Амплитуда гармонических колебаний силы. Гармонические колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

x = x m cos (ωt + φ 0).

Здесь x - смещение тела от положения равновесия, x m - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ 0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой . Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты - герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x m , либо период T (или частота f ), либо начальная фаза φ 0 .

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как или как x" (t ) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a x тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

(лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша-рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах , санти-метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси-мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша-ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т ) — это время, за которое совершается одно полное ко-лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы-рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах , минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей-ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес-ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю-щихся величин, например, для затухающих колебаний .

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с .

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1 Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Движение маятника в часах, землетрясение, переменный ток в электрической цепи, процессы радиопередачи и радиоприема - это совершенно различные, не связанные друг с другом процессы. Каждый из них имеет свои особые причины, но их объединяет один признак - признак общности характера изменения физических величин с течением времени. Эти и многие другие процессы различной физической природы во многих случаях оказывается целесообразным рассматривать как один особый тип физических явлений - колебания.

Общий признак физических явлений, называемых колебаниями, - это их повторяемость во времени. При различной физической природе многие колебания происходят по одинаковым законам, что позволяет применять общие методы для их описания и анализа.

Гармонические колебания. Из большого числа различных колебаний в природе и технике особенно часто встречаются гармонические колебания. Гармоническими называют колебания, совершающиеся по закону косинуса или синуса:

где - величина, испытывающая колебания; - время; - постоянная величина, смысл которой будет выяснен далее.

Максимальное значение величины, изменяющейся по гармоническому закону, называют амплитудой колебаний. Аргумент косинуса или синуса при гармонических колебаниях называют фазой колебания

Фазу колебания в начальный момент времени называют начальной фазой. Начальная фаза определяет значение величины в начальный момент времени

Значения функции синуса или косинуса при изменении аргумента функции на повторяются, поэтому при гармонических колебаниях значения величины повторяются при изменении фазы колебания на . С другой стороны, при гармоническом колебании величина должна принимать те же значения через интервал времени, называемый периодом колебаний Т. Следовательно, изменение фазы на происходит

через период колебаний Т. Для случая, когда получим:

Из выражения (1.2) следует, что постоянная в уравнении гармонических колебаний есть число колебаний, происходящих за секунд. Величину называют циклической частотой колебаний. Используя выражение (1.2), уравнение (1.1) можно выразить через частоту или период Т колебаний:

Наряду с аналитическим способом описания гармонических колебаний широко используют графические способы их представления.

Первый способ - задание графика колебаний в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывают время I, а по оси ординат - значение изменяющейся величины Для гармонических колебаний этот график - синусоида или косинусоида (рис. 1).

Второй способ представления колебательного процесса - спектральный. По оси ординат отсчитывают амплитуду, а по оси абсцисс - частоту гармонических колебаний. Гармонический колебательный процесс с частотой и амплитудой представлен в этом случае вертикальным отрезком прямой длиной проведенным от точки с координатой на оси абсцисс (рис. 2).

Третий способ описания гармонических колебаний - метод векторных диаграмм. В этом способе используют следующий, чисто формальный прием для нахождения в любой момент времени значения величины изменяющейся по гармоническому закону:

Выберем на плоскости произвольно направленную координатную ось по которой будем отсчитывать интересующую нас величину Из начала координат вдоль оси проведем вектор модуль которого равен амплитуде гармонического колебания хт. Если теперь представим себе, что вектор вращается вокруг начала координат в плоскости с постоянной угловой скоростью со против часовой стрелки, то угол а между вращающимся вектором и осью в любой момент времени определится выражением.

Механическое гармоническое колебание - это прямолинейное неравномерное движение, при котором координаты колеблющегося тела (материальной точки) изменяются по закону косинуса или синуса в зависимости от времени.

Согласно этому определению, закон изменения координаты в зависимости от времени имеет вид:

Где wt - величина под знаком косинуса или синуса; w - коэффициент, физический смысл которого раскроем ниже; А - амплитуда механических гармонических колебаний.

Уравнения (4.1) являются основными кинематическими уравнениями механических гармонических колебаний.

Рассмотрим следующий пример. Возьмем ось Ох (рис. 64). Из точки 0 проведем окружность с радиусом R = А. Пусть точка М из положения 1 начинает двигаться по окружности с постоянной скоростью v (или с постоянной угловой скоростью w , v = wА ). Через некоторое время t радиус повернется на угол ф: ф=wt .

При таком движении по окружности точки М ее проекция на ось х М х будет совершать движение вдоль оси х, координата которой х будет равна х = А cos ф = = А cos wt . Таким образом, если материальная точка движется по окружности радиусом А, центр которой совпадает с началом координат, то проекция этой точки на ось х (и на ось у) будет совершать гармонические механические колебания.

Если известна величина wt, которая стоит под знаком косинуса, и амплитуда А, то можно определить и х в уравнении (4.1).

Величину wt, стоящую под знаком косинуса (или синуса), однозначно определяющую координату колеблющейся точки при заданной амплитуде, называют фазой колебания . Для точки М, движущейся по окружности, величина w означает ее угловую скорость. Каков физический смысл величины w для точки М х, совершающей механические гармонические колебания? Координаты колеблющейся точки М х одинаковы в некоторый момент времени t и (Т +1) (из определения периода Т), т. е. A cos wt = A cos w (t + Т), а это значит, что w (t + Т) - wt = 2ПИ (из свойства периодичности функции косинуса). Отсюда следует, что

Следовательно, для материальной точки, совершающей гармонические механические колебания, величину w можно интерпретировать как количество колебаний за определенный цикл времени, равный 2л . Поэтому величину w назвали циклической (или круговой) частотой .

Если точка М начинает свое движение не из точки 1 а из точки 2, то уравнение (4,1) примет вид:

Величину ф 0 называют начальной фазой .

Скорость точки М х найдем как производную от координаты по времени:

Ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону, определим как производную от скорости:

Из формулы (4.4) видно, что скорость точки, совершающей гармонические колебания, изменяется тоже по закону косинуса. Но скорость по фазе опережает координату на ПИ/2 . Ускорение при гармоническом колебании изменяется по закону косинуса, но опережает координату по фазе на п . Уравнение (4.5) можно записать через координату х:

Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально смещению с противоположным знаком. Умножим правую и левую части уравнения (4.5) на массу колеблющей материальной точки т, получим соотношения:

Согласно второму закону Ньютона, физический смысл правой части выражения (4.6) есть проекция силы F x , которая обеспечивает гармоническое механическое движение:

Величина F x пропорциональна смещению х и направлена противоположно ему. Примером такой силы является сила упругости, величина которой пропорциональна деформации и противоположно ей направлена (закон Гука).

Закономерность зависимости ускорения от смещения, вытекающую из уравнения (4.6), рассмотренную нами для механических гармонических колебаний, можно обобщить и применить при рассмотрении колебаний другой физической природы (например, изменение тока в колебательном контуре, изменение заряда, напряжения, индукции магнитного поля и т. д.). Поэтому уравнение (4.8) называют основным уравнением динамики гармонических колебаний .

Рассмотрим движение пружинного и математического маятников.

Пусть к пружине (рис. 63), расположенной горизонтально и закрепленной в точке 0, одним концом прикреплено тело массой т, которое может перемещаться вдоль оси х без трения. Коэффициент жесткости пружины пусть будет равен k. Выведем тело m внешней силой из положения равновесия и отпустим. Тогда вдоль оси х на тело будет действовать только упругая сила, которая согласно закону Гука, будет равна: F yпp = -kx.

Уравнение движения этого тела будет иметь вид:

Сравнивая уравнения (4.6) и (4.9), делаем два вывода:

Из формул (4.2) и (4.10) выводим формулу для периода колебаний груза на пружине:

Математическим маятником называется тело массой т, подвешенное на длинной нерастяжимой нити пренебрежимо малой массы. В положении равновесия на это тело будут действовать сила тяжести и сила упругости нити. Эти силы будут уравновешивать друг друга.

Если нить отклонить на угол а от положения равновесия, то на тело действуют те же силы, но они уже не уравновешивают друг друга, и тело начинает двигаться по дуге под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль касательной к дуге и равной mg sin a .

Уравнение движения маятника принимает вид:

Знак минус в правой части означает, что сила F x = mg sin a направлена против смещения. Гармоническое колебание будет происходить при малых углах отклонения, т. е. при условии а 2* sin a .

Заменим sin а в уравнении (4.12), получим следующее уравнение.

Гармонические колебания

Графики функций f (x ) = sin(x ) и g (x ) = cos(x ) на декартовой плоскости.

Гармоническое колебание - колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

,

где х - смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А - амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω - циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд - полная фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения - есть гармоническое колебание с циклической частотой )

Виды колебаний

Эволюция во времени перемещения, скорости и ускорения при гармоническом движении

• Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
• Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

Применение

Гармонические колебания выделяются из всех остальных видов колебаний по следующим причинам:

См. также

Примечания

Литература

• Физика. Элементарный учебник физики / Под ред. Г. С. Лансберга. - 3 изд. - М ., 1962. - Т. 3.
• Хайкин С. Э. Физические основы механики. - М ., 1963.
• А. М. Афонин. Физические основы механики. - Изд. МГТУ им. Баумана, 2006.
• Горелик Г. С. Колебания и волны. Введение в акустику, радиофизику и оптику. - М .: Физматлит, 1959. - 572 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Гармонические колебания" в других словарях:

Современная энциклопедия

Гармонические колебания - ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодические изменения физической величины, происходящие по закону синуса. Графически гармонические колебания изображаются кривой синусоидой. Гармонические колебания простейший вид периодических движений, характеризуется … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Графически Г. к. изображаются кривой синусоидой или косинусоидой (см. рис.); они могут быть записаны в форме: х = Asin (ωt + φ) или х … Большая советская энциклопедия

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ, периодическое движение, такое как движение МАЯТНИКА, атомные колебания или колебания в электрической цепи. Тело совершает незатухающие гармонические колебания, когда оно колеблется вдоль линии, перемещаясь на одинаковое… … Научно-технический энциклопедический словарь

Колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному закону: x=Asin(wt+j), где x значение колеблющейся величины в данный. момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение или скорость, для… … Физическая энциклопедия

гармонические колебания - Механические колебания, при которых обобщенная координата и (или) обобщенная скорость изменяются пропорционально синусу с аргументом, линейно зависящим от времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук … Справочник технического переводчика

Колебания, при к рых физ. (или любая другая) величина изменяется во времени по синусоидальному закону, где х значение колеблющейся величины в момент времени t (для механич. Г. к., напр., смещение и скорость, для электрич. напряжение и сила тока) … Физическая энциклопедия

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ - (см.), при которых физ. величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса (напр. изменения (см.) и скорости при колебании (см.) или изменения (см.) и силы тока при электрических Г. к.) … Большая политехническая энциклопедия

Характеризуются изменением колеблющейся величины x (напр., отклонения маятника от положения равновесия, напряжения в цепи переменного тока и т. д.) во времени t по закону: x = Asin (?t + ?), где А амплитуда гармонических колебаний, ? угловая… … Большой Энциклопедический словарь

Гармонические колебания - 19. Гармонические колебания Колебания, при которых значения колеблющейся величины изменяются во времени по закону Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Периодич. колебания, при к рых изменение во времени физ. величины происходит по закону синуса или косинуса (см. рис.): s = Аsin(wt+ф0), где s отклонение колеблющейся величины от её ср. (равновесного) значения, А=const амплитуда, w= const круговая … Большой энциклопедический политехнический словарь