Теорема.

Простых чисел бесконечно много.

Доказательство.

Предположим, что это не так. То есть, предположим, что простых чисел всего n штук, и эти простые числа есть p 1 , p 2 , …, p n . Покажем, что мы всегда можем найти простое число, отличное от указанных.

Рассмотрим число, p равное p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Понятно, что это число отлично от каждого из простых чисел p 1 , p 2 , …, p n . Если число p - простое, то теорема доказана. Если же это число составное, то в силу предыдущей теоремы существует простой делитель этого числа (обозначим его p n+1 ). Покажем, что этот делитель не совпадает ни с одним из чисел p 1 , p 2 , …, p n .

Если бы это было не так, то по свойствам делимости произведение p 1 ·p 2 ·…·p n делилось бы на p n+1 . Но на p n+1 делится и число p , равное сумме p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Отсюда следует, что на p n+1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равно единице, а это невозможно.

Так доказано, что всегда может быть найдено новое простое число, не заключающееся среди любого количества наперед заданных простых чисел. Следовательно, простых чисел бесконечно много.

Итак, в силу того, что простых чисел бесконечно много, при составлении таблиц простых чисел всегда ограничивают себя сверху каким-либо числом, обычно, 100 , 1 000 , 10 000 и т.д.

Решето Эратосфена

Сейчас мы обсудим способы составления таблиц простых чисел. Предположим, что нам нужно составить таблицу простых чисел до 100 .

Самым очевидным методом решения этой задачи является последовательная проверка целых положительных чисел, начиная с 2 , и заканчивая 100 , на наличие положительного делителя, который больше 1 и меньше проверяемого числа (из свойств делимости мы знаем, что абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого, отличного от нуля). Если такой делитель не найден, то проверяемое число является простым, и оно заносится в таблицу простых чисел. Если же такой делитель найден, то проверяемое число является составным, оно НЕ заносится в таблицу простых чисел. После этого происходит переход к следующему числу, которое аналогично проверяется на наличие делителя.

Опишем несколько первых шагов.

Начинаем с числа 2 . Число 2 не имеет положительных делителей, кроме 1 и 2 . Следовательно, оно простое, поэтому, заносим его в таблицу простых чисел. Здесь следует сказать, что 2 является наименьшим простым числом. Переходим к числу 3 . Его возможным положительным делителем, отличным от 1 и 3 , является число 2 . Но 3 на 2 не делится, поэтому, 3 – простое число, и его также нужно занести в таблицу простых чисел. Переходим к числу 4 . Его положительными делителями, отличными от 1 и 4 , могут быть числа 2 и 3 , проверим их. Число 4 делится на 2 , поэтому, 4 – составное число, и его не нужно заносить в таблицу простых чисел. Обратим внимание на то, что 4 – наименьшее составное число. Переходим к числу 5 . Проверяем, являются ли его делителем хотя бы одно из чисел 2 , 3 , 4 . Так как 5 не делится ни на 2 , ни на 3 , ни на 4 , то оно простое, и его надо записать в таблицу простых чисел. Дальше происходит переход к числам 6 , 7 , и так далее до 100 .

Такой подход к составлению таблицы простых чисел является далеко не идеальным. Так или иначе, он имеет право на существование. Отметим, что при этом способе построения таблицы целых чисел можно использовать признаки делимости , которые немного ускорят процесс поиска делителей.

Существует более удобный способ для составления таблицы простых чисел, называемый . Присутствующее в названии слово «решето» не случайно, так как действия этого метода помогают как бы «просеять» сквозь решето Эратосфена целые числа, большие единицы, чтобы отделить простые от составных.

Покажем решето Эратосфена в действии при составлении таблицы простых чисел до 50 .

Сначала записываем по порядку числа 2, 3, 4, …, 50 .

Первое записанное число 2 является простым. Теперь от числа 2 последовательно перемещаемся вправо на два числа и зачеркиваем эти числа, пока не доберемся до конца составляемой таблицы чисел. Так будут вычеркнуты все числа, кратные двум.

Первым следующим за 2 невычеркнутым числом является 3 . Это число простое. Теперь от числа 3 последовательно перемещаемся вправо на три числа (учитывая и уже зачеркнутые числа) и вычеркиваем их. Так будут вычеркнуты все числа, кратные трем.

Первым следующим за 3 невычеркнутым числом является 5 . Это число простое. Теперь от числа 5 последовательно перемещаемся вправо на 5 чисел (учитываем и зачеркнутые ранее числа) и вычеркиваем их. Так будут вычеркнуты все числа, кратные пяти.

Дальше вычеркиваем числа, кратные 7 , затем, кратные 11 и так далее. Процесс заканчивается, когда не останется чисел для вычеркивания. Ниже показана законченная таблица простых чисел до 50 , полученная с помощью решета Эратосфена. Все незачеркнутые числа являются простыми, а все зачеркнутые числа – составными.

Давайте еще сформулируем и докажем теорему, которая позволит ускорить процесс составления таблицы простых чисел при помощи решета Эратосфена.

Теорема.

Наименьший положительный и отличный от единицы делитель составного числа a не превосходит , где - из a .

Доказательство.

Обозначим буквой b наименьший и отличный от единицы делитель составного числа a (число b является простым, что следует из теоремы, доказанной в самом начале предыдущего пункта). Тогда существует такое целое число q , что a=b·q (здесь q – положительное целое число, что следует из правил умножения целых чисел), причем (при b>q нарушится условие, что b – наименьший делитель числа a , так как q также является делителем числа a в силу равенства a=q·b ). Умножив обе части неравенства на положительное и большее единицы целое число b (это нам позволяют сделать ), получаем , откуда и .

Что же нам дает доказанная теорема, касательно решета Эратосфена?

Во-первых, вычеркивание составных чисел, кратных простому числу b следует начинать с числа, равного (это следует из неравенства ). Например, вычеркивание чисел, кратных двум, следует начинать с числа 4 , кратных трем – с числа 9 , кратных пяти – с числа 25 , и так далее.

Во-вторых, составление таблицы простых чисел до числа n с помощью решета Эратосфена можно считать законченным тогда, когда будут вычеркнуты все составные числа, кратные простым числам, не превосходящим . В нашем примере n=50 (так как мы составляем таблицу простых чисел до 50 ) и , поэтому решето Эратосфена должно отсеять все составные числа, кратные простым числам 2 , 3 , 5 и 7 , которые не превосходят арифметического квадратного корня из 50 . То есть, нам дальше не нужно заниматься поиском и вычеркиванием чисел, кратных простым числам 11 , 13 , 17 , 19 , 23 и так далее до 47 , так как они уже будут вычеркнуты, как кратные меньшим простым числам 2 , 3 , 5 и 7 .

Данное число простое или составное?

Некоторые задания требуют выяснения, является ли данное число простым или составным. В общем случае эта задача далеко не проста, особенно для чисел, запись которых состоит из значительного количества знаков. В большинстве случаев приходится искать какой-либо специфический способ ее решения. Однако мы попробуем дать направление ходу мыслей для несложных случаев.

Несомненно, можно попробовать воспользоваться признаками делимости для доказательства того, что данное число является составным. Если, к примеру, некоторый признак делимости показывает, что данное число делится на некоторое целое положительное число большее единицы, то исходное число является составным.

Пример.

Докажите, что число 898 989 898 989 898 989 составное.

Решение.

Сумма цифр данного числа равна 9·8+9·9=9·17 . Так как число, равное 9·17 делится на 9 , то по признаку делимости на 9 можно утверждать, что исходное число также делится на 9 . Следовательно, оно составное.

Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что признаки делимости не позволяют доказать простоту числа. Поэтому при проверке числа на то, является ли оно простым или составным, нужно действовать иначе.

Самый логичный подход состоит в переборе всех возможных делителей данного числа. Если ни один из возможных делителей не будет истинным делителем данного числа, то это число будет простым, в противном случае – составным. Из теорем, доказанных в предыдущем пункте, следует, что делители данного числа a нужно искать среди простых чисел, не превосходящих . Таким образом, данное число a можно последовательно делить на простые числа (которые удобно брать из таблицы простых чисел), пытаясь найти делитель числа a . Если будет найден делитель, то число a – составное. Если же среди простых чисел, не превосходящих , не окажется делителя числа a , то число a – простое.

Пример.

Число 11 723 простое или составное?

Решение.

Выясним, до какого простого числа могут быть делители числа 11 723 . Для этого оценим .

Достаточно очевидно, что , так как 200 2 =40 000 , а 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью сравнение чисел ). Таким образом, возможные простые делители числа 11 723 меньше числа 200 . Это уже значительно облегчает нашу задачу. Если бы мы этого не знали, то нам бы пришлось перебирать все простые числа не до 200 , а вплоть до числа 11 723 .

При желании можно оценить более точно. Так как 108 2 =11 664 , а 109 2 =11 881 , то 108 2 <11 723<109 2 , следовательно, . Таким образом, любое из простых чисел, меньших 109 , потенциально является простым делителем данного числа 11 723 .

Теперь мы будем последовательно делить число 11 723 на простые числа 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Если число 11 723 разделится нацело на одно из записанных простых чисел, то оно будет составным. Если же оно не делится ни на одно из записанных простых чисел, то исходное число простое.

Не будем описывать весь этот монотонный и однообразный процесс деления. Сразу скажем, что 11 723

Еще со времен древних греков простые числа были очень привлекательны для математиков. Они постоянно ищут разные способы их нахождения, но самым эффективным способом «поимки» простых чисел, считается способ, найденный александрийским астрономом и математиком Эратосфеном. Этому способу уже около 2000 лет.

Какие числа являются простыми

Как же определить простое число? Многие числа делятся без остатка на другие числа. Число, на которое делится целое число, мы называем делителем.

В данном случае мы говорим о делении без остатка. Например, число 36 можно разделить на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и на само себя, то есть на 36. Значит, 36 имеет 9 делителей. Число 23 делится только на себя и на 1, то есть это число имеет 2 делителя – это число является простым.

Числа, которые имеют только два делителя, называются простыми числами. То есть, число, которое делится без остатка только на себя и на единицу, называется простым.

Для математиков открытие закономерностей в ряду чисел, которые потом можно использовать для построения гипотез, является очень приятным событием. Но простые числа отказываются подчиняться хоть какой-нибудь закономерности. Но есть способ определения простых чисел. Этот способ найден Эратосфеном, он называется «решетом Эратосфена». Давайте рассмотрим вариант такого «решета», представленный в виде таблицы чисел до 48 и поймем, как она составлена.

В этой таблице все простые числа меньше 48 отмечены оранжевым цветом . Найдены они так:

• 1 – имеет единственный делитель и поэтому не является простым числом;
• 2 – наименьшее простое число и единственное четное, так как все остальные четные числа делятся на 2, то есть имеют не меньше 3 делителей, эти числа сведены в фиолетовую колонку ;
• 3 – простое число, имеет два делителя, все остальные числа, которые делятся на 3, исключаются – эти числа сведены в желтую колонку . Колонка, отмеченная и фиолетовым , и желтым , содержит числа делящиеся и на 2 и на 3;
• 5 – простое число, все числа, которые делятся на 5, исключаются – эти числа обведены зеленым овалом ;
• 7 – простое число, все числа, которые делятся на 7, обведены красным овалом – они не являются простыми;

Все числа не являющиеся простыми отмечены синим цветом . Далее эту таблицу можно составить самому по образу и подобию.

То, что существуют числа, которые не делятся ни на какое другое число, люди знали еще в древности. Последовательность простых чисел имеет примерно следующий вид:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …

Доказательство того, что этих чисел бесконечно много, дал еще Евклид , живший в 300 г до н.э. Примерно в те же годы другой греческий математик, Эратосфен , придумал довольно-таки простой алгоритм получения простых чисел, суть которого была в последовательном вычеркивании чисел из таблицы. Те оставшиеся числа, которые ни на что не делились, и были простыми. Алгоритм называется «решето Эратосфена» и за счет своей простоты (в нем нет операций умножения или деления, только сложение) используется в компьютерной технике до сих пор.

Видимо, уже во время Эратосфена стало ясно, что какого-либо четкого критерия, является ли число простым, не существует — это можно проверить лишь экспериментально. Существуют различные способы для упрощения процесса (например, очевидно, что число не должно быть четным), но простой алгоритм проверки не найден до сих пор, и скорее всего найден не будет: чтобы узнать, простое число или нет, надо попытаться разделить его на все меньшие числа.

Подчиняются ли простые числа каким-либо законам? Да, и они довольно любопытны.

Так, например, французский математик Мерсенн еще в 16 веке обнаружил, что много простых чисел имеет вид 2^N — 1, эти числа названы числами Мерсенна. Еще незадолго до этого, в 1588 году, итальянский математик Катальди обнаружил простое число 2 19 — 1 = 524287 (по классификации Мерсена оно называется M19). Сегодня это число кажется весьма коротким, однако даже сейчас с калькулятором проверка его простоты заняла бы не один день, а для 16 века это было действительно огромной работой.

На 200 лет позже математик Эйлер нашел другое простое число 2 31 — 1 = 2147483647. Опять же, необходимый объем вычислений каждый может представить сам. Он же выдвинул гипотезу (названную позже «проблемой Эйлера», или «бинарной проблемой Гольдбаха»), суть которой проста: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Например, можно взять 2 любых четных числа: 123456 и 888777888.

С помощью компьютера можно найти их сумму в виде двух простых чисел: 123456 = 61813 + 61643 и 888777888 = 444388979 + 444388909. Интересно здесь то, что точное доказательство этой теоремы не найдено до сих пор, хотя с помощью компьютеров она была проверена до чисел с 18 нулями.

Существует и другая теорема математика Пьера Ферма , открытая в 1640 году, которая говорит о том, что если простое число имеет вид 4*k+1, то оно может быть представлено в виде суммы квадратов других чисел. Так, например, в нашем примере простое число 444388909 = 4*111097227 + 1. И действительно, с помощью компьютера можно найти, что 444388909 = 19197*19197 + 8710*8710.

Теорема была доказана Эйлером лишь через 100 лет.

И наконец Бернхардом Риманом в 1859 году была выдвинута так называемая «Гипотеза Римана» о количестве распределения простых чисел, не превосходящих некоторое число. Эта гипотеза не доказана до сих пор, она входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя в Кембридже готов выплатить награду в один миллион долларов США.

Так что с простыми числами не все так просто. Есть и удивительные факты. Например, в 1883 г. русский математик И.М. Первушин из Пермского уезда доказал простоту числа 2 61 — 1 = 2305843009213693951 . Даже сейчас бытовые калькуляторы не могут работать со столь длинными числами, а на то время это была поистине гигантская работа, и как это было сделано, не очень ясно до сих пор. Хотя действительно существуют люди, обладающие уникальными способностями мозга — так например, известны аутисты, способные находить в уме (!) 8-значные простые числа. Как они это делают, непонятно.

Современность

Актуальны ли простые числа сегодня? Еще как! Простые числа являются основой современной криптографии, так что большинство людей пользуются ими каждый день, даже не задумываясь об этом. Любой процесс аутентификации, например, регистрация телефона в сети, банковские платежи и прочее, требуют криптографических алгоритмов.

Суть идеи тут крайне проста и лежит в основе алгоритма RSA , предложенного еще в 1975 году. Отправитель и получатель совместно выбирают так называемый «закрытый ключ», который хранится в надежном месте. Этот ключ представляет собой, как, наверное, читатели уже догадались, простое число. Вторая часть — «открытый ключ», тоже простое число, формируется отправителем и передается в виде произведения вместе с сообщением открытым текстом, его можно опубликовать даже в газете. Суть алгоритма в том, что не зная «закрытой части», получить исходный текст невозможно.

К примеру, если взять два простых числа 444388979 и 444388909, то «закрытым ключом» будет 444388979, а открыто будут передано произведение 197481533549433911 (444388979*444388909). Лишь зная вторую половинку, можно вычислить недостающее число и расшифровать им текст.

В чем тут хитрость? А в том, что произведение двух простых чисел вычислить несложно, а вот обратной операции не существует — если не знать первой части, то такая процедура может быть выполнена лишь перебором. И если взять действительно большие простые числа (например, в 2000 символов длиной), то декодирование их произведения займет несколько лет даже на современном компьютере (к тому времени сообщение станет давно неактуальным).

Гениальность данной схемы в том, что в самом алгоритме нет ничего секретного — он открыт и все данные лежат на поверхности (и алгоритм, и таблицы больших простых чисел известны). Сам шифр вместе с открытым ключом можно передавать как угодно, в любом открытом виде. Но не зная секретной части ключа, которую выбрал отправитель, зашифрованный текст мы не получим. Для примера можно сказать, что описание алгоритма RSA было напечатано в журнале в 1977 году, там же был приведен пример шифра. Лишь в 1993 году при помощи распределенных вычислений на компьютерах 600 добровольцев, был получен правильный ответ.

Так что простые числа оказались вовсе не столь просты, и их история на этом явно не заканчивается.