервальные границы для каждой группы:

Номер группы	нижняя граница	верхняя граница

Составим рабочую таблицу 5, куда сведем исходные данные:

Таблица 5. Рабочая таблица

Группы пред-ий по среднегодовой стоимости ОПФ,	№ предпри-ятия	Среднегодовая стоимость ОПФ, млн. руб.	Выпуск продукции,

Рассчитаем характеристику ряда распределения по удельному весу предприятий по формуле:

где d - удельный вес предприятия;

f i - кол-во предприятий в группе;

F i - общее кол-во предприятий.

Подставляем данные в формулы. Полученные результаты заносим в итоговую таблицу 6.

Все формулы и расчеты таблицы 6 введены в программе Excel и даны в Приложении 1.

Таблица 6. Распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов

Данная группировка показывает, что у наибольшей части данных предприятий (33,3%) среднегодовая стоимость основных производственных фондов составляет от 40 до 50 млн. руб.

2. а) Рассчитаем среднегодовую стоимость основных производственных фондов по формуле средней арифметической взвешенной, взвешивая значения по абсолютной численности предприятий:

и по удельному весу:

Для расчета средней из интервального ряда необходимо выразить варианты одним (дискретным) числом, это средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала:

Подставляем данные в формулы. Полученные результаты занесем в таблицу 7.

Все формулы и расчеты таблицы 7 введены в программе Excel и даны в Приложении 1.

Таблица 7. Расчет среднегодовой стоимости ОПФ

Показатели средних равны, что доказывает правильность расчетов. Среднегодовая стоимость ОПФ равна 41,333 млн. руб.

б) Рассчитаем моду и медиану данного ряда.

Мода - это значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

где x Mo - нижняя граница модального интервала;

i Mo - величина модального интервала;

f Mo - частота модального интервала;

f Mo-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

f Mo+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Наибольшее число предприятий - 10 - среднегодовая стоимость основных производственных фондов в интервале 40 - 50 млн. руб., который и является модальным.

Подставляем данные в формулу.

Из расчета видно, что модальным значением стоимости ОПФ предприятий является стоимость равная 44 млн. руб.

Медиана - это вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части. Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

где x Mе - нижняя граница медианного интервала;

i Mе - величина медианного интервала;

F - сумма частот ряда;

S Mе-1 - сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному интервалу;

f Mе - частота медианного интервала.

Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (30/2 = 15). Полученные данные заносим в расчетную таблицу 8.

Таблица 8. Расчет медианны

В графе «Сумма накопленных частот» значение 23 соответствует интервалу 40 - 50. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.

Подставляем данные в формулу.

Из расчета видно, что у половины предприятий среднегодовая стоимость основных производственных фондов до 42 млн. руб., а у другой половина - выше этой суммы.

в) Построим графики данного ряда распределения по полученным данным:

Рис. 1.

Медиана

Рис. 2. Кумулята распределения предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ