4 х угольная призма. Правильная четырехугольная призма

В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

V = Sосн·h

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

V = a²·h

Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

Sбок = Pосн·h

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Sбок = 4a·h

Для куба:

Sбок = 4a²

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Sполн = 4a·h + 2a²

Для площади поверхности куба:

Sполн = 6a²

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h);
длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²;
площадь основания: Sосн = V / h;
площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Как найти площадь куба

Как выгрузить вид из региона Приз?

Я пишу приложение WPF Prism с ленточным управлением в оболочке. Вкладка «Главная страница ленты» содержит регион, RibbonHomeTabRegion , в который входит один из моих модулей (назовите его ModuleA ) загружает RibbonGroup . Это прекрасно работает.

Когда пользователь переходит от модуля А, RibbonGroup необходимо выгрузить из RibbonHomeTabRegion . Я не заменяю RibbonGroup другим видом - регион должен быть пустым.

EDIT: Я переписал эту часть вопроса:

При попытке удалить представление, я получаю сообщение об ошибке, что «область не содержит указанную точку зрения.» Итак, я написал следующий код, чтобы удалить любой вид в регионе:

// Get the regions views var regionManager = ServiceLocator.Current.GetInstance(); var ribbonHomeTabRegion = regionManager.Regions["RibbonHomeTabRegion"]; var views = ribbonHomeTabRegion.Views; // Unload the views foreach (var view in views) { ribbonHomeTabRegion.Remove(view); }

я все еще получаю ту же ошибку, что говорит мне, что есть что-то довольно простое, что я делаю неправильно.

Может ли кто-нибудь указать мне правильное направление? Спасибо за вашу помощь.

3 ответа

Сортировка:

Активность

Я нашел свой ответ, хотя я не могу сказать, что полностью его понимаю. Я использовал IRegionManager.RequestNavigate(), чтобы впрыснуть RibbonGroup на вкладку Главной Красящей ленты, как и это:

// Load RibbonGroup into Navigator pane var noteListNavigator = new Uri("NoteListRibbonGroup", UriKind.Relative); regionManager.RequestNavigate("RibbonHomeTabRegion", noteListNavigator);

Я изменил код, чтобы придать вид, зарегистрировав его с областью, как это:

// Load Ribbon Group into Home tab regionManager.RegisterViewWithRegion("RibbonHomeTabRegion", typeof(NoteListRibbonGroup));

Теперь я могу удалить RibbonGroup, используя этот код:

If(ribbonHomeTabRegion.Views.Contains(this)) { ribbonHomeTabRegion.Remove(this); }

Итак, как вы придать вид, по-видимому имеет значение. Если вы хотите удалить представление, добавьте его при регистрации в Менеджере регионов

Возможно ли, что у вас есть RegionAdapter, который обертывает представление внутри другого представления перед его добавлением? ribbonHomeTabRegion должен иметь свойство с коллекцией представлений - есть ли что-нибудь внутри него?

Призма –многогранник, полученный от пересечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями. Равные многоугольники (грани), полученные в сечении призматической поверхности с параллельными плоскостями, называются ее основаниями , а другие грани (параллелограммы) – боковыми гранями (рис. 2.14).

Призма называется прямой , если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Призма называется правильной , если она прямая и основание ее – правильный многоугольник. Призма называется наклонной , если ее боковые ребра (грани) не перпендикулярны основаниям. Призма называется треугольной , если ее основание – треугольник, четырехугольной , если ее основание – четырехугольник, и вообще n -угольной , если основание ее – n -угольник. Призматическая поверхность – поверхность, образованная движением прямой в пространстве так, что эта прямая остается параллельной самой себе и пересекает данную ломаную линию. Рис. 2.14. Призма

Подвижная прямая называется образующей призматической поверхности, а данная ломаная линия – ее направляющей .

2.6.5. Сила тяжести и вес тела

1. Если бы Земля не вращалась , то на тело массой т , лежащее неподвижно на опоре в вакууме, действовала бы гравитационная сила
, направленная к центру Земли, а также сила реакции опоры, направленная от центра Земли. В условиях равновесия

. (2.37)

Принимая для простоты, что Земля обладает сферической симметрией (по форме и плотности), можно записать гравитационную силу законом всемирного тяготения Ньютона:

, (2.38)

где – гравитационная постоянная;

М = 5,96·10 24 кг – масса Земли;

R = 6,37·10 6 м – средний радиус Земли.

Притягиваясь к Земле, тело действует на подставку силой веса . По третьему закону Ньютона

. (2.39)

Из уравнений (2.37)(2.39) следует, что сила веса , действующая в вакууме со стороны покоящегося тела на опору или подвес на гипотетической невращающейся Земле, равнялась бы гравитационной силе

(2.40)

и была бы направлена к центру Земли.

При отсутствии опоры нет силы реакции , нет и силы веса. Тогда тело свободно падало бы в поле одной гравитационной силы с ускорением

, (2.41)

не зависящим от массы тела

(2.42)

и совпадающим по величине и направлению с вектором напряженности гравитационного поля в любой точке траектории.

2. Однако Земля вращается в системе неподвижных звезд и является поэтому неинерциальной системой отсчета.

В неинерциальной системе отсчета на каждую материальную точку (тело) действует сила инерции
, котораяявляется не результатом взаимодействия тел, а результатом ускоренного движения системы отсчета . Сила инерции равна произведению массы т материальной точки (тела) на ускорение системы отсчета:

. (2.43)

Знак «минус» показывает, что сила инерции направлена в сторону, противоположную вектору ускорения системы отсчета.Сила инерции во вращающейся системе отсчета направлена по радиусу r от оси вращения (рис. 2.15, а ).

Величина силы инерции зависит от расстояния r до оси вращения. Это расстояние зависит от географической широты

(2.44)

и на различных широтах разное – на экваторе оно наибольшее ( = 0), а на полюсе равно нулю (
).

На широте сила инерции равна

где
– угловая скорость вращения Земли.

Рис. 2.15. Сила инерции во вращающейся системе отсчета «Земля»

Рассмотрим более детально силы, действующие на тело, которое покоится на поверхности вращающейся Земли на некоторой широте при отсутствии среды. На тело действует гравитационная сила
, направленная к центру Земли, и сила инерции
, направленная от оси ее вращения. Сила реакции опорыудерживает тело в неподвижном относительно Земли состоянии. Поскольку тело покоится в системе отсчета, то действующие на тело силы скомпенсированы

. (2.46)

Из равенства (2.46) следует, что сила реакции уравновешивает сумму сил тяготения
и инерции
. Линия действия силы реакциисовпадает с линией действия результирующей двух сил
+
и направлена от поверхности Земли, образуя с осью Ох , проведенной из центра вращения (точка О), некоторый угол α , отличающийся от угла географической широты (α ≠ φ ).

Геометрическая сумма гравитационной силы
и силы инерции
,учитывающей суточное вращение Земли, называется силой тяжести
, действующей на неподвижное тело (рис. 2.15, б ):

. (2.47)

Тогда условие (2.46) равновесия тела имеет вид:

+ = 0. (2.48)

Вес тела – это сила, с которой любое тело, находящееся в поле силы тяжести, действует на опору или подвес, препятствующие свободному падению тела (рис. 2.16). Силыи– это силы взаимодействия тела и опоры. По третьему закону Ньютона:

= – . (2.49)

Рис. 2.16. Силы, действующие на тело и опору (а ); на тело и подвес (б )

Таким образом, на вращающейся Земле в отсутствие среды вес неподвижного тела по величине и направлению совпадает с силой тяжести
(2.47):

=
, (2.50)

т.е. вес равен геометрической сумме гравитационной силы
и силы инерции
. Вес и сила тяжести приложены к разным объектам (вес – к опоре или подвесу, сила тяжести – к телу) и имеют различную физическую природу (вес – упругую, т.е. по существу электромагнитную, а сила тяжести – в основном гравитационную). Вес тела на вращающейся планете – это статическое проявление силы тяжести, в результате которого опора или подвес деформируются.

Определим величину силы тяжести и вес тела , находящегося в произвольной точке земной поверхности на широте φ . Из треугольника сил (рис. 2.17) следует

. (2.51)

Рис. 2.17. Силы, действующие на тело и опору,

покоящиеся во вращающейся системе отсчета «Земля»

С учетом выражений (2.38) и (2.45), получим

Таким образом, вес тела и сила тяжести зависят от массы тела т , от параметров, характеризующих Землю (М,ω ), и от положения тела на Земле (R ,φ ). На полюсах вес тела и сила тяжести оказываются наибольшими и равными гравитационной силе

(2.53)

На экваторе (
,
) вес тела и сила тяжести принимают наименьшее значение

Если учесть, что полярный и экваториальный радиусы Земли не одинаковы (R пол = 6356, 9 км, R экв = 6378,1 км), то

. (2.55)

После подстановки в формулу (2.55) значений R пол , R экв , М , γ , а также получим

Таким образом, с учетом различия полярного и экваториального радиусов и вращения Земли вес тела и сила тяжести на экваторе уменьшаются примерно на 1,0 % от величины на полюсе!

Определим теперь направление силы тяжести и веса тела. Сила тяжести и вес тела направлены к центру Земли только на полюсах и на экваторе. В остальных точках земной поверхности такого совпадения нет. Угол отклонения ∆α от направления на центр Земли зависит от географической широты φ . Поскольку угол ∆α мал, то из рис. 2.17 следует, что для сферической Земли

(2.56)

и для φ = 45° ∆α ≈ 0,1° .

Таким образом, если не требуется высокая точность , то приближенно можно считать, что сила тяжести и вес тела направлены к центру Земли и равны по модулю гравитационной силе.

3. В связи с актуальностью взвешивания объектов в движении необходимо рассмотреть влияние силы Кориолиса . Сила Кориолиса обусловлена движением тел относительно вращающейся системы отсчета. Сила Кориолиса зависит от скорости движения тела относительно системы отсчета и угловой скоростисистемы отсчета.

Выражение для кориолисовой силы имеет вид:

где
– векторное произведение.

Величина силы Кориолиса равна

, (2.58)

где β – угол между векторами и. Вектор
перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и.

Сила Кориолиса равна нулю, если скорость движения тела равна нулю или угол между векторами иравен нулю либоπ (например, при движении по поверхности Земли вблизи экватора вдоль географического меридиана). Максимальное значение кориолисова сила принимает, если скорость движения тела перпендикулярна оси вращения Земли (например,
при движении по поверхности Земли вдоль параллели; на рис. 2.18 а, б представлен случай движения тела на восток).

Рис. 2.18. Сила Кориолиса, действующая на тело,

движущееся во вращающейся системе отсчета «Земля»

Если тело покоится относительно Земли, то
= 0 и действующие на него силы
,
,скомпенсированы. Если тело освободить от опоры или подвеса, то оно начнет падать с ускорением свободного падения– динамическое проявление силы тяжести на вращающейся Земле. Уравнение движения тела имеет вид:

. (2.59)

Таким образом, силе тяжести можно дать другое толкование, отказавшись от выражения (2.47)
, и заменив его более общим

, (2.60)

. (2.61)

Полученное выражение совпадает с выражением (2.47) для статического проявления силы тяжести при условии
, т.е. для момента, когда тело начинает движение или падение из состояния покоя.

Ускорение свободного падения тела можно выразить из формулы (2.59):

. (2.62)

Таким образом, ускорение свободного падения тела и сила тяжести
,действующая на тело, движущееся относительно вращающейся Земли, есть величины неоднозначные, зависящие от скорости движения тела.

Однако поскольку относительная ошибка

(2.63)

при скорости тела ≈ 67 м/с (≈ 240 км/ч) и
не превосходит 0,1 %, тообычно пользуются выражениями для статического проявления силы тяжести и веса тела :

, (2.65)

где – ускорение в начале свободного падения тела из состояния покоя, когда скорость движения еще очень мала
.

4. Вес тела зависит от окружающей среды. Вес тела в воздухе (или в жидкости) меньше, чем в безвоздушном пространстве, так как этих средах на тело действует выталкивающая сила. Возникновение выталкивающей силы можно объяснить тем, что соприкасающиеся поверхности тела и опоры не являются идеально гладкими – они имеют шероховатости (выступы), форма и величина которых различны. Фактически касание, т.е. реальный контакт поверхностей двух тел, происходит лишь в отдельных «пятнах» (рис. 2.19).

Суммарная фактическая площадь касания составляет 0,0010,01 номинальной площади поверхности и зависит от природы тел и характера обработки их поверхности. Таким образом, тело, находящееся в среде, фактически окружено этой средой.

Рис. 2.19. Выталкивающая сила
, действующая на тело, находящееся в воздухе

На тело, находящееся в газовой среде, действует выталкивающая сила, равная произведению его объема на плотность среды и на ускорение свободного падения:

, (2.66)

(2.67)

 плотность газовой среды, которая зависит от давления газа и его температурыТ ;  молярная масса газа; R = 8,31 Дж/(моль К)  универсальная газовая постоянная.

Сила реакции опоры является результирующей всех сил
, действующих на тело в областях фактического касания.

В условиях равновесия

. (2.68)

Откуда вес тела равен

, (2.69)

. (2.70)

Таким образом, вес тела в воздухе меньше силы тяжести. Вес тела является переменной величиной  зависит от температуры, давления и состава окружающей его газовой среды, а также от объема тела и ускорения свободного падения в месте нахождения тела.

Расчет показывает, что уменьшение веса латунной гири массой т и плотностью
в воздухе при температуреt = 20 0 С = 293 К и давлении р атм = 10 5 Па составляет

от силы тяжести. Если не требуется такая высокая точность, то можно полагать, что вес тела в воздухе равен силе тяжести :

. (2.71)

Как выгрузить вид из области Призмы?

Я пишу приложение WPF Prism с ленточным элементом управления в оболочке. На вкладке "Главная лента" содержится область RibbonHomeTabRegion , в которую входит один из моих модулей (назовем ModuleA): RibbonGroup . Это прекрасно работает.

Когда пользователь переходит от модуля А, RibbonGroup необходимо выгрузить из RibbonHomeTabRegion . Я не заменяю RibbonGroup на другой вид - регион должен быть пустым.

EDIT: я переписал эту часть вопроса:

Когда я пытаюсь удалить представление, появляется сообщение об ошибке "Регион не содержит указанное представление". Итак, я написал следующий код для удаления любого вида в регионе:

Я все еще получаю ту же ошибку, которая говорит мне, что есть что-то довольно основное, что я делаю неправильно.

Может ли кто-нибудь указать мне в правильном направлении? Благодарим за помощь.

3 ответов

Я нашел свой ответ, хотя я не могу сказать, что полностью его понимаю. Я использовал IRegionManager.RequestNavigate(), чтобы вставить RibbonGroup на вкладку "Главная лента", например: